不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
１不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用庆阳二中 曹久贤恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x²≥0，在实数范围即x∈R 内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式. 例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.常见关键词列表如下：多参数恒成立问题举例：例1: 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例2、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例3、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．２例4、已知函数()21ln 22f x x ax x=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围________.三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法例5、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________ 例6、已知(),22x ax x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例7、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数。
恒成立能成立问题总结分析(详细)
恒成立问题的类型和能成立问题及方式处置函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这种问题在各类考试和高考中都不足为奇。
感觉题型转变无常，没有一个固定的思想方式去向理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这种问题，本文通过举例说明这种问题的一些常规处置。
一、函数法（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决关于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立 例1 假设不等式m mx x ->-212对知足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。
解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g 原命题等价于对知足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g 解得231271+<<+-x ，因此x 的范围是)231,271(++-∈x 。
小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)假设不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）关于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值范围。
（答案：或）（二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的散布来解决。
2012年高考数学二轮复习专题教案：含参数不等式的问题 (1)
不等式的恒成立,能成立,恰成立用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:（1）恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .（2）能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .（3）恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ,若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,不等式的恒成立【例】已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。
【解】递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与()1,+∞,递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭(Ⅱ) 1c <-或2c >. 【例】已知向量),,1(),1,(2t x b x x a -=+=若函数()b a x f ⋅=在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围【解】 5≥t . 【例】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,()n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N 均在函数32y x =-的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m .【分析及解】（Ⅰ）65()n a n n *=-∈N .（Ⅱ）10m ≥ 【例】已知函数()()22log f x x ax a =--在区间(),13-∞-上是减函数,求实数a 的取值范围.【解】2232a -≤≤. 【例】 设函数()(1)ln(1).f x x x =++若对所有的0,x ≥都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1.恒成立问题：恒成立问题的基本类型类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12m >- 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
均值不等式最值恒成立
均值不等式一、 重点考点1.不等式成立问题 （1）恒成立问题① 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > ② 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < （2）能成立问题① 若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； ② 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. （3）恰成立问题① 若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； ② 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 2.不等式最值问题常用方法：配凑法（凑系数，凑项，分离）、整体代换、换元、取平方、倒数二、典型例题（一）不等式恒成立常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法例1、（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是________)21,⎡-+∞⎣（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围________1a <（3）若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____3[2,)2-（4）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.12m >-(5)已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围________1a >（二）最值问题 1. 配凑 ① 凑系数例2、当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
恒成立,能成立,恰成立问题
(1)恒成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min >A ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max <B ； (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立，则等价于在区间D 上f(x)max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<B 成立，则等价于在区间D 上f(x)min <B ； (3)恰成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)>A 的解集为D ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)<B 的解集为D. 二．典型问题例 区分下列问题的类型，并思考如何进行有效转化 组一1.若关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 。
2.若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k ＝______4．若关于x 的不等式|x －m|≤|2x ＋1|解集为R ，则实数m 的取值为________5.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x －b)＞0的解集是(2,3)，则a ＋b 的值是A ．1B ．2C ．4D ．86.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2， x ＜0，则不等式f(2－x 2)＞f(x)的解集是________ 7.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C ．(0,1) D ．(0,)+∞8.设l 为曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 组二1.已知函数x x x f ln )(=，(1)求)(x f 的最小值； (2)若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围.2.已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，当13a =时， 若不等式()0f x '<对任意x [3,1]∈--恒成立，求b 的取值范围；3.已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在,0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-， （1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
含参不等式的恒成立、恰成立与能成立
一
３ 一
＝
数理化懈题研究
２０１８年第 Ｏ４期总第 ３８９期
解 （１）ｆ（ｘ）Ｉ ＞０恒－成 ＿ａ－，即 Ｐ Ｃ ＋（ｍ＋１） ＋１ Ｉ ＞０在 的取值 范围 ； （２）若 对 ∈［一３，３］， ∈［一３，３］者Ｂ有 ｆ（ 。）≤
ｇ（ ）成立 ，求 ｋ的取值范 围 ； （３）若存在 ∈［一３，３］，使 ）≤ｇ（Ｐ Ｃ）成立 ，求 ｋ的
＋７＞１０，得 ｋ≥ 一７．
② 当 ｍ＝一３时 ）＝ 一２ｘ＋１：（ 一１） ，可 见
一
）≥口的恒成立与恰成 立
侈０ １ 已知 ）＝ ＋（ｍ＋１） ＋１， ∈［０，＋∞）． （１）若 ，（ ）≥Ｏ恒成立 ，求 ｍ 的取值范 围 ； （２）若 ，（ ）＞ １０恰成立 ，求 ｍ的取值范 围．
收 稿 日期 ：２０１７—１１—０１ 作者简介 ：杨奇华（１９８９．１一），本科 ，中学二级教 师 ，从 分层 次教 学和科 学的作业布置研 究。
只要 ｈ（ ）… ／ ＞０．不 难求 得 ｈ（ ）在 ［一３，３］上 的最小 值
ｈ（ ） ｉ ＝ｈ（一３）＝ｋ一４５．由 ～４５≥０，得 ｋ≥４５．
）… ＝，（一 ）＝１一
＝０，解得 ｍ＝１或 ｍ＝
（２）本 小 题 中 的 与 并 无 关 联 ，因 此 ｆ（ ）≤ ｇ（ ：）恒成立甘 当 ∈［一３，３］时 ，ｆ（ ） ≤ｇ（ ） 当
２０１８年第Ｏ４期总第３８９期
数理化 解题研究
＝
个 圆的圆心 ，半径分 别为 ｒ。＝２，ｒ ＝１，Ｉ ＰＭｌ ＝Ｉ ＰＦ Ｉ＋
变式 已知点 Ｐ在抛物线 ｙ ：４ｘ上 ，那 么点 Ｐ到点
２，Ｊ ＰⅣＩ… ＝ Ｉ Ｉ一１，故 Ｉ肼 ｌ— Ｉ ＰⅣＩ的 最 大 值 为 Ｑ（２，一１）的距 离与点 Ｐ到抛 物线焦点距离之和取得最小
恒成立，能成立，恰成立
恒成立，能成立，恰成立
汪程
【期刊名称】《数学教学通讯：教师阅读》
【年(卷),期】2012(000)012
【摘要】证不等式的恒成立、能成立与恰成立求参数范围问题是一种常见的题型，也是高考的热点之一．这三类问题既有区别又有联系。
在教学过程中很多学生容易混淆，它们的意义和转化方法是不同的．本文结合实例来辨析这三种问题的区别和联系．
【总页数】1页(P51-51)
【作者】汪程
【作者单位】湖北省十堰市郧阳中学,442001
【正文语种】中文
【中图分类】O122.3
【相关文献】
1.例说恒成立、能成立、恰成立问题的方法策略 [J], 冯联英;
2.一字之差,谬之千里——谈恒成立、能成立、恰成立问题 [J], 童其林
3.不等式恒成立与能成立以及恰成立问题的探究 [J], 李虎
4.恒成立、能成立、恰成立、部分成立 [J], 樊永刚
5.含参不等式的恒成立、恰成立与能成立 [J], 杨奇华;
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5、高频考点：恒成立、能成立、恰成立
高频考点：恒成立、能成立、恰成立 一、不等式恒成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，2、若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,二、不等式能成立问题的处理方法1、若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>；2、若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上()min f x B<.三、不等式恰成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；2、若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 补例：（1）（判别式法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：若0122>+-ax ax 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（10<≤a ） （2）若0122>+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（1<a ）（函数最值法） （分离系数法）变式：若0122<+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（45>a ）（3）（构造函数法）若]3,1[∈∃a ，使得不等式02)2(2>--+x a ax 成立，求实数x 的取值范围；（21>-<x x 或）（4）（数形结合法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：当21<<x 时，不等式xax log )1(2<-恒成立，求a 的取值范围；（21≤<a ）（5）思辨：已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++， 其中k 为实数.①对∀[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（45≥k ）②对∀[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围；（141≥k ）③对∀)3,3(2-∈x ，总存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（13≥k ）④对∀1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-，使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围.（913k ≤≤） 【分析及解】 ① 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23, 问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可 ∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F , 由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x .∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，, ∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .②由题意可知当[]33，-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x.∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(, ∴120)(max +-=k x f .由04106)(2'=++=x x x g 得321-=-=x x 或,∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 2728)32(-=-g ,∴21)(min -=x g .则21120-≤-k , 解得141≥k .③∀)3,3(2-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)()(21x g x f ≤min:-21 存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)(1x f min )(2x g ≤ 所以218-≤--k 所以13≥k④若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，由②可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+， 32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，于是，[][]8,12021,111k k ---+⊆-，即满足 821,120111.k k --≥-⎧⎨-+≤⎩解得913k ≤≤。
“恒成立(任意型)、能成立(存在型)、恰成立”三大问题求解参数取值范围的解题切入点-高一版 - 上传版
对任意的x1、x2∈A，恒有a>| f(x1)-f(x2)|成立；等价于a>| f(x1)-f(x2)|max成立,而| f(x1)-f(x2)|max=f(x)max-f(x)min
4.单一函数、双“存在”型
存在x1、x2∈A，使得|f(x1)-g(x2)|<a等价于|f(x1)-g(x2)|min<a，而|f(x1)-g(x2)|min要通过 与 的值域来得到。
等价于在区间D上函数 和图象在函数 图象上方
（4）∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)﹤0，F(x)max﹤0
等价于在区间D上函数 和图象在函数 图象下方
（5）∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max
（6）∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立，则f(x)max<g(x)min
＝9a－5；
∴g(a)＝
(2)设≤a1<a2≤，则g(a1)－g(a2)
＝(a1－a2)(1－)>0，
∴g(a1)>g(a2)，
∴g(a)在[，]上是减函数．
设<a1<a2≤1，则g(a1)－g(a2)＝(a1－a2)(9－)<0，∴g(a1)<g(a2)，
∴g(a)在(，1]上是增函数．
∴当a＝时，g(a)有最小值.
4.恒成立与存在性的综合性问题
注意恒成立与存在有解的区别与联系
（1）∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min
（2）∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) <g(x2)成立，则f(x)max<g(x)max
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用界首一中 刘志勇一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例1、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
2、主参换位法例2、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例3、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围 例4、设函数m mx mx x f +--=6)(2（1）若对]2,2[-∈m ,求0)(<x f 恒成立，求实数x 的取值范围；（2）若对]3,1[∈x ,求0)(<x f 恒成立，求实数m 的取值范围。
3、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。
适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
例5、当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .例6、若不等式ax 2-2x+2>0 对x ∈(1,4)恒成立，求实数a 的取值范围。
例7、若不等式x+2xy ≤a(x+y)对一切正数x 、y 恒成立，则实数a 的取值范围是 。
4、数形结合例8、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________例9、当x ∈(1,2)时，不等式2(1)x -<log a x 恒成立，求a 的取值范围。
高数-不等式的恒成立及有解问题
0
0
零点在区间的右侧三种情况，即
Δ≤0
或
a 2
2
或
a 2
2
.
f (2) 0 f (2) 0
f (2) 0 f (2) 0
f (x) x2 ax 3 a 2 0 ，即 f (x) x2 ax 1 a 0 在2, 2 上成立.
f
2
3 4
a2 a 3 4
1 a 3 .
2
2
【巩固训练】 1.不等式 x a x 3 4 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【难度】★★
【答案】 a 7 或 a 1
【解析】设 f x x a x 3 ，易知函数 f x 的最小值是 a 3 ，由 f x 4 恒成立，
而题要求的反而是变量 x 的范围。这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参
数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数。一般来说， 我们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量。
【例 6】对于满足 a 2 的所有实数 a ,求使不等式 x2 ax 1 2a x 恒成立的 x 的取值范
所以原不等式可化为：
a2
a
t 1 t2
，
要使上式在 t
0, 2上恒成立，只须求出
f
t
t 1 t2
在t
0, 2上的最小值即可.
f
t
t 1 t2
1
2
执信培优讲义5：恒成立、能成立和恰成立问题--执信中学
x
x
{x | 1 x 0} ，从而 a x b x 0 ， a x b x 10 的两根分别为 0， 1 （恰成立） ，可得答
案C 2.B。解析：由方程 log a x log a y 3 可得 y
2
1 2
1 1 C1 : y x 2 ， C2 y log 2 a x ，作图形 C1 与 C 2 ，如图，只须 C 2 过点 ( , ) ， 2 4
0 2a 1 ，即 0 a
1 1 1 1 ，且 log 2 a ，解得 a 32 2 2 2
2
【课堂作业】
2
1 2
【课堂作业】
x x 1.已知 0 a 1 b ， 不等式 lg( a b ) 1 的解集是 {x | 1 x 0} ， 则 a, b 满足的关系是
（ A．
）
1 1 10 a b
B．
1 1 10 a b
C．
1 1 10 a b
D． a, b 的大小的关系不能确定
2
3 2
结合 a 2，所以 a 2
2） ．当 a 1 时 f(x)在[-1，2]上是增函数，此时 f(-1)=1+2a+4 2
f ( x) min = f(-1)=1+2a+4 2 结合 a 1 即 a
3） ．当-1<a<2 时 即 a
3 2
f ( x) min = f(a)= x 2 2a 2 4 2
4、设函数 f x 、 g x ，对任意的 x1 a , b ，存在 x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
发表时间：2017-04-06T14:39:47.017Z 来源：《读写算（新课程论坛）》2017年第1期（上）作者：李新田
[导读] 含参数不等式问题是函数、导数、方程交汇处一个较为活跃的知识点。
（云南省腾冲市第八中学腾冲 679100）
【摘要】含参数不等式问题是函数、导数、方程交汇处一个较为活跃的知识点，他们演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目。
这类问题以含参不等式“恒成立、能成立、恰成立”为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高。
【关键词】恒成立能成立恰成立
【正文】恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的。
能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的。
恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或者说某个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立。
【感悟】可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给
定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式.
上述例子剖析了含参数不等式常见题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”。
【参考文献】
1、《新校园杂志》2015.9
2、《试题调研》2014.10。
含参数的不等式的成立问题(精)
解含参数的不等式的成立问题在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式 恒成立，能成立或恰成立.1. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的: （1）恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .（2）能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .（3）恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D , 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D , 如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题.例题精析：（1）不等式的恒成立问题【例1】已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。
例谈含参数的不等式问题
例谈含参数的不等式问题浙江省上虞市春晖中学 张黎庆 312353综观近年来的高考试题，含有参数的不等式问题主要有三种主要类型. 第一种类型：解含有参数的不等式.第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围. 第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立 ，求参数的范围.本文结合例题对上述三类型问题作点归纳，供复习使用。
一.解含有参数的不等式如何解含有参数的不等式，解题时应该注：意什么问题，我们将通过例题进行说明。
例1(2004年,辽宁卷,18（1））解关于x 的不等式);(01|1|R ∈>-+-a a x分析：利用解绝对值不等式的基本方法。
因为出现参数，应该进行讨论。
解：由.1|1|01|1|a x a x ->->-+-得 当1>a 时，解集是R ；当1≤a 时，解集是}.2|{a x a x x -><或注：教材对于绝对值不等式中，条件是0a >。
所以这里的讨论是自然而然的。
例2 解关于x 的不等式 11+>-a x x分析：分式不等式一般先通分。
解：原不等式化为 01)1(<-+-x a ax ，若0>a ，有11>+a a ，原不等式的解集为 1{|1}a x x a +<<若0=a ，有011<--x ，原不等式的解集为 {|1}x x >若0<a ，有11<+a a ，原不等式的解集为 1{| 1 }a x x x a+<>或注：：讨论的切入点是讨论的关键。
例3：解不等式1232≤---ax ax ,(0>a )分析：利用绝对值不等式与分式不等式的基本解法进行求解。
解： 原不等式等价于2321,232 1.x ax ax a x a --⎧≤⎪⎪-⎨--⎪≥-⎪-⎩移项，通分得 (3)03[(1)]0x a x ax a x a -+⎧≤⎪⎪-⎨-+⎪≥⎪-⎩①②由已知0>a ，所以解①得 3+≤<a x a ； 解②得 1+≥a x 或a x <故原不等式的解集为}31|{+≤≤+a x a x 注：看似复杂的表达需要认真的进行分析、运算。
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不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用问题引入：例1 ：已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ．求实数a 的取值范围． 分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。
思路 2、通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(xx a +<。
思路3、通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=的上方．小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：⑴若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔的下界大于A⑵若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。
2、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()()maxg f x λ≥ (或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值范围。
3．转换成函数图象问题⑴若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；⑵若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；【变式练习：】 对]2,1[∈x ，0122>+-ax x →0123>+-ax x 012ln >+-→ax x 均恒成立，该如何处理？例2：已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x xx x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．例3 设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x x ab +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xab x x g x h ++=++=)()(求导，22))((1)(x a x a x x a x h +-=-='，由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 练习题1、设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。
解：a 的取值范围为[-3，1]2、已知()22x x af x x++=对任意[)()1,,0x f x ∈+∞≥恒成立,试求实数a 的取值范围;解：等价于()220x x x a ϕ=++≥对任意[)1,x ∈+∞恒 成立,又等价于1x ≥时,()min0x ϕ≥成立.由于()()211x x a ϕ=++-在[)1,+∞上为增函数,则()()min 13x a ϕϕ==+,所以303a a +≥⇒≥- 3、R 上的函数()f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有()()2cos 2sin 220f m f m θθ++-->恒成立，求实数m 的取值范围.解：由()()2cos 2sin 220f m f m θθ++-->得到：()()2cos 2sin 22f m f m θθ+>---因为()f x 为奇函数，故有()()2cos 2sin 22f m f m θθ+>+恒成立， 又因为()f x 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立。
设sin t θ=，则22210t mt m -++>()0,1t ∈恒成立，设函数()2221g t t mt m =-++,对称轴为m t =.①当0t m =<时，()0210g m =+≥，即12m ≥-，又0m <∴102m -≤< (如图1) ②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,()012442<+-=∆m m m ,即0122<--m m ,∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (如图3)故由①②③可知：12m ≥-. 4、已知函数()()44ln 0f x ax x bx c x =+->在1x =处取得极值3c --，其中,a b 为常数.（1）试确定,a b 的值； （2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）若对任意0x >，不等式()22f x c ≥-恒成立，求c 的取值范围。
解：（1）（2）略（3）由（2）知，()f x 在1x =处取得极小值()13f c =--，此极小值也是最小值.要使()()220f x c x ≥->恒成立，只需232c c --≥-.解得32c ≥或1c ≤-. ∴c 的取值范围为(]3,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 2、主参换位法5、若不等式10ax -<对[]1,2x ∈恒成立，实数a 的取值范围是 。
6、若对于任意1a ≤，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围 解：()(),13,x ∈-∞+∞7、已知函数()()3231132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式 ()'21f x x x a >--+对任意()0,a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围．解析：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，都成立。
设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。
220x +>恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数。
所以对∀(0)a ∈+∞，，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。
3、分离参数法8、当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x+<-.∴5m ≤-.4、数形结合9 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________ 解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤。
二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上(f 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的f 10、已知不等式43x x a -+-<在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 解：1a >11、若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．解：设()2f x x ax a =--.则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-,即()2min 434a a f x +=-≤-解得6a ≤-或2a ≥ 12、已知函数()()21ln 202f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围解： 因为函数()f x 存在单调递减区间，所以()2'12120ax x f x ax x x+-=--=-< ()0,+∞有解.即()()2120,a x x x >-∈+∞能成立, 设()212u x x x=-.由()2212111u x x x x⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭得, ()min 1u x =-.于是,1->a ,由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1三、不等式恰好成立问题的处理方法13、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=__________：614、已知()22x x af x x++=当[)()1,,x f x ∈+∞的值域是[)0,+∞,试求实数a 的值.解：是一个恰成立问题,这相当于()220x x af x x++=≥的解集是[)1,x ∈+∞. 当0a ≥时,由于1x ≥时，()2223x x a af x x x x++==++≥,,与其值域是[)0,+∞矛盾, 当0a <时, ()222x x a af x x x x++==++是[)1,+∞上的增函数,所以, ()f x 的最小值为, ()1f ，令()1303f a a =+=⇒=-15、已知两个函数()()232816,254f x x x k g x x x x =+-=++，其中k 为实数。