垂直平分线与角平分线课件

线段的垂直平分线与角平分线

知识要点详解

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 几何语言：∵ CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴CA=CB 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理

（1）线段垂直平分线的逆定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言：∵ CA=CB ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. 4、角平分线的性质定理：

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 几何语言表示：∵ OE 是∠AOB 的平分线，CF ⊥OA ，DF ⊥OB ∴CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：

角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 几何语言表示：∵ PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， PC ＝PD ，∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线

注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 6、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.

图1

图2

图4

线段垂直平分线练习题

1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ， 求AC 的长度 2已知：

1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ， 那么BC=

2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，

那么△EBC 的周长是

3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度，那么∠EBC 是

3、已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 。 求证：点O 在BC 的垂直平分线

4、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ， 求证：BD ＝AC ＋CD. 证明：

测一测：

1、如图，AC=AD ，BC=BD ，则（ ） A.CD 垂直平分AD B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACB D.以上结论均不对

2、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.等边三角形 3、下列命题中正确的命题有（ ）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA=PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4、已知如图，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC ，

求证：AO ⊥BC.

A

B

C

O

N

B

C

D A

B C

D

E

A

A

P

B

F

E

C

5、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线 MN 分别交BC 、AB 于点M 、N. 求证：CM=2BM.

6、如图，在△ABC 中，∠ABC=120°，点D 是AB 延长线和AC 垂直平分线的交点。联接CD ，这时BC 恰好 平分∠DCA 。求∠A 的度数。

角平分线练习题

1、已知：如图，点B 、C

在∠A

的两边上，且

AB=AC ，P

为∠A

内一点，

PB=PC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，垂足分别是E 、F 。

求证：PE=PF

2、如图10，已知在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，EF ⊥AD ，E 为BC 中点，连接AE 、DE ， DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠BAD.

3、如图，已知△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.

测一测

1、 △ABC 中，AB=AC ，AC 的中垂线交AB 于E ，△EBC 的周长为20cm ，AB=2BC ，则腰长为________________。

2、 如图所示，AB//CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则AB 与CD 之间的距离等于______________。

F

C

D A

E

A B

O E

C D

D

A

B

A