地图中的数学基础理论

长半径和纬线方向一致，短半径与经线方 向一致，且等于微圆半径r，又因自投影中 心，纬线扩大程度越来越大，所以变形 椭圆的长半径也越来越长，椭圆越来越扁。 常用来做两极的投影。
三、横轴方位投影
平面与球面相切，其切点位于赤道上的任意点。特点：通 过投影中心的中央经线和赤道投影为直线，其他经纬线都 是对称于中央经线和赤道的曲线。
从区域所在的地理位置来说，两极地区和南、北半球图采 用正轴方位投影；赤道附近地区和东、西半球图采用横轴 方位投影；其他地区和水、陆半球图采用斜轴方位投影。
第五节 圆柱投影
一、圆柱投影的概念和种类
假定以圆柱面作为投影面，把地球体上的经纬线网投影 到圆柱面上，然后沿圆柱面的母线把圆柱切开展成平面， 就得到圆柱投影。
根据中央经线上经纬线图的间隔变化，判别变形性质。等 角投影，中央经线上，纬线间隔从投影中心向外逐渐增大； 等积投影，逐渐缩小；等距投影，间隔相等。
方位投影总结
特点：投影平面上，由投影中心（平面与球面的切点）向 各方向的方位角与实地相等，其等变形线是以投影中心为 圆心的同心圆。
绘制地图时，总是希望地图上的变形尽可能小，且分布较 均匀。一般要求等变形线最好与制图区域轮廓一致。因此， 方位投影适合绘制区域轮廓大致为圆形的地图。
六、方位投影变形性质的图形判别
方位投影经纬线形式具有共同的特征，判别时先看构成形 式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。
正轴投影，纬线为以投影中心为圆心的同心圆，经线为放 射状直线，夹角相等。横轴投影，赤道与中央经线为垂直 的直线，其他经纬线为曲线。斜轴投影，除中央经线为直 线外，其余的经纬线均为曲线。
五、 横轴、斜轴方位投影变形分布规律
投影面在p点与地球面相切，过新极点p可做许多大图， 命名为垂直圈，再作垂直于垂直圈的各圈，命名为等高圈 。这样垂直圈相当于地理坐标系的经线圈，等高圈相当于 纬线圈，等高圈和垂直圈投影后的形式和变形分布规律和 正轴方位投影时，情况完全一致。
正轴、横轴、斜轴方位投影的误差分布规律是一致的。等 变形线都是以投影中心为圆心的同心圆，不同的是在横轴 和斜轴方位投影中，主方向和等高圈垂直圈一致，而经纬 线方向不是主方向。
等距方位投影属于任意投影，它既不等积也不等角。投影后经 线保持正长，经线上纬距保持相等。
纬线投影后为同心圆，经线投影为交于纬线圆心的直线束，经 线投影后保持正长，所以投影后的纬线间距相等。经纬线投影 后正交，经纬线方向为主方向。
角度、面积等变形线为以投影中心为圆线的同心圆。 球面上的微圆投影为椭圆，且误差椭圆的
正轴圆柱投影
经线投影为平行直线，间距 和经差成正比。
纬线投影成为一组与经线正 交的平行直线，间距视投影 条件而异。
和圆柱面相切的赤道弧长或 相割的两条纬线的弧长为正 长无变形。
圆柱投影按变形性质可分为 等角圆柱投影、等积圆柱投 影和任意圆柱投影。
二、墨卡托投影
等角正轴切圆柱投影是荷兰地图学家墨卡托于1569年所 创，所以又称墨卡托投影。
三、横轴方位投影
横轴等距方位投影：中央经线上 从中心向南北，纬线间隔相等； 赤道上，自投影中心向东西， 经线间隔逐渐扩大。
横轴等积方位投影：中央经线上 从中心向南北，纬线间隔逐渐 缩小；赤道上，自投影中心向 东西，经线间隔也是逐渐缩小 的。
四、斜轴方位投影
投影面切于两极和赤道间的任意一点上。中央经线投影为 直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线，纬线投影 为曲线。
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四、斜轴方位投影
斜轴等距方位投影：中央经线上 的纬线间隔相等。
斜轴等积方位投影：中央经线上 自投影中心向上、向下纬线间隔 是逐渐缩小的。
斜轴等角方位投影：中央经线上 投影中心向上、向下纬线间隔逐 渐增大。
五、 横轴、斜轴方位投影变形分布规律
横轴和斜轴方位投影的变形大小和分布规律与正轴投影完 全一致，横轴、斜轴投影由于投影面中心不在地理坐标极 点上，如果仍用地理坐标决定地面点的位置，而将这一点 投影到平面上，就变得复杂了。但是如果我们在地球表面 上重新建立一种新的坐标系，使新坐标系的极点在投影面 的中心点上，这样对于横轴和斜轴投影来说，投影面与新 极点的关系，也就和正轴投影的投影面与地理极的关系一 样了，这样问题就简单多了，正轴的公式就可以应用到横 轴和斜轴投影中去，而只是地面上点的位置用不同的坐标 系表示而以。
等变形线都是以投影中心为圆 心的同心圆。 包括等角、等积、 等距三种变形性质，主要用于 制作两极地区图。
1.正轴等角方位投影
投影条件：视点位于球面上，投影面切于极点。 纬线投影为以极点为圆心的同心圆，纬线方向上的长度比大于
1。赤道上的长度变形比原来扩大1倍。 经线投影为以极点为圆心的放射性直线束，经线夹角等于相应
圆柱面和地球体相切时，称为切圆柱投影，和地球体相 割时称为割圆柱投影。
由于圆柱和地球体相切相割的位置不同，圆柱投影又分 为正轴、横轴和斜轴圆柱投影三种。
正轴、横轴和斜轴圆柱投影
正轴圆柱投影：圆柱轴和地球地轴一致； 横轴圆柱投影：圆柱轴和地轴垂直并通过地心； 斜轴圆柱投影：圆柱轴通过地心，和地轴不垂直不重合。
二、墨卡托投影
赤道投影为正长，纬线投影成和赤道等 长的平行线段，即离赤道越远，纬线投 影的长度也越大，为了保持等角条件， 必须把地图上的每一点的经线方向上的 长度比和纬线方向上的长度比相等。所 以随着纬线长度比的增加，相应经线方 向上的长度比也得增加，并且增加的程 度相等。所以在墨卡托投影中，从赤道 向两极，纬线间隔越来越大。
的经差，沿经线方向上的长度比大于1，赤道上各点沿经线方 向上的长度变形比原来扩大1倍。 投影的误差分布规律：由投影中心向外逐渐增大。 经纬线投影后，仍保持正交，所以经纬线方向就是主方向，又 因为m = n，即主方向长度比相等， 无角度变形，但面积变形较大，边缘面积变形是中心的四倍。
2.正轴等距方位投影
地图中的数学基础理论
1. 方位投影分类
根据投影面和地球球相切位置不同 当投影面切于地球极点时，为。 当投影面切于赤道时，为横轴方位投影。 当投影面切于既不在极点也不在赤道时，斜轴方位投影。
二、正轴方位投影
投影中心为极点，纬线为同心 圆，经线为同心圆的半径，两 条经线间的夹角与实地相等。