中考数学专题2_图形位置关系

中考数学专题2 图形位置关系

第一部分真题精讲

【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若DE=2，tan C=1

2

，求⊙O的直径．

A

【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。

【解析】

（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点，

A

∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC．

∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°.

∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥D E于点D.

∴ DE为⊙O的切线．

（2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.

∵ D为AC中点，∴AB=AC．

在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=1

2

，∴EC=4

tan

DE

C

=. （三角函数的意义要记牢）

由勾股定理得：DC=

在Rt△DCB 中， BD=tan

DC C

⋅= BC=5. ∴AB=BC=5.

∴⊙O 的直径为5.

【例2】已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .

（1）求证：DA 为O 的切线； （2）若1BD =，1

tan 2

BAD ∠=

，求O 的半径.

F

C

【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA 平分∠CBF 。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA 之后发现∠ABD=∠ABC ，而OAB 构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO ，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD 通过等量关系放在△ABC 中，从而达到计算直径或半径的目的。

【解析】证明：连接AO .

F

C

∵ AO BO =， ∴ 23∠=∠. ∵ BA CBF ∠平分， ∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .

∴ DB ∥AO . （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行） ∵ AD DB ⊥,

∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒. ∵ AO 是⊙O 半径，

∴ DA 为⊙O 的切线. （2）∵ AD DB ⊥,1BD =，1tan 2

BAD ∠=， ∴ 2AD =.

由勾股定理，得AB ∴

sin 4∠=

.（通过三角函数的转换来扩大已知条件） ∵ BC 是⊙O 直径，

∴ 90BAC ∠=︒.∴ 290C ∠+∠=︒. 又∵ 4190∠+∠=︒, 21∠=∠,

∴ 4C ∠=∠. （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin ∠BAD ） 在Rt △ABC 中，sin AB BC C ==sin 4

AB

∠=5. ∴

O 的半径为

52

.

【例3】已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B

在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；

（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交

于点F ，且8BE =

，tan BFA ∠= 求⊙O 的半径长.

【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD ，聪明的同学瞬间就能看出来BA 其实就是三角形OBD 中斜边OD 上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB 以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。

【解析】

（1）证明：连接OB .

∵,OA AB OA OB ==， ∴OA AB OB ==.

∴ABO ∆是等边三角形. ∴160BAO ∠=∠=︒. ∵AB AD =， ∴230D ∠=∠=︒.

∴1290∠+∠=︒.

∴DB BO ⊥ . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已） 又∵点B 在⊙O 上， ∴DB 是⊙O 的切线 .

（2）解：∵CA 是⊙O 的直径， ∴90ABC ∠=︒.

C

C

在Rt ABF

△

中，tan

AB

BFA

BF

∠== ,

∴设,

AB=则2

BF x

=，

∴3

AF x

= .

∴

2

3

BF

AF

= . （设元的思想很重要）

∵,34

C E

∠=∠∠=∠, ∴BFE

∆∽AFC

∆.

∴

2

3

BE BF

AC AF

== .

∵8

BE=,

∴12

AC= .

∴6

AO=.………………………………………5分

【例4】如图，等腰三角形ABC中，6

AC BC

==，8

AB=．以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，DF AC

⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线EF是O的切线；

（2）求sin E

∠的值．

【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF是切线，则需证OD 垂直于EF，但是本题中并未给OD和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC是以AC,CB为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。

【解析】

D

F

G

C

O

B

E

A

（1）证明：如图，连结CD，则90

BDC

∠=︒．

∴CD AB

⊥．

∵ AC BC

=，∴AD BD

=．