一维势垒波函数贯穿形象化教学研究

具有一定能量 E 的粒子，沿着 X 轴运动，碰到高度为 V0 的 势垒，按照经典力学的观点，如果 E 小于 V，则粒子不能进入势 垒，将会被完全弹回去。但从量子力学的观点来看，考虑粒子的 波动性，有一部分波会穿过势垒，像这种粒子穿过比它动能更高 的势垒，称为遂穿效应 。在教学过程中，如果生硬的讲解该部 分内容，大部分学生会不知所云，难以理解，有没有可能寻求一 种容易方便学生理解的方式来讲解呢？为此我们摸索采用数值 化形象教学，下面我们以一维势垒为例，利用计算机数值模拟方 法，实时观察波函数是如何穿过势垒的，该方法有利于学生深入 理解遂穿效应的基本原理，对教授和理解量子力学大有裨益。 势垒穿透的波动 z 中，向左传播一列波函数 e ikx 沿着一维直 线传播，碰到势垒后，一部分会有一定几率透过势垒，透射部分 一部分会被势垒弹回去； 反射部分波函数为 re ikx 。 波函数为 te ikx 。 为了求解波函数的贯穿，我们需要求解非含时薛定谔方程
H ( E) E ( E) 。
[1] [1]
被弹回形成的小山峰。小山峰分布是入射波函数与被弹回来的波 函数叠加而形成的震荡山峰。从图中可以很明显看出，随着时间 的推移，在 3100 a.u.后，波函数有两个明显的山峰分布，一个在 势垒的左边，为透射波函数部分，一个在势垒的右边，是被弹出 波函数部分。
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一维势垒波函数贯穿形象化教学研究
尚志勇 塔力哈尔·夏依木拉提 新疆工程学院基础教研部
项目基金：受校内基金2013BQJ141607资助。 摘要：量子力学在物理学中具有举足轻重的核心地位。量子力学是一门令物理专业学生都望而生畏的学科，特别是量子力学中一 些基本的概念和理论，往往令学生摸不着头脑。本文就量子力学的隧道效应进行形象化数值模拟，让学生能实时地洞察到波函数的贯 穿过程，方便学生理解和认识量子物理世界的奥妙。
我们在本文中，为了实时贯穿波函数的贯穿过程，我们利用 含时方法求解薛定谔方程
[2，3]
： i
(t ) H (t ) t
。
含时波函数为： (t ) e
iHt /
(t 0)
公式中 H 是体系的哈密顿算符：
H T V ( x)
2 2 V ( x) 2m x 2
一维ห้องสมุดไป่ตู้垒波函数贯穿形象化教学研究
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 尚志勇， 塔力哈尔·夏依木拉提 新疆工程学院基础教研部 才智 caizhi 2014(13)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_caiz201413162.aspx
波函数在不同时刻的分布情况 结论与总结 本文以一维粒子的直线运动为例，构建初始波包，利用演化 算符研究时间相关的波包与 Eckart 势垒相互作用。 研究了不同时 刻的体系波函数的分布状态，形象的观察和研究了量子力学的遂 穿效应。为量子力学的形象化教学提供了一些思路。 参考文献： [1]曾谨言.量子力学 卷 I.科学出版社. [2]Zhang.D.H.；Zhang.J.Z.H，J.Chem.Phys.1994，101，3671. [3]Zhang.D.H.； Lee， S.Y.； Bear， M.， J.Chem.Phys.2000， 112， 9802. [4] 张 爱 杰 . 中 国 科 学 院 大 连 化 学 物 理 研 究 所 博 士 毕 业 论 文.2011. [5] 翟 红 生 . 中 国 科 学 院 大 连 化 学 物 理 研 究 所 博 士 毕 业 论 文.2012. 作者简介： 尚志勇，男，博士，2011年毕业于西安交通大学，现为新疆 工程学院基础教研部教师，主要从事大学物理教学、力学领域教 学与研究。 塔力哈尔·夏依木拉提，男，博士，2013年毕业于东北师范 大学，现为新疆工程学院基础教研部教师，从事大学物理教学教 学与研究。
我们给定初始波函数，就可以利用演化算符求得任意一时刻 的体系的波函数，从而观察波函数是如何贯穿势垒整个过程的。 在数值模拟中，我们选用 Eckart 势垒，具体形式为：
V ( x) V0 sec h 2 (x / a)
中心位置处在 R=15bohr 处。高度为 0.5eV。传播初始时刻， 我们构建了一个高斯波包
g ( x) ( )
2 0.25
[4，5]
：
e
ik 0 x
e
( x x 0) 2 / 2 2
波函数在不同时刻的分布情况如图二所示。初始波函数分布 如图二中 T=0 a.u.所示。中心位置在 22 bohr 位置处，中心能量为 0.4 eV，宽度为 0.7 bohr，向 X 轴左方向运动。传播时间 1900 a.u. 时候，波函数传播到势垒位置，到时间 2300 a.u.时，波函数分布 如图所示。波函数部分被弹回，可以看见图中 17bohr 处，波函数 > 才智 /174