合肥工业大学计算方法总结计划复化梯形公式实验.docx

合肥工业大学计算方法复化梯形公式实验

《计算方法》实验报告

学号姓名班级实验项目名称

一、实验名称

实验二数值积分

实验二数值积分

二、实验目的：

(1)

悉复化梯形方法、复化Simpson

熟方法、梯形递推

算法、龙贝格算法；

(2)

编程实现复化梯形方法、复化Simpson

能方法、梯

形递推算法、龙贝格算法；

(3)理

解并掌握自适应算法和收敛加速算法的基本思

想；

(4)分

析实验结果体会各种方法的精确度，建立计算机

求解定积分问题的感性认识

三、实验内容及要求

（1）设计复化梯形公式求积算法，编制并调试相

应的函数子程序

（2）设计复化辛浦生求积算法，编制并调试相应

的函数子程序

（ 3）用龙贝格算法计算0sin x dx

1

x

计算机科学与工程学院

输入：积分区间，误差限

输出：序列 Tn ，Sn，Cn,Rn 及积分结果（参考书本P81 的表 2-5）

取n=2，4，8，16，精确解为 0.9460831

四、实验原理及算法描述

在许多实际问题中，常常需要计算定积分b

f (x)dx 的

a

值。根据微积分学基本定理，若被积函数f(x) 在区间[a,b] 上连续，只要能找到f(x) 的一个原函数F(x) ，便可利用牛顿 -莱布尼兹公式 b f (x) F (b) F (a) 求得积分值。

a

但是在实际使用中，往往遇到如下困难，而不能

使用牛顿 -莱布尼兹公式。

（1）找不到用初等函数表示的原函数

（2）虽然找到了原函数，但因表达式过于复杂而不

便计算

（3） f(x) 是由测量或计算得到的表格函数

由于以上种种困难，有必要研究积分的数值计算

问题。

利用插值多项式P

则积分b

n ( x ) f ( x )

f ( x)dx 转化为a b P n( x )dx，

a

算机科学与工程学院

然易算。b

a

P

n (

x

)

dx称插型求公式。最的插

型求公式是梯形公式和 Simpson 公式，。当求点提供多，可以分段使用少点的梯形公式和Simpson 公式，并称复化梯形公式、复化 Simpson

公式。如步未知，可以通差限的控制用区逐次分半的策略自取步的方法称自适算法。梯形推公式出了区分半前后的推关系。由梯形推公式求得梯形序列，相序列作性合得Simpson 序列 , Simpson 序列作性合得柯特斯序列 , 柯特斯序列作性合的格序列。若 |R2-R1|< ,出 R2; 否⋯依此推。如此加工数据

的程叫格算法，如下所示：

复化梯形公式 T n1n1

h[ f ( x0 )2 f ( x k ) f ( x n )]

2k1

复化 Simpson 公式S

n h

n1n1

[ f ( x0 ) 2 f ( x k ) f ( x n ) 4 f ( x1 )]

6k1k0k2

梯形推公式 T

2 n T n h n1

f ( x k 1

) 2 2 k02

加平均公式：4T2 n T n

S n

42 S2 n S n43 C 2n C n

4 1421 C n431R n

格算法大大加快了差收的速度，由梯形序列O(h2) 提高到格序列的 O(h8)

五、程序代码及实验结果

1．主程序

计算机科学与工程学院

int main()

{

//cout << longbeige(0, 1, 0.0000001);

cout<< " 请输入你的区间和误差限度： " << endl;

double x, y, z;

cin>> x>> y >> z;

cout<< " 根据龙贝格算法求出的精确值为： "<< longbeige(x, y, z)<< endl;

cout<< "K"<< ""<< "T"<< ""<< "S" << ""<< "C"<< ""<< "R" << endl;

cout<< "0"<< ""<

cout<< "1"<< ""<

cout<< "2"<< ""<< tixing(0, 1, 4)<< ""<< xingbusheng(0, 1, 2)<< ""<<(( double (16/15))* xingbusheng(0, 1, 2)) -(double (1/15))*xingbusheng(0, 1, 1)<< endl;

cout<< "3"<< ""<

cout<< "4"<< ""<< tixing(0, 1, 16)<< " "<< xingbusheng(0, 1, 8)<< " "<< (( double (16 / 15))* xingbusheng(0, 1, 4)) - (double (1 / 15))*xingbusheng(0, 1, 2)<< " "<< longbeige(0, 1, 0.00000001)<< endl;;

cout<< "the result "<<4<<" is "<< longbeige(0, 1, 0.00000001);

return 0;

}

2．复化梯形公式子程序 :

double tixing( double a, double b, int n)

{

double fa = f( a);

double fb = f( b);

double h = ( b- a) /n;

double fxk = 0.0;

for ( int k = 1; k <=n - 1; k++)

{

double xk = a + k*h;

fxk = f(xk) + fxk;

}

double res = (h / 2.0)*(fa + 2.0*fxk + fb);

return res;

}