等高线的画法
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点( x , y )的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
5
多元函数的基本概念(130)
链式法则如图示：
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
第7章 多元函数微分法及其 应用
7.2.2 复合函数与隐函数的偏导数 7.2.3 方向导数与梯度
7.2.2 复合函数与隐函数的偏导数
复合函数的偏导数:
定理 如果函数 u ( t ) 及 v ( t ) 都在点 t 可导， 函数 z f ( u, v )在对应点( u, v ) 具有连续偏导数， 则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点 t 可导，且 其导数可用下列公式计算： d z z d u z d v . d t u d t v d t
例3
设 w f ( x y z , xyz ) ， f 具有二阶
w 2 w 连续偏导数，求 和 . x xz
解 令 u x y z, 记
f ( u, v ) f1 , u
v xyz;
2 f ( u, v ) f12 , uv
同理有 f 2 , f11 , f22 .
3
dz z z du z dv lim . dt t 0 t u dt v dt
上面的结论可推广到中间变量更多的情况， 如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
z
dz 以上公式中的导数 d t 称为全导数.
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1 eu ( x sin v cos v ).
多元函数的基本概念(130) 9
t u e 例 2 设 z uv sin t ，而 ， v cos t ，
z z u z v o( ( u)2 ( v )2 ) t u t v t t u du 当 t 0时， u 0， v 0 ， t dt , v dv o( ( u)2 ( v )2 ) , 0 t dt t 多元函数的基本概念(130)
多元函数的基本概念(130)
z
u v w
x
y
7
特殊地 z f ( u, x , y ) 即 z f [ ( x, y ), x, y],
其中 u ( x , y ) 令 v x,
w y,
区 z f u f z f u f 别 , . 类 x u x x y u y y 似 两者的区别 把 z f ( u, x , y ) 把复合函数 z f [ ( x, y ), x, y] 中 中的u 及 y 看作不
的 y 看作不变而对 x 的偏导数
多元函数的基本概念(130)
v 1, x
w 0, x
v 0, y
w 1. y
变而对 x 的偏导数
8
u z e sin v ，而 u xy ， v x y ， 例1 设 z z 求 和 . x y z z u z v 解 x u x v x eu sin v y eu cos v 1 eu ( y sin v cos v ),
z z u z v . y u y v y
多元函数的基本概念(130) 6
类似地，设 u ( x , y ) 、 v ( x , y )、 w w( x, y) 都在点( x , y )具有对 x 和 y 的偏导数，则复合函数
dz 求全导数 d t . 解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
vet u sin t cos t
e cos t e sin t cos t
t t
e (cos t sin t ) cos t .
t
多元函数的基本概念(130) 10
多元函数的基本概念(130) 4
u v w
t
上定理还可推广到中间变量是多元函数的情况：
z f [ ( x, y ), ( x, y )].
若 u ( x , y ) 及 v ( x , y )都在点( xห้องสมุดไป่ตู้, y ) 具有对 x 和
y 的偏导数，且 z f ( u, v )在对应点( u, v ) 具有连续 偏导数，则复合函数 z f [ ( x, y ), ( x, y )] 在对应
w f u f v f1 yzf 2 ; x u x v x
多元函数的基本概念(130) 11
多元函数的基本概念(130) 2
证 设 t 获得增量 t， 则
u (t t ) (t ),
v ( t t ) ( t );
由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数，
z z z u v o( (u)2 (v )2 ), u v
z f [ ( x, y ), ( x, y ), w( x , y )]
在对应点( x , y )的两个偏导数存在，且有计算公式：
z z u z v z w , x u x v x w x
z z u z v z w . y u y v y w y
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
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多元函数的基本概念(130)
链式法则如图示：
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
第7章 多元函数微分法及其 应用
7.2.2 复合函数与隐函数的偏导数 7.2.3 方向导数与梯度
7.2.2 复合函数与隐函数的偏导数
复合函数的偏导数:
定理 如果函数 u ( t ) 及 v ( t ) 都在点 t 可导， 函数 z f ( u, v )在对应点( u, v ) 具有连续偏导数， 则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点 t 可导，且 其导数可用下列公式计算： d z z d u z d v . d t u d t v d t
例3
设 w f ( x y z , xyz ) ， f 具有二阶
w 2 w 连续偏导数，求 和 . x xz
解 令 u x y z, 记
f ( u, v ) f1 , u
v xyz;
2 f ( u, v ) f12 , uv
同理有 f 2 , f11 , f22 .
3
dz z z du z dv lim . dt t 0 t u dt v dt
上面的结论可推广到中间变量更多的情况， 如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
z
dz 以上公式中的导数 d t 称为全导数.
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1 eu ( x sin v cos v ).
多元函数的基本概念(130) 9
t u e 例 2 设 z uv sin t ，而 ， v cos t ，
z z u z v o( ( u)2 ( v )2 ) t u t v t t u du 当 t 0时， u 0， v 0 ， t dt , v dv o( ( u)2 ( v )2 ) , 0 t dt t 多元函数的基本概念(130)
多元函数的基本概念(130)
z
u v w
x
y
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特殊地 z f ( u, x , y ) 即 z f [ ( x, y ), x, y],
其中 u ( x , y ) 令 v x,
w y,
区 z f u f z f u f 别 , . 类 x u x x y u y y 似 两者的区别 把 z f ( u, x , y ) 把复合函数 z f [ ( x, y ), x, y] 中 中的u 及 y 看作不
的 y 看作不变而对 x 的偏导数
多元函数的基本概念(130)
v 1, x
w 0, x
v 0, y
w 1. y
变而对 x 的偏导数
8
u z e sin v ，而 u xy ， v x y ， 例1 设 z z 求 和 . x y z z u z v 解 x u x v x eu sin v y eu cos v 1 eu ( y sin v cos v ),
z z u z v . y u y v y
多元函数的基本概念(130) 6
类似地，设 u ( x , y ) 、 v ( x , y )、 w w( x, y) 都在点( x , y )具有对 x 和 y 的偏导数，则复合函数
dz 求全导数 d t . 解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
vet u sin t cos t
e cos t e sin t cos t
t t
e (cos t sin t ) cos t .
t
多元函数的基本概念(130) 10
多元函数的基本概念(130) 4
u v w
t
上定理还可推广到中间变量是多元函数的情况：
z f [ ( x, y ), ( x, y )].
若 u ( x , y ) 及 v ( x , y )都在点( xห้องสมุดไป่ตู้, y ) 具有对 x 和
y 的偏导数，且 z f ( u, v )在对应点( u, v ) 具有连续 偏导数，则复合函数 z f [ ( x, y ), ( x, y )] 在对应
w f u f v f1 yzf 2 ; x u x v x
多元函数的基本概念(130) 11
多元函数的基本概念(130) 2
证 设 t 获得增量 t， 则
u (t t ) (t ),
v ( t t ) ( t );
由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数，
z z z u v o( (u)2 (v )2 ), u v
z f [ ( x, y ), ( x, y ), w( x , y )]
在对应点( x , y )的两个偏导数存在，且有计算公式：
z z u z v z w , x u x v x w x
z z u z v z w . y u y v y w y