正弦定理教案DOC

《正弦定理》

一、教学内容分析：

本节课是人教版高中新课标数学A 版必修（五）的第一章《解三角形》第一节《正弦定理和余弦定理》的第一课时的内容，它是初中解直角三角形在高中知识下的直接延拓，也是对高中坐标和圆等相关知识的综合运用，它是对三角形中边角关系的一个具体量化。它与余弦定理都是解三角形的重要工具。

本节课的主要内容是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。学生在教师的引导下发现并证明正弦定理，复习巩固旧知识，掌握新知识，而其还能够体会数学知识之间的相互联系，开阔自己的思路，进而构建自己的数学知识结构，实现自我升华。

二、学情分析：

对于高中的学生，一方面已经学习了平面几何、解直角三角形与三角函数等知识，另一方面也具备了一定的观察分析和解决问题的能力；但是学生往往会在对新知识的理解应用以及与已学知识的联系上出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。 三、教学目标：

1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，由易到难，层层推进；引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般，经过学生的自主探究，归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情感、态度与价值观：培养学生的自我探究与动手能力，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。 四、教学重点与难点：

1、 教学重点：正弦定理的探索与证明及其基本应用。

2、 教学难点：正弦定理的探索与证明。

3、 重难点突破方法：选择合适的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点

入手，教师在学生主体下给于适当的提示和指导。利用动态几何进行直观的演示，加深学生对重难点的直观认识。

五、教学方式：以学生为中心，以教师为主导，启发式教学。 六、教学流程设计：

七、教学过程：

1、复习旧课，导入新课

师：在初中以及我们前面的学习中，我们学习了与三角形有关的一些知识，这些知识有哪些呢？

生：内角和定理，等边对等角，大边对大角等

复

习

引入

探究证明

分析定理

运用定理

布置作业

归纳小结

师：很好，有同学回答到了大角对大边，小角对小边。那么边和角之间到底有什么关系呢？今天，让我们一起来学习。

2、逻辑推理，探究证明 师：展示图片，先从直角三角形开始。 如图，

。

所对的边记为，所对的边记为，所对的边记为中，c C b B A ,90ABC ∠∠∠︒=∠∆a C Rt

根据我们初中学的知识 ，请同学们用式子表示sinA,sinB ：

生：c

b

B c a inA ==sin ,s

师：根据这两个式子，我们得到

c B b

c A a ==sin ,sin 又因为,90C ︒=∠c c C ==1sin ，所以

c C

=sin c

， 师：在这几个式子中，同学们发现了什么没有？ 生：

C

c

B b A a sin sin sin == 师：在直角三角形中，我们得到了以上结论，那么上述结论在一般三角形中是否仍然成立呢？ 让我们在几何画板中验证一下，对任意的三角形AB

C 是不是都有“各边与它所对角的正弦之比相等”成立？（几何画板演示）

师生总结：通过动态几何软件的计算，我们发现直观上对各种三角形都是成立的。 师：那我们能不能从数学严谨的角度给予证明呢？（展示PPT ）（教师提示变形为A b B a sin sin ⋅=⋅,

使学生意识到需要做CD AB ⊥与D ） 生：过C 做CD AB ⊥与D 学生口述，教师板书如下： sin CD a B =， sin CD b A =， 得到

sin sin a b

A B =，同理在ABC 中有 sin sin b c

B C

= 师：通过以上证明我们得到在直角三角形和锐角三角形中这个等式是成立的，在钝角三角形行，这个结论是否成立呢？

师：请同学们互相讨论，完成后请同学上台板书并点评。 （为上台演示的同学献上掌声） 结论：对任意ABC ∆，总有

sin sin sin a b c

A B C

==，我们把这条性质称为正弦定理。 （这就是今天要讲的内容，把课题写在黑板上） 3、抽丝剥茧，解析定理

师：从以上结论可以看到，三角形各边与其所对角的正弦比值都相等，那么这个比值到底是什么呢？（停顿，请同学们思考）

师：下面对于这个问题我们来看正弦定理的第二种证明方法。 几何证明法：首先构造三角形的外接圆O ，然后过B 点做圆的直径BD ，

由于同弧所对的圆周角相等，所以∠ADB 与∠C 相等。而∠ADB 在一个直角三角形中，因此，可以由定义得到∠ADB 的正弦。问：

∠=ADB sin sinC c

生：R c R AB C 22sin ==，

R C

c

2sin =，同理： R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆的半径） 师：从上我们得到，三角形各边与其所对角 的正弦的比值都相等，都等于它外接圆的直径。 正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin === 师：这个定理在结构上有何特征？

生：非常简洁，各边与其对角的正弦严格对应。

师：是啊，这就是数学的艺术，完美的阐述世界的原理。

师：正弦定理，我们学它有什么用呢？我们先解一下“解三角形”的概念 ：一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素。已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做“解三角形”。正弦定理是解三角形的工具之一。

师：正弦定理：sin sin sin a b c

A B C ==

这个式子，我们能将它写成哪几个式子？

生：三个：sin sin sin sin sin sin ，，a b a c b c A B

A C

B

C ===

师：这几个式子都是比例式。一个比例式，如果我们知道其中的三项，那么就可以根据比例

的运算性质得到第四项。因此正弦定理的应用主要有哪些呢？

生：已知两角和一边，求另外一边的问题。或者已知两边和一角，求另外一角的问题。 教师：是不是任意一边？任意一个角？（学生思考，可以给予适当的提示） 生：可以是两角和任意一边，或两边和其中一边的对角的问题。 师：那么a= ,b ,c= 生：C A c B A b a sin sin sin sin ==

，C B c A B a sin sin sin sin b ==，B

sin sin sin sin c C

b A C a == 4、典例分析，应用定理

例.在△ABC 中，已知A=30º，c=8,a=4,求C 、B 和b 解：由正弦定理得

1sin sin sin sin ==⇒=a

A

c C C c A a ︒=⇒90C ，︒=60B ，34sin sin ==C

B

c b

变式1.若将例题中的条件c=8改为c=2262+,求C 、B 和b