1.1矩阵及其运算

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线性代数教案11

逆矩阵的性质
1. 如果A可逆，则A有唯一的逆矩阵；
2. 如果A可逆，且AB＝I，则BA＝I；
如果A可逆，且BA＝I，则AB＝I；
3. 如果A，B都可逆，则AB也可逆，且 ( AB)1 B 1 A1
4. 如果A可逆，则A1可逆，且 ( A1 )1 A
5. 如果A可逆，则A的每一行每一列都不能全为零。
,
B
B11 B21
分块矩阵数乘：
B12 B22
,
A
B
A11 A21
B11 B21
A12 A22
B12 B22
A
A11 A21
A12 A22
分块矩阵的乘法：矩阵A的列数等于B的行数，A的列的分
法与B的行的分法相同
AB
A11B11 A21B11
A12 B21 A22 B21
A11B12 A21B12
返回
矩阵的数乘
数与矩阵A的乘积记作
返回
矩阵的转置
把矩阵A的各行变成同序数的列得到的新矩阵称为A 的转置（Transpose），记为 AT
例如
注意：将A的各列变成行同样能得到A的转置。 A为m×n的矩阵，则 AT 为n×m的矩阵。
对称矩阵的定义：AT A
返回
逆矩阵的唯一性
如果A可逆，则A有唯一的逆矩阵。证明：设B和C都是A的逆矩阵，那么
矩阵A是m×n矩阵，可以记为 Amn
几种特殊的矩阵
1. 行矩阵； 2. 列矩阵； 3. 零矩阵； 4. n阶方阵； 5. 三角矩阵； 6. 对角矩阵（Diagonal Matrix）； 7. 单位矩阵（Identity Matrix）.
矩阵相等
如果两个矩阵A，B有相同的行数和相同的列数，并且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A＝B

高等代数 (11)

0 0
a11 a21
a12 a11
a22
a12
a21
a22Biblioteka a121 a122a21a11 a22a12
a11a21 a12a22
a221 a222
a121 a122 0, a221 a222 0 a11 a12 a21 a22 0 A O
a11
A AT
T
AT
AT
T
AT A
A AT
A AT对称
思考: 设A 与 B 同阶反称, 则A+B ( A B, AB ) 对称, 反称?
例6. 若实矩阵(元均为实数) A 满足 AAT = O, 证明 A = O. 2阶矩阵赋予灵感:
设
A
a11
a21
a12 a22
0
0
同阶对称矩阵之和是否仍为对称矩阵？同阶对称矩阵的乘积是否仍为对称矩阵？解: 设 A, B 对称, 则
AT A
kAT kAT kA
AT A, BT B A BT AT BT A B
kA 对称 A B 对称
1
A
2
2 1
0
,
B
1
1 1
1
AB
2
21
0
1
1 3
反对称矩阵 AT A
反对称(反称) 矩阵:
AT A 即aii 0, aij a ji , i j
1 方阵
2 沿着对角线, 对称位置上的元相反 : aij a ji
例1. 下列矩阵是否为对称矩阵, 反称矩阵?
2 1 1
A
1 1
0 0
0 5
,
A 对称
0 3 1

数学建模常用知识点总结

数学建模常用知识点总结1.1 矩阵及其运算矩阵是一个矩形的数组，由行和列组成。

可以进行加法、减法和数乘运算。

1.2 矩阵的转置对矩阵进行转置就是把矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

1.3 矩阵乘法矩阵A和矩阵B相乘得到矩阵C，要求A的列数等于B的行数，C的行数是A的行数，列数是B的列数。

1.4 矩阵的逆只有方阵才有逆矩阵，对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=I，那么B就是A的逆矩阵。

1.5 行列式行列式是一个标量，是一个方阵所表示的几何体积的无向量。

1.6 特征值和特征向量对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量x，使得Ax=λx，那么λ就是A的特征值，x就是对应的特征向量。

1.7 线性相关和线性无关对于一组向量，如果存在一组不全为零的系数，使得它们的线性组合等于零向量，那么这组向量就是线性相关的。

1.8 空间与子空间空间是向量的集合，子空间是一个向量空间的子集，并且本身也是一个向量空间。

1.9 线性变换对于向量空间V和W，如果满足T(v+u)=T(v)+T(u)和T(kv)=kT(v)，那么T就是一个线性变换。

1.10 最小二乘法对于一个线性方程组，如果方程个数大于未知数个数，可以使用最小二乘法来求得最优解。

1.11 奇异值分解矩阵分解的方法之一，将一个任意的矩阵分解为三个矩阵的乘积。

1.12 特征分解对于一个对称矩阵，可以将其分解为特征向量和特征值的乘积。

1.13 线性代数在建模中的应用在数学建模中，线性代数是非常重要的基础知识，它可以用来表示和分析问题中的数据，解决矩阵方程组、优化问题、回归分析等。

二、微积分2.1 极限和连续性极限是指一个函数在某一点上的局部性质，连续性则是函数在某一点上的全局性质。

2.2 导数和微分对于一个函数y=f(x)，它的导数可以表示为f’(x)，其微分可以表示为dy=f’(x)dx。

2.3 泰勒级数泰勒级数是一种用多项式逼近函数的方法，在建模中可以用来进行函数的近似计算。

矩阵知识点总结大学

矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。

一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。

如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。

1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。

n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。

⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。

⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。

⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。

1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。

⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。

⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。

1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。

§1.1-向量与矩阵的定义及运算

(9) 0A 0,(1)A A, k0 0;
(10)若kA 0，则k 0,或者A 0.
28
例设矩阵A、B、C满足等式 3(A+C)=2(B－C)，其中
A
2 1
3 3
6 5
,
B
3 1
2 3
4 5
,
求C.
解：由等式可得 5C 2B 3A
23 21
22 2 (3)
b1 j
(ai1
ai 2
L
ain
)
b2 M
j
= A的第i行乘 B的第j列
bnj
故可以把乘法规则总结为：左行乘右列.
36
注意：(1) 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
(2) 乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数，乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数.
ka11
(kaij )sn
ka21
M
kas1
ka12 ka22
M
ka s 2
L ka1n
L
ka2n
M M
L
kasn
为数k与A的数乘，记作kA.
25
(4) 负矩阵:将矩阵A=(aij)s×n的各元素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A
的负矩阵，记为－A. 即
a11 a12 L a1n
(aij )sn
a21 M
a22 M
L M
a2n
M
as1
as2
L
asn
26
矩阵的线性运算性质
(1) A B B A;

1.1矩阵及其运算

返回
1 1 1 2 例6* 设A 0 1, B 0 1 . 求AB, BA.
AB BA( A与B可交换）
返回
IA=A=AI
( k I )A = kA = A(k I)
返回
1 1 2 2 例6 设A , B . 求AB, BA. 1 1 2 2
已知 A B, 求 x , y, z .
解
A B,
x 2, y 3, z 2.
返回
加法： A与B同型，定义 A B ( aij bij ). 注意：对于同型矩阵才有意义.
2 1 1 例如，A 与B 不能相加. 1 1 1 1 0 1 1 1 0 2 1 1 1 1 2 0 1 0 1 2 2
⑥
⑦
k ( lA) ( kl ) A k ( A B) kA kB ( k l ) A kA lA
返回
⑧
kA lB
返回
三、矩阵的乘法
例2 某电子集团生产三种型号的彩电，第一季度各40万台, 20万台, 30万台, 第二季度各30万台, 10万台, 50万台, 每万台的利润分别是400万元, 300万元, 500万元, 第一,二季度各类产品的利润是多少 ?
1 B 0
1 0
返回
某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B. 到站 B
B
A
C
D
A A
C
D
发站
B
C D
0 1 1 0

1-1矩阵

a11 a21
a12 L a1n a22 L a2n
L L L L am1 am2 L amn
的矩阵，称为 m 行 n 列的矩阵，矩阵. 简称 m× n 矩阵.
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n 记作：记作： A = M M M a am1 L amn m1
0 O L 0 的方阵, 称为对角形矩阵，对角形矩阵，的方阵, 称为对角形矩阵 L L L ann L
简称对角阵对角阵。简称对角阵。显然，显然，由对角线上的元素就足以确定对角形矩阵本身，故上述矩阵可记作：阵本身，故上述矩阵可记作：
Λ = diag (a11 , a22 , L , ann )
简记为：简记为：A = (aij ) = Am×n = (aij ) m×n 的元素。这 m×n 个数称为 A 的元素。
同型矩阵：同型矩阵：如
5 4 1 1 0 3 同型矩阵。 4 2 4 与 0 2 1 为同型矩阵。
相等矩阵：两个矩阵的行数、列数相同。相等矩阵：两个矩阵的行数、列数相同。两个矩阵同型，且元素对应相等。两个矩阵同型，且元素对应相等。
1 3 1×1+ 3× 4 1× 0 + 3×3 1× 2 + 3×1 13 9 5 1 0 2 BA = 2 1 = 2×1+1× 4 2× 0 +1×3 2× 2 +1×1 = 6 3 5 4 3 1 3 0 3×1+ 0× 4 3× 0 + 0×3 3× 2 + 0×1 3 0 6
注意：矩阵乘法不满足交换律。注意： AB ≠ BA ，即矩阵乘法不满足交换律。

1.1 数域~1.2 矩阵和运算1(13秋季,林鹭)

展开和式
4
4
(1) a2i (2) 2i
i 1
i 1
22
(3) aij i1 j1
(4)
aij
1i j3
特殊矩阵及其元素表示_4
• 基础矩阵Eij
0

0
1
Eij

0

j列
i行 0 mn
1 k i且l j ekl 0 其他
A (aij )mn
m i 1
a E n
j1 ij ij
小结
✓ 数域的定义 ✓ 矩阵的概念
– 特殊矩阵
✓ 矩阵的相等、加法和数乘
下节
• 矩阵的乘法（难点、重点） • 矩阵的转置
• 作业 §1.1 Ex. 1, 2; §1.2 Ex. 1
补充: 用表示下列式子
(1) a1b2 a3b4 ... a b 2n1 2n2 (2) a1bn a2bn1 ... anb1 (3) a1b1 a1b2 a1b3 a2b2 a2b3 a3b3
• n阶方阵A： A的行数＝列数= n
矩阵的相等
• A = (aij)m×n，B = (bij)s×t 则A = B 必须同时满足如下两个条件
✓ m = s, n = t ✓ aij = bij i=1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n
特别提示具有不同行列数的零矩阵代表不同的矩阵。如 O2×3≠O1×6 ≠O3×2
第一章矩阵 Matrix
§1.1-1.2 目的要求
• 掌握数域的定义, 正确判断数域；
• 熟练掌握矩阵的定义、两矩阵的相等概念；

高中数学《矩阵及其初等变换》课件

0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式： a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式： AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22

1-1矩阵的基本概念及运算

作业2
2.
即 AB AC× B C.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2
AB BA.
这属于特例，称之为“可交换矩阵”。
4. 单位矩阵——如同数和乘法中的 1
单位矩阵是一个方阵,并且除左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1以外,其他元素全都为0, 即
一般的线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
可以非常简单地表示为矩阵方程 AX B
a11 a12
这里,
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1 b1
a2n
X
2 0
5 T 1
4 2 5
2
0
1
1 2 3 4 2
0
1
0 2
0
2 1 3 5 1
A BT = AT BT .
2、矩阵的倍数 (即数与矩阵相乘)
1) 定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2) 数乘矩阵的运算规律
这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
B1
B2
Bm
特殊矩阵
特殊矩阵
零矩阵：所有元素全等于零的矩阵。矩阵相等：
①行数和列数分别相等； ②对应的元素都相等。

1-1线性代数

矩阵就是一个数表. 矩阵是数学中一个极重要的应用广泛的工具. 矩阵是数学中一个极重要的应用广泛的工具. 是数学中一个极重要的应用广泛的工具
11
一、矩阵的定义
1 .定义由m × n个数 a ij ( i = 1,2, L , m; j = 1,2, L , n) 定义
列的数表，排成的 m 行n列的数表，称为m 行n列矩阵.
同型， A与B相等： A = (aij )与B = (bij )同型，且与相等 aij = bij , i = 1,..., m; j = 1,..., n
记为 A = B.
23
例
设
1 2 3 A= , 3 1 2
1 B= y
x 3 , 1 z
已知 A = B , 求 x , y , z .
记作
A= A= diag(a11, a22 ,L, ann ).
2 0 如 A = diag( 2,−1) = 0 − 1
17
单位矩阵方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零. 方阵，主对角元素全为，其余元素都为零记作 I n 或 I .
1 1 = diag(1,1,...,1) In = O 1 n×n × 数量矩阵
9
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 一般的线性方程组 LLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
下三角矩阵下三角矩阵
a11 a 21 形如 L a n1

1.1-1.2 矩阵的概念与运算

b1 j b2 j bsj
b1n b2 n bsn
c1 j c ij c mj
其中 c ij a i 1 b1 j a i 2 b2 j a isbsj
2 1 2 3 1 2 3 例2. 求 (1) 1 2 ; (2) 3 1 0 - 4 0 - 3 5 3 1 2 1 0 解: 21 3 2 2 (2) 3 (1) 2 (3) 3 0 (1) 原式 1 1 (2) 2 1 (2) (2) (1) 1 (3) (2) 0 31 1 2 3 (2) 1 (1) 3 (3) 1 0
解:
1 1 1 0 0 1 AB 1 1 1 1 0 0
1 2 1 1 1 BA 1 1 1 1 2
2 2
此例说明: (1) AB 与 BA 未必相等 (2) 两个非零矩阵的乘积可能是一个零矩阵
例. 公鸡每只值五文钱, 母鸡每只值三文钱, 小鸡三只值一文钱. 现用一百文钱买100只鸡,问这一百只鸡中, 公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 1. 对线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 未知量前的系数及常数项按方程中的次序组成一个阵列 a11 a21 a m1 a12 a22 am 2 a1n b1 a2 n b2 amn bm

矩阵运算及应用

矩阵运算及应用矩阵是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，尤其在线性代数和计算机科学中。

矩阵运算是对矩阵进行各种操作和计算的过程，通过这些运算，可以得到矩阵的转置、相加、相乘等结果，进而解决具体的问题。

本文将介绍矩阵的基本定义及其运算规则，并通过实际应用案例展示矩阵在科学、工程和社会生活中的应用。

一、矩阵的定义和基本运算1.1 矩阵的定义矩阵是由数个数排列成的矩形阵列。

一个矩阵由 m 行 n 列的元素所组成，一般用大写字母 A、B、C...表示，其中 A[i,j] 表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。

1.2 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。

记矩阵 A 的转置为A^T，即 A^T[i,j] = A[j,i]。

1.3 矩阵的相加两个相同大小的矩阵 A 和 B 相加，即将对应位置的元素相加，得到新的矩阵 C。

设 A，B 和 C 都是 m 行 n 列的矩阵，则 C[i,j] = A[i,j] + B[i,j]。

1.4 矩阵的相乘假设 A 是一个 m 行 n 列的矩阵，B 是一个 n 行 p 列的矩阵。

那么A 和 B 的乘积 AB 是一个 m 行 p 列的矩阵，其中 AB[i,j] 表示 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的对应元素依次相乘再求和的结果。

二、矩阵运算的应用案例2.1 矩阵在图像处理中的应用图像处理是矩阵运算的一个重要应用领域。

在图像处理中，常常需要对图像进行旋转、缩放、模糊等操作，这些操作都可以通过矩阵运算来实现。

例如，对于图像的旋转操作，可以通过矩阵乘法来实现。

设原图像矩阵为 A，旋转矩阵为 R，新的图像矩阵为 B，那么有 B = R * A。

通过矩阵的乘法运算，可以将旋转矩阵作用于原图像矩阵上，得到旋转后的图像。

2.2 矩阵在经济学中的应用矩阵运算在经济学中的应用也是非常广泛的。

经济学家通常使用矩阵来表示各种经济指标之间的关系，通过对矩阵的运算，可以得到有关经济系统的重要信息。

矩阵的运算及其运算规则资料

矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。

1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A 是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A 的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A 的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。

北京科技大学线性代数课件1

0 0 1 O a 0 0 0 b 1 B 1 1 b
0 0 0 a 0 0 A2 A3 A4 其中 A1 0 1 b 1 1 1 b 0
Ait Btj Aik Bkj
线性代数1-2
例2 设 1 0 0 1 A 1 2 1 1 2 解： 1 0 E 0 1 A 1 2 1 A1 1
0 0 0 0 , 1 0 0 1
1 A1 0 1 1 1 0 1 2 1 B B 1 21 0 14 1 1 2
线性代数1-2
例
a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
1 0 0 a A a 0 0 A O 0 , 0 b 1 E B 1 E 1 1 b 0 1 0 0 a 0 0 ( A1 , A2 , A3 , A4 ) 0 b 1 1 1 b a 1
0 2 4 1
1 0 3 3
0 1 . 3 1
线性代数1-2
例2 设 1 0 0 1 A 1 2 1 1 2 解 1 0 E 0 1 A 1 2 1 A1 1
0 0 1 0 0 0 1 2 , B 1 0 1 0 1 1 0 1
线性代数1-2
第一章矩阵
1.2分块矩阵

分块矩阵的概念分块矩阵的运算规则
线性代数1-2
2.分块矩阵的运算规则分块的原则： (1)分块的目的是为了简化矩阵运算； (2)矩阵分块后必须使子块能够运)分块对角阵
线性代数1-2

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题.将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

在电力系统方面,矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。

1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1。

1.1运算规则设矩阵,，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1。

1.2运算性质满足交换律和结合律交换律;结合律．1。

2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A,就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1。

2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ）A=λ(μA）；（λ+μ）A =λA+μA．分配律：λ（A+B)=λA+λB．已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3。

1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与(左矩阵）A相同，列数与（右矩阵)B相同,即．（2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时,也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1。

1-1 矩阵及其运算

ai2(b21 x1 b22 x2 L b2n xn ) (ai1b12 ai2b22 L ailbl2 )x2
L
L
ai l (bl1 x1 bl 2 x2 L bl n xn ) (ai1b1n ai2b2n L ailbln )xn
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设有两个线性变换
am 2
L L
a1n
a2n M
amn
矩阵是一个整体, 总是加一括号.
称为 mn 矩阵, 并称 mn 为矩阵的型.
• aij : 矩阵的第 i 行第 j 列的元素, 简称 (i, j) 元. • 用粗体大写字母表示矩阵, 以上矩阵记为 A (aij).
• 当标明矩阵 A 的行列数时, 表示为 Amn , 或 (aij)mn .
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设有两个线性变换
(1)
z1
a11 y1 L LLLL
a1l
yl
(2)
y1
b11 x1 L LLLL
b1n xn
zm am1 y1 L am l yl
yl bl1 x1 L bln xn
将(2)代入(1)得线性变换
(3)
z1
c11 x1 L LLL
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例4 已知两个线性变换
z1 z2
2 y1 y2 y2 2 y3
3
y3
,
y1 y2
3x2 x3 x1 x3
z3 y3
y3 3 x2
求从 x1, x2, x3 到 z1, z2, z3 的线性变换.
z1 2 1 3 y1

矩阵(Matrix)PPT课件

a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向