第06章 布朗运动与其它的马尔可夫过程S

t 0
E [Y ( t )] 0 Var (Y (t )) (x) [ t ] {Y (t ), t 0}的极限过程 t 现在列出取 x c t 并令 t 0 所得的极限过程的一些直 观性质。从(6.1.1)及中心极限定理可见： (1) X (t ) 是正态的，均值为 0，方差为 c2t 。 此外，由于随机游动的值在不相重叠的时间区间中的变化是独 Y ( t ) x( X X X ) 立的，我们有 (2) {X (t ), t 0}有独立增量。 最后，由于随机游动在任一时间区间中的位置变化的分布只依 赖于区间的长度，看来有 (3) {X (t ), t 0}有平稳增量。
当 c 1，这过程常被称为标准布朗运动。由于任一布朗运动总能转 化为标准过程，为此只要看 X (t ) / c 就行了，故今后将假定 c 1 把布朗运动解释为随机游动(6.1.1)的极限提示了 X (t ) 应是 t 的连续 函数。 情况确是这样， 可以证明以概率 1，X (t ) 确实是 t 的连续函数， 这个事实非常深刻，本书不给出其证明。我们也应指出，尽管得知 X (t ) 的样本路径总是连续的，但它决不是普通的函数。因为正如从 作为随机游动的极限的解释中可预料的， X (t ) 总是有尖角的，因此 永远不会光滑，事实上能证明(虽然十分深奥)，以概率 1，X (t ) 是无 处可微的。
E[ X ( s) | X (t ) B] Bs / t 5. 布朗桥 Var[ X ( s) | X (t ) B] s(t s)/ t （1）定义 设{ X (t ), t 0}为布朗运动过程，考虑在 X (1) 0的条件下， 过程在 0 与 1 之间的值，即考虑条件随机过程 { X (t ),0 t 1| X (1) 0}。利用与建立(6.1.4)相同的推导，能证 明这过程是高斯过程，它以布朗桥著称(因为它同时在 0 与 l 被 固定为 0) 。我们来计算它的协方差函数。因为由 (6.1.4) ，对 s 1, E[ X ( s) | X (1) 0] 0,对 s t 1，有 Cov[( X ( s), X (t )) | X (1) 0] E[ X (t ) X ( s) | X (1) 0] E[ E[ X ( s) X (t ) | X (t )], X (1) 0] E[ X (t ) E[ X ( s) | X (t )]| X (1) 0] s E[ X ( t ) X ( t ) | X (1) 0] (由(6.1.4a))= t s s 2 E[ X ( t ) | X (1) 0] t (1 t ) (由(6.1.4b)) s(1 t ) t t
t （6.1.2) E[Y (t )] 0 Var (Y ( t )) ( x ) [ ] t
2
令 x 与 t 趋于 0，我们的做法必须使所得极限过程是非平凡的
(例如，若令 x t ，再取 t 0 ，则从上面的讨论可见 E[Y (t )] 及Var (Y (t )) 将同时收敛于 0， 从而Y (t ) 的极限要以概率 1 等于 0)。 若令 x c t ，c 为某个正常数，则从 (6.1.2)可见， t 0 时 E[Y (t )] 0 Var (Y (t )) c 2t ，令 X (t ) lim Y (t ) ，{X (t ), t 0}为
布朗运动与其它的马尔可夫过程
一、引言及基本定义 1. 引言 从讨论对称随机游动开始，此游动每个单位时间等可能地向左或向 右走一个单位步子。加速此过程，在越来越小的时间间隔中走越来越小 的步子。 假设每隔 t 时间等概率地向左或向右走一步，步长的大小取为 x 。
＋1, 若长为x的第i步向右 令 Xi ， 且 诸 Xi 相 互 独 立 ， 1， 若它向左 1 P{ X i 1} P{ X i 1} 。若以Y (t ) 记时刻 t 的位置，则 2 (6.1.1) Y (t ) x( X 1 X 2 X[ t / t ] ) 由于 E[ X i ] 0,Var ( X i ) E[ X i2 ] 1,由(6.1.1)可见
4．布朗运动过程是高斯过程 由于 X (t ) 是正态的，均值为 0，方差为 t，它的密度函数为 1 x2 / 2t ft ( x ) e 2 t 由平稳独立增量的假设容易得出 X ( t1 ), , X ( t n ) 的联合密度为 (6.1.3) f ( x1 , x2 , , xn ) f t1 ( x1 ) f t2 t1 ( x2 x1 ) f tn tn1 ( xn xn1 ) （密度作概率进行直观推导） f ( x1 , x2 , , xn ) P{ X ( t1 ) x1 , X ( t 2 ) x2 , , X ( t n ) xn } P{ X ( t1 ) x1 , X ( t 2 ) X ( t1 ) x2 x1 , , X ( t n ) X ( t n1 ) xn xn1 } P{ X (t1 ) x1 }P{ X (t2 ) X (t1 ) x2 x1 } P{ X (t n ) X (t n1 ) xn xn1 } P{ X ( t1 ) x1 }P{ X (t 2 t1 ) x2 x1 } P{ X (t n t n1 ) xn xn1 }
f ( x, B) f s ( x ) ft s ( B x ) f s / t ( x | B) ft ( B) ft ( B)
1 e 2 s
x2 2s
1 e 2 ( t s ) 1 e 2 t
B2 2t
( B x )2 2( t s )
t B2 x 2 ( B x )2 1 ( x Bs / t )2 exp{ }exp{ } exp{ } 2 s( t s ) 2t 2 s 2( t s ) 2 s( t s )/ t 2 s( t s )/ t 因此给定 X (t ) B 时 X ( s) ( s t ) 的条件分布是正态的，其均值 及方差为 (6.1.4a) E[ X ( s) | X (t ) B] Bs / t (6.1.4b) Var[ X ( s) | X (t ) B] s(t s)/ t
t1 ,
的， 所以布朗运动过程是高斯过程， 这里我们用到了下列定义。 随 机 过 程 { X (t ), t 0} 称 为 高 斯 过 程 ， 若 对 一 切
, X ( t n )具有多元正态分布。
f ( x1 , x2 , , xn ) ft1 ( x1 ) ft2 t1 ( x2 x1 ) ftn tn1 ( xn xn1 )
f t1 ( x1 ) f t2 t1 ( x2 x1 )
f tn tn1 ( xn xn1 )
利用(6.1.3)，原则上可以计算任何想求的概率。例如，对 s t ， 假定我们要求给定 X (t ) B时 X (s)的条件分布，条件密度是
f ( x1 , x2 , , xn ) ft1 ( x1 ) ft2 t1 ( x2 x1 ) ftn tn1 ( xn xn1 )
因此给定 X (t ) B 时 X ( s) ( s t ) 的条件分布是正态的，其均值 及方差为 (6.1.4a) E[ X ( s) | X (t ) B] Bs / t (6.1.4b) Var[ X ( s) | X (t ) B] s(t s)/ t 有意思的是注意到给定 X (t ) B 时 X ( s) 的条件方差 ( s t ) 不依 赖于 B !也就是， 若令 s / t ,0 1， 则给定 X ( tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) 时 X (s)的条 件分布是正态的，均值为 E[ X ( s) | X (t )] X (t )s / t X (t ) ，方 差为Var[ X ( s) | X (t ) B] s(t s)/ t (1 )t 。 从 (6.1.3) 也得出， X ( t1 ), , X ( t n ) 的联合分布是多元正态 定义
2
1
2
[ t / t ]
2.基本定义 现在已为下列定义作好准备。 定义 随机过程{X (t ), t 0}称为布朗运动过程,若 (1) X (0) 0； (2）{X (t ), t 0}有平稳独立增量； (3)对每个 t 0, X (t ) 服从正态分布，均值为 0，方差为 c2t 。 布朗运动过程，有时称为维纳过程，是应用概率论中最有用的 随机过程之一。它起源自物理学中对布朗运动的一种描述，这种现 象，以发现它的英国植物学家罗伯特· 布朗命名，是一个完全浸没于 一种液体或气体中的小粒子显示出的运动。自从它被发现以来，这 过程被有效地应用于这样一些领域，如拟合优度的统计检验，分析 股票市场的价格水平及量子力学等。 布朗运动现象的首次解释是爱因斯坦于 1905 年给出的。他证 明，假设浸没的粒子连续不断地受到周围介质的分子的冲击，布朗 运动就可得到解释。然而上述简洁的用以描述布朗运动的随机过程 的定义是维纳在起自 1918 年的一系列论文中给出的。
因此布朗桥可定义为均值为 0，协方差函数为 s(1 t ) ( s t ) 的 高斯过程，这导致得到这一过程的另一种方法。 命题 6.1.1 若 { X (t ), t 0} 是 布 朗 运 动 ， 则 Z (t ) X (t ) tX (1) 时 ， { Z (t ),0 t 1}是布朗桥过程。 证明 由于{ Z (t ), t 0}显然是高斯过程，我们需要验证的 只是 E[ Z (t )] 0及 s t 时 Cov( Z (t ), Z ( s)) s(1 t )。 前者是显然 的，后者得自 Cov( Z ( s), Z (t )) Cov( X ( s) sX (1), X (t ) tX (1)) Cov ( X ( s ), X ( t )) tCov ( X ( s ), X (1)) s cov( X (1), X ( t )) st cov( X (1), X (1)) = s st st st s(1 t ) 证毕。
Y (t ) x( X 1 X 2
X (t ) lim Y (t )
t 0
X[ t / t ] )
3．布朗运动过程是马尔可夫过程 独立增量的假设蕴含了在时刻 s 与 t+s 之间的位置变化(即 X (t s) X (s))与过程在时刻 s 之前的值独立。因此 P{X (t s) a | X (s) x, X (u),0 u s} P{X (t s) X (s) a x | X (s) x, X (u),0 u s} P{X (t s) X (s) a x} P{X (t s) X (s) a x | X (s) x} P{X (t s) a | X (s) x} 这表明给定现在 X (s)及过去 X (u)(0 u s) 将来的状态 X (t s) 的条件分布只依赖于现在。 满足这一条件的过程称为马尔可夫 过程，布朗运动是连续时间连续状态的马尔可夫过程。
, t n , X ( t1 ),
定义 W1 ,
m
,Wn 称为有联合正态分布，若它们可表示为
Wi aijU j , i 1,
j 1
,n
其中U j ( j 1,
, m) 是独立正态随机变量。
由于多元正态分布完全由边际均值与协方差决定，所以布朗运 动也能定义为一个高斯过程，其 E[ X (t )] 0，对 (s t ) Cov( X ( s), X (t )) Cov ( X ( s ), X ( s ) X ( t ) X ( s )) Cov ( X ( s ), X ( s )) Cov ( X ( s ), X ( t ) X ( s )) s min( s , t ) 其中最后的等式来自独立增量性及Var[ X (s)] s 。