初中数学复习第一讲数的整除

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数的整除知识点范文

数的整除知识点范文数的整除是数学中一个重要的概念和知识点，它在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。

本文将详细讨论数的整除的定义、性质、判定方法以及一些常见的相关概念和定理。

一、整除的定义和性质在数学中，如果一个整数a能够被另一个整数b整除（即a能够被b整除），则称a是b的倍数，b是a的约数。

用数学符号表示为：如果a是b的倍数，则记作b，a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。

如果a不能被b整除，则记作b∤a，读作“b不整除a”或“a不能被b整除”。

整除具有以下几个基本的性质：1.对于任意整数a，a，a（即一个数能够整除它自身）。

2.如果a，b且b，c，则a，c（即如果a能够整除b，b能够整除c，那么a可以整除c）。

3.对于任意整数a，1，a且a，a（即1能够整除任何数，任何数整除它本身）。

4.如果a，b且b≠0，则，a，≤，b，（即如果一个数能够整除另一个非零数，那么它的绝对值要小于等于另一个数的绝对值）。

二、整除的判定方法和性质1.朴素整除判定法：要判断一个数a是否能够被另一个数b整除，可以用以下方法：（1）求出a的所有约数；（2）判断b是否为a的约数之一这种方法的时间复杂度是O(a)。

2.整除的性质：（1）如果a，b且a，c，则a，(bx+cy)，其中x和y是任意整数。

（2）如果a，b且a，c，则a，(b±c)。

（3）如果a，b且a，(b±c)，则a，c。

三、相关概念和定理1. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指整数a和b的最大正约数，记作gcd(a, b)；最小公倍数是指整数a和b的最小正倍数，记作lcm(a, b)。

两者满足以下性质：（1）gcd(a, b) = gcd(b, a)；（2）如果a能够整除b，则gcd(a, b) = ，a；（3）gcd(a, b) * lcm(a, b) = ，a * b。

2.质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积。

第1讲数的整除-学生讲义

第1讲数的整除一、知识点1.整除的概念：整数a 除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，则称a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，其中a叫做b的倍数，b叫做a的因数。

注意：我们讨论的整除性均在正整数范围内。

2.数的整除特征（1）一个数的个位数字是0，2，4，6，8中的某一个，那么这个整数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字是0或者5，那么这个整数就能被5整除。

（3）一个数各数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除。

（4）一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）|（7）一个数既能被2整除，又能被3整除，则这个数能被6整除，反之一个数能被6整除，则这个数一定能被6的因数（1,2,3,6）整除。

（8）能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。

（9）能被7（11或13）整除的特征：一个数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。

3.数整除的性质（1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被数c整除（2）如果数a能被数b整除，c是整数，那么ac也能被数b整除。

（3）如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么数a也一定能被数c整除。

（4）如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。

二、典例剖析#例1.周老师为全班28名同学买了价格相同的钢笔（每人一支），共付人民币9□.2□元。

已知□处数字相同，请问钢笔每支多少元练一练1.老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数□□元，回校后发现有两个数字已经看不清了，你能帮助补上这两个数字吗|例2.已知292x y 能被36整除，求所有满足条件的五位数。

七年级数学-数的整除性

数的整除性阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：①若a|b，b|c，则a|c；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|a，则[b，c]|a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．ab能被198整除，求a，b的值．【例3】已知整数13456(江苏省竞赛试题)ab能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，解题思想：198=2×9×11，整数13456求出a，b的值．【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．(2013年全国初中数学竞赛试题)解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m 的“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0；⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得19990x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．能力训练A 级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有17的学生得优，13的学生得良，12的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题)3．一个五位数398ab 能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( )A ．532B ．665C ．133D ．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A ．1B ．2C ．3D ．6(江苏省竞赛试题)6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( )A ．12个B ．18个C ．20个D ．30个(“希望杯”邀请赛试题)7．五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，那么abcde 的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef ，使得三位数abc ，bcd ，cde ，def 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)B 级1．若一个正整数a 被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a 的最小值为_________，a 的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题)2．已知m ，n 都是正整数，若1≤m ≤n ≤30，且mn 能被21整除，则满足条件的数对(m ，n )共有___________个．(天津市竞赛试题)3．一个六位数1989x y 能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数1991a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．A．4 B．6 C．8 D．126．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．(美国数学邀请赛试题)8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题)。

初中六年级数学第1课时整数与整除(含答案)

初中六年级数学第1课时整数与整除学习目标1. 理解和掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念；2. 理解和掌握整除的条件，会区分整除和除尽；3. 在整除中，能够说明谁是谁的倍数，谁是谁的因数；4. 理解和掌握求一个整数的所有因数的方法，理解整数的最小和最大的因数；5. 理解和掌握求一个整数在一定范围内的倍数，理解整数的最小的倍数.核心知识1. 整数：正整数、零、负整数，统称为整数.零和正整数统成为自然数.正整数整数零自然数负整数2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.注：（1）整除的条件：(3整1零)①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零.（2）凡是整除一定能除尽，但除尽的不一定能整除；3. 因数与倍数：如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b叫做a的因数(也称为约数).注：（1）因数、倍数是互相依存的.不能说a是倍数、b是因数！（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身.（3）一个正整数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身.（4）1只有一个因数1，除1以外的整数，至少有2个因数.（5）一个整数既是它本身的约数又是它本身的倍数.（6）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数.（7）0是任何一个不为0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数.4. 能被2、5整除的数：（1）能被2整除的数的特征是个位上的数字是0、2、4、6、8；（2）能被5整除的数的特征是个位上的数字是5或0；（3）能同时被2、5整除的数的特征是个位上的数字是0.（4）能被3整除的数的特征是各个数位上的数字相加的和是3的倍数.5. 奇数和偶数：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数.6. 素数、合数与分解素因数：（1）正整数按照因数的个数分类可以分为素数、合数、1.（2）素数(质数)：只有1和它本身两个因数；合数：至少要有3个因数.注：（1）最小的素数是2；最小的合数是4；（2）1 既不是素数也不是合数；7. 分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来叫分解素因数.分解素因数常用的方法有：树枝分解法、短除法、口算法等.温故知新一、整数1、下列说法中，错误的是：( A )A. 最小的整数是0B. 最大的正整数不存在C. 最大的负整数是－1D. 最大的自然数不存在2、最小的正整数是 1 ，最大的负整数是－1 .3、把下列各数填入相应的横线上：－3，18，－143，0，5，100.负整数：－3 ，－143 ；正整数：18，5，100 ；整数：－3，18，－143，0 ，5，100 .二、整除4、下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是：( D )A. 4和12B. 24和5C. 35和8D. 91和75、除式9÷1.5=6表示( C )A. 9能被1.5整除B. 1.5能整除9C. 9能被1.5除尽D. 以上说法都不确切6、28能被a整除，a一定是( D )A. 4或7B. 2、4或7C.2、4、7、14或28D. 1、2、4、7、14或287、18÷9=2，我们就说18 能被9 整除或9 能整除18 .8、能整除14的数是1、2、7、14 .三、因数和倍数9、6的因数有( C )A.8个B. 6个C. 4个D. 2个10、6的倍数有( D )A.1个B. 2个C. 3个D. 无数个11、已知14能整除a，那么a是( D )A.1和14B. 2和14C. 14的因数D. 14的倍数12、下列说法错误的是( C )A. 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身B. 一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身C. 12在100以内的倍数共有10个D. 一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16四、能被2、5整除的数13、末位数字是0、2、4、6、8 的数一定能被2整除.14、能同时被2、5整除的数，它的个位上的数必是0 .15、能被5整除的最大的两位数是95 ，最小的两位数是10 .16、奇数与偶数的积必定是偶数.17、两个连续自然数的和是奇数.18、写出100以内能同时被2、3、5整除的数30、60、90 .五、素数、合数与分解素因数：19、在正整数1到20中，奇数有10 个，偶数有10 个，素数有8 个，合数有11 个.20、在1、2、9这三个数中， 2 既是素数又是偶数，9 既是合数又是奇数，1 既不是素数也不是合数.21、老师将259本新书平均分给六(2)班全体同学，你认为六(2)班有同学37 位.典型例题例1 下列算式中，被除数能被除数整除的是( D )A. 25÷4B. 25÷0.5C. 2.5÷5D. 5÷5例2 12÷4=3，下列说法不正确的是( D )A. 12是4的倍数B. 4是12的因数C. 4是12的约数D.12是倍数例3下面哪些数能被2整除？哪些能被5整除？哪些能同时被2和5整除？35、85、60、108、321、1234、2010能被2整除：60、108、1234、2010能被5整除：35、85、60、2010能同时被2和5整除：60、2010例4 下列数中，哪些是奇数？哪些是偶数？13、24、37、10、9、123、88、0、345奇数：13、37、9、123、345偶数：24、10、88、0例5 两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？解：216=2×2×2×3×3×3=12×18所以这两个数就是12和18，它们和是30.例6 除式21÷5=4……1，如果除数不变，要使这个除式成为整除，那么被除数至少增加 4 ，这时候商为 5 .5 5 5 5 1+？线段图解例71到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？解：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100（都是平方数）.针对训练一、填空题1、24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24 .2、若□27□能同时被2和5整除，那么这个四位数最大是9270 .3、在20的所有因数中，最大的是20 ，最小的是 1 .4、一堆苹果，2个2个数、3个3个数和5个5个数都剩下一个，这堆苹果最少有31 个.二、选择题5、下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是：( C )A. 14和7B. 2.5和5C. 9和18D. 0.4和86、能同时被2、5整除的最大两位数加上1后是：( A )A. 91B. 89C. 11D. 97、一个正方形的边长是奇数，它的周长是：( A )A.偶数B. 奇数C.无法确定D.我承认我不知道8、有两个质数，它们的和是18，积是65，它们的差是( D )A. 11B. 9C.12D. 8三、解答题9、将下列各数分别填入相应的集合圈内：－5、0、21、81、43、215、－9、－8.1、1.整数正整数负整数10、写出63的所有因数 1、3、7、9、21、63 .11、已知：A=2×3×5，B=3×3×5，则A 和B 相同的因数有哪些？解：1、3、5、1512、用0、3、4、5四个数字，按下列要求排成没有重复数字的四位数，并请指出满足条件的这些四位数中最大的四位数.（1）能被2整除，但不能被5整除；5304（2）能被5整除，但不能被2整除；4305（3）既能被2整除，又能被5整除；5430－5， 0， 21， 81， 215，－9， 1 21， 81， 215， 1 －5，－9自我测试1、已知m能整除31，那么m是( C )A. 62B. 13C. 1和31D. 932、37÷4=9.25表示( C )A. 37能被4整除B. 4整除37C. 37能被4除尽D. 37不能被4除尽3、下列说法正确的是( C )A. 一个数的因数总比这个数小B. 9是2的倍数C. 一个整数的倍数有无数多个D. 一个整数的倍数中最大的倍数是它本身4、下列各数中，不能同时被2、5整除的是( C )A. 7550B.2100C. 725D. 90005、下列说法中，正确的是( C )A. 12是倍数，3是约数B. 能被2除尽的数都是偶数C. 任何奇数加上1后，一定是偶数D. 偶数除以2所得的结果一定是奇数6、下列各组数中，第1个数不能被第2个数整除的是( A )A. 1.5和0.5B.15和5C. 4和4D. 10和27、下列说法错误的是( B )A. 数a能被数b整除，则数b一定能除尽数aB. 数a能被数b除尽，则数a一定能被数b整除C. 一个大于1的整数，至少能被两个数整除D. 在10以内只能被2个数整除的最大数是78、如果n是一个正整数，且n能整除8，那么n= 1、2、4、8 .9、100以内能同时被3和7整除的最大奇数是63 ，最大偶数是84 .10、如果一个长方形的长和宽都是整数厘米，并且这个长方形的面积是24平方厘米，想一想，这个长方形的周长是多少？解：∵24=1×24=2×12=3×8=4×6∴周长可以为20，22，28，50厘米.课后作业1.最小的自然数是0 ，最小的正整数是 1 .2.一个自然数的最小因数是 1 ，最大的约数是它本身，最小的倍数是它本身.3.一个数的最小倍数是49，这个数的因数有1，7，49 .4.四位数256□能同时被2，5整除，那么□应该是0 .5，.100以内能同时被3和5整除的最大数是90 ，最小数是15 .6.判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正）（1）最小的自然数是1. （×）（2）如果整数a能被整数b（b≠0）除尽，那么就可以说a能被b整除. ( ×) （3）最小的整数是0. （×）（4）非负整数是自然数. （√）（5）如果a能被b整除，那么a是b的倍数，b是a的因数. （√）7. 下列说法中正确的个数是( B )（1）一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大；（2）一个正整数的倍数一定能被它的因数整除（3）一个正整数的因数至少有两个（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个8. 一个奇数要变成偶数，下面各方法中除（ D ）外都可以（A）加上1 （B）减去3 （C）乘以2 （D）除以29. 一个数既是100的因数，又是10的倍数，它不能被4整除，那么这个数是什么？解：10或50资源来源于网络整理。

数学七年级竞赛入门辅导讲义_共十讲_很实用 2

第一讲数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B （B ≠0）所得的商A /B 是整数，那么叫做A 被B 整除． 0能被所有非零的整数整除．一些数的整除特征除数能被整除的数的特征 2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除 8或125末三位数能被8或125整除 3或9各位上的数字和被3或9整除（如771，54324） 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减，其差能被11整除（如143，1859，1287，908270等）7，11，13 从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差能被7或11或13整除．（如1001，22743，17567，21281等）能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除．如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1 已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除．求x ，y解：x ，y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y =6．∵328＋92x ＝567，∴x =3．1234能被12整除，求x．例2 己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8．当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8．∴x＝8．例3 求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数．解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263．三、练习1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296．987能被3整除，那么a=_______________．2若四位数ax能被11整除，那么x＝__________．3若五位数123435m能被25整除．4当m=_________时，59610能被7整除．5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________．7能被4整除的最大四位数是_____，能被8整除的最小四位数是______．88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________，8__________，9_________，11__________．9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个．10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？1234能被15整除，试求A的值．11己知五位数A12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数．第二讲倍数约数一、内容提要1．两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B/A），那么A叫做B 的倍数，B叫做A的约数．例如3/15，15是3的倍数，3是15的约数．2．因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除．0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数．如0是7的倍数，7是0的约数．3．整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……．4．整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A．例如6的约数是±1，±2，±3，±6．5．通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数．6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）．7．在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除．二、例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32．解：列表如下：正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计2 1，2 2 31，3 2 2×3 1，2，3，6422 1，2，4 3 32 1，3，32 3 22×3 1，2，3，4，6，12623 1，2，4，84 331，3，32，334 22×321，2，3，4，6，9，12，18，36924 1，2，4，8，165 341，3，32，33，345其规律是：设A＝a m b n(a，b是质数，m，n是正整数) 那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)例如：求360的正约数的个数．解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）．例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6．最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24，90]=360．例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N．解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数．∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6．经检验1和2不合题意，∴N＝6，3．例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除，所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1．解：∵[10，9，8]=360，∴所以所求的数是359．三、练习1．12的正约数有_________，16的所有约数是_________________2．分解质因数300＝_________，300的正约数的个数是_________3．用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数．4．一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________5．能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6．己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________7．写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数．答____8．一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9．一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？第三讲质数合数一、内容提要1．正整数的一种分类：1⎧⎪⎨⎪⎩质数合数质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）．合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数．2．根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数，② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3．任何合数都可以分解为几个质数的积．能写成几个质数的积的正整数就是合数．二、例题例1 两个质数的和等于奇数a （a ≥5）．求这两个数．解：∵两个质数的和等于奇数， ∴必有一个是2，所求的两个质数是2和a －2．例2 己知两个整数的积等于质数m ，求这两个数．解：∵质数m 只含两个正约数1和m ，又∵（－1）（－m ）=m ，∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m ．例3 己知三个质数a ，b ，c 它们的积等于30，求适合条件的a ，b ，c 的值．解：分解质因数：30＝2×3×5．适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a ．应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a ，b ，c ，d 它们的积等于210，即abcd =2×3×5×7那么适合条件的a ，b ，c ，d 值共有24组，试把它写出来．例4 试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数．解：（本题答案不是唯一的）设N 是不大于5的所有质数的积，即N ＝2×3×5那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，N ＋5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数．本题可推广到n 个．令N 等于不大于n +1的所有质数的积，那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，……N ＋（n +1）就是所求的合数．三、练习1．小于100的质数共个，它们是．2．己知质数P 与奇数Q 的和是11，则P ＝，Q ＝．3．己知两个素数的差是41，那么它们分别是．4．如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是．如果两个整数的积等于73，那么它们是．如果两个质数的积等于15，则它们是．5．两个质数x 和y ，己知xy=91，那么x = ，y = ，或x = ，y= ．6．三个质数a ，b ，c 它们的积等于1990．那么 _______________a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩7．能整除311＋513的最小质数是．8．己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99，AB ＝M ．求M 及B A ＋AB 的值． 9．试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数．10．具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11．求适合下列三个条件的最小整数：① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数．12．某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是．13．一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是．第四讲零的特性一、内容提要（一）、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数．零是自然数，是整数，是偶数．1．零是表示具有相反意义的量的基准数．例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存0元．2．零是判定正、负数的界限．若a＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0记作a＞0 ⇔a是正数读作a＞0等价于a是正数b<0 ⇔b是负数c≥0 ⇔c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d≤0 ⇔d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)e≠0 ⇔e不是0（即e不是0，而是负数或正数）3．在一切非负数中有一个最小值是0．例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0．记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）．4．在一切非正数中有一个最大值是0．例如－|x|≤0，当x＝0时，－| x |值最大，是0，（∵x≠0时都是负数），－（x－2）2≤0，当x＝2时，－（x－2）2的值最大，是0．(二)、零具有独特的运算性质1．乘方：零的正整数次幂都是零．2．除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数．从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0．3．乘法：零乘以任何数都得零．即a×0＝0，反过来如果ab=0，那么a、b中至少有一个是0．要使等式xy=0成立，必须且只需x=0或y=0．4．加法：互为相反数的两个数相加得零．反过来也成立．即a、b互为相反数⇔a+b=0。

初中数学知识点全面梳理(沪教版)--01数的整除

目录六年级上册 (2)第一章数的整除 (2)第一节整数和整除 (2)1.1整数和整除的意义 (2)1.2因数和倍数 (4)1.3能被2、5整除的数 (4)第二节分解质因数 (6)1.4素数、合数与分解质因数 (6)1.5公因数与最大公因数 (6)1.6公倍数与最小公倍数 (7)六年级上册第一章数的整除第一节整数和整除1.1整数和整除的意义零和正整数统称为自然数。

正整数、零、负整数统称为整数。

重点题型：1. 在8，－10，0，0.25，－50，73，100，－8.5中，正整数有，自然数有，整数有。

2.最小的自然数是。

3、提高（非负整数）----小于3的非负整数有。

4、除0以外的数都是自然数。

( )整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。

注意整除的条件：1、除数、被除数都是整数2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

重点题型：(1) 在下列各组数中，如果第一个数能被第二数整除，请在（）内打勾。

72和36； 17和34； 3.5和0.5； 51和17；（）（）（）（）(2) 在上列各组数中，如果第一个数能整除第二数，请在（）内打△。

判断：（1）1能被任何正整数整除. ( )（理由:能整除任何正整数.）（2）因为15÷4=3.75，所以4能被15整除。

( )（理由：商不是整数。

）（3）能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除。

( )（理由：整除一定能除尽，除尽不一定能整除。

）填空:1、45÷5= 9， ( ) 能被( ) 整除，( )能整除( )；( )是( ) 的因数，( ) 是( ) 的倍数。

2、一个正整数a的因数的个数是( ) ，其中最小的一个是( )，最大的一个是( )；正整数a的倍数的个数是( )，其中最小的一个是( ) 。

3、一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是( )，最小因数是( ) 。

4、有一个数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是( ) 。

初中数学第1章数的整除教案及试题

第一章数的整除基础知识通关1.1整数和整除1.自然数：和统称为自然数.2.整数：、、负整数，统称为整数.3.整除：整数a 除以整数b，如果初得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除...4.整除的条件：除数、被除数都是；被除数除以除数，商是整数而且余数为....5.倍数与因数：整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的（也称约数）；一个整数的因数中最小的因数是，最大的因数是 .....6.能被 2 整除的数：个位上是 0,2,4,6,8 的整数都能被 2 整除；能被 2 整除的整数叫做，不能被2 整除的整数叫做 ......7.能被 5 整除的数：个位上是的整数都能被 5 整除.8.能被 5 或9 整除的数：一个数各位数字之和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；一个数各位数字之和能被 9 整除，整数就能够被 9 整除。

1.2分解素因数9.素数与合数：一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做，也叫做；如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做；既不是素数，也不是合数，这样，正整数又可以分为、和三类.10.分解素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的，叫做这个合数的素因数，把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做..........11.最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的，其中最大的一个叫做这几个数的..............12.互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数.......13.最大公因数的性质：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数，如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是......14.最小公倍数：几个整数的公有的倍数叫做它们的，其中最的一个叫做它们的..........15.最小公倍数的性质：如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数是它们的最小公倍数，如果两个数互素，那么就是它们的最小公倍数.16.因数个数和因数和：（1）将N 分解素因数，并写成标准形式N=aa1aa1∙aa2aa2∙aa3aa3∙∙∙aa aa aa aa.（2）N 的因数个数为A=（a a1+ 1）（aa2+ 1）（aa3+ 1）∙∙∙（a a a a+ 1）.（3）N 所有因数的和为S=（aa0 + aa1 + ⋯aa aa1）（aa0 + aa1 + ⋯aa aa2）⋯（aa0 + aa1 + ⋯aa aa aa）.1 1 12 2 2aa aa aa17.带余除法：一般地，对于整数 a,b（b≠0）a÷b=q……r，即 a=bq+r，其中 0≤r≤|aa|. 当 r＝0 时，我们称 a 能被 b 整除（或 b 能整除 a）.此时 a 为b 的倍数，b 为a的因数. 当r≠0 时，我们称a 不能被 b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商.一．选择题（共 10 小题）单元检测1.根据546 9 ，下列说法正确的是( )A.54 能整除 9B.9 能被 54 整除C.54 是 9 的因数D.54 能被 9 整除2.下列说法中正确的是( )A.任何正整数的因数至少有两个B.1 是所有正整数的因数C.一个数的倍数总比它的因数大D.3 的因数只有它本身3.一个汽车站内有两路公共汽车，甲路汽车每隔 m 分钟发一次车，乙路汽车每隔 n 分钟发一次车(m 、n 均为正整数)，这两路汽车同时发车后，紧接的下次又同时发车的时间(分钟)是 m 和 n 的( ) A.公因数 B.最大公因数 C.公倍数 D.最小公倍数4.任意两个数的（）的个数是无限的.A.公倍数B.公因数C.最小公倍数D.最大公因数5.下列各数中，能同时被 2、3、5 整除的数是( )A.20B.25C.30D.35 6.一个两位数既是 5 的倍数，又是 2 的倍数，这个两位数最大是（）A.10B.90C.95D.100 7. a2 23 3 ，则 a 有( )个因数．A.2B.4C.5D.98. 已知 m 、 n 都是非零自然数，且mn11 ，那么 m 和 n 的最大公因数是（）A.1B. mnC. mD. n9. 一列数，第一个数是 15，第二个数是 40，从第三个数开始，每个数恰好是它前面两个数之和，这列数的第 2009 个数除以 4 的余数是( )．A.0B.1C.2D.3 10.如果37 是 3 的倍数，那么里可能是( )A.1 、 5B.3 、 8C.2 、 5 、 8D.2 、 5 二．填空题（共 10 小题）11.在所有能被 7 整除的正整数中，最小的一个正整数是．12.在 1，6，8，24，32，36，40 中，能同时被 2，6 整除的数有个．13.如果 A 2 3 5 ， B 3 57 ，那么 A 和 B 的最大公因数是．14.能同时被 2 和 5 整除的最大两位数是．15. A2 2 5 ， B 23 3 ，那么 A 和 B 的最小公倍数是． 16. 如果 a ， b 两数互素，它们的最小公倍数是 30，其中a 5 ，那么b 的值为．17. 小于 50(包括 50)的自然数中，既能被 3 整除，又能被 5 整除的数有个．18.与 52 的最大公因数是 26，而最小公倍数是 156．19. 某校开展有奖答题活动，一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字是最小的自然数，这个一等奖的中奖号码的因数个数是个．20.在、、、和五个数中，能被2 整除的数是；能被3 整除的数是；能被整除的数是；能同时被、整除的数是；能同时被、整除的数是；；能同时被、整除的数是；能同时被、、整除的数是．三．解答题（共 5 小题）21.一个数被 2，3，5 除余1，这个数最小是多少？22.植树节这天，老师带领 24 名女生和 36 名男生到植物园种树．老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组的男生人数都相等，问：这 60 名同学最多能分成几组？并且每个组有几名男生？23.小明的外婆从家乡带来一篮苹果，小明数了数，发现每次拿出 4 个、每次拿出 5 个或每次拿出6 个，都恰好拿完，又知道苹果的总数超过 100 个，但又不足 150 个，试问这篮苹果共多少个？24.幼儿园大班有 36 个小朋友，中班有 48 个小朋友，小班有 54 个小朋友；按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有多少个小朋友？一共可以分成多少组？25.把一张长 90 厘米，宽 60 厘米的长方形纸片裁成正方形(纸无剩余)，至少能裁多少张？四．附加题（共 2 小题）26.阅读下面的叙述后回答问题：甲、乙、丙三家新闻台每天中午 12：00 开始播报新闻，其中：甲台每播报 10 分钟新闻后就接着播广告 2 分钟；乙台每播报 8 分钟新闻后就接着播广告 1 分钟；丙台每播报 15 分钟新闻后就接着播广告 3 分钟；当这三家新闻台的广告第一次同时结束时，新闻播报结束．问：几点新闻播报结束？27.为了迎接期中考试，小强对考试前剩余时间作了一个安排，他把计划复习重要内容的时间用一个四边形圈起来．如图，他发现，用这样的四边形圈起来五个数的和恰好是 5 的倍数，他又试了几个位置，都符合这样的特征．若设这五个数中间的数为，请你用整式的加减说明其中的道理．基础知识通关答案1.零，正整数2.正整数，零3.a，b，b，a 4.整数，零5.因数，1，它本身6.偶数，奇数7.0 或者 59.素数，质数，合数，1，1，素数，合数10.因数，分解素因数11.公因数，最大公因数12.互素13.114.公倍数，最小公倍数15.他们的乘积单元检测答案一．选择题（共 10 小题）1.【答案】D【解析】54 能被 9 整除，D 选项正确．【知识点】3，4，52.【答案】B【解析】1 的因数只有 1 个，故 A 错；1 是所有正整数的因数，故 B 正确；因为一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身，即一个数的最大因数和它的最小倍数相等，故 C 错误；3 的因数还有 1，故D 错．【知识点】53.【答案】D【解析】解：由分析知：紧接的下次又同时发车的时间(分钟)是 m 和n 的最小公倍数．故选：D．【知识点】144.【答案】A【解析】解：由分析可知：任意两个数的公倍数的个数是无限的；故选：A.【知识点】145.【答案】C【解析】20 的因数为 1，2，4，5，10，20；25 的因数为 1，5，25；30 的因数为 1，2，3，5， 6，10，15，30；35 的因数为 1，5，7，35；所以能同时被 2、3、5 整除的数是 30．【知识点】5，6，7，86.【答案】B【解析】解：根据是 2、5 的倍数的数的特征，可得这个两位数的个位上是 0，所以这个两位数最大是 90.故选：B.【知识点】6，7【解析】 2 1 2 1 9 ，选 D．【知识点】168.【答案】D【解析】解：因为m n 11 ，m 、n 是不为 0 的自然数，那么m 和n 的最大公因数是n ；故选：D.【知识点】139.【答案】C【解析】，，，，，，，，．从上述所得 6 个循环组，而第2009 6 334 5 ，即第2009 个数除以4 的余数与第5 个数除以 4 的余数相同，则余数为 2，选 C．【知识点】1710.【答案】C【解析】解：37 是3 的倍数，即 3 7 是3 的倍数，可填2、5、8，故选C．【知识点】8二．填空题（共 10 小题）11.【答案】7【解析】解：最小的一个正整数是7 1 7 ．【知识点】3，512.【答案】3【解析】解：能同时被 2，6 整除的数应该同时是 2，6 的倍数，所以有 6，24，36，一共有 3 个．【知识点】3，513.【答案】15【解析】解：由题意可知A 和B 的最大公因数是3 5 15 ．【知识点】7，8，1114.【答案】90【解析】解：能同时被 2，5 整除的数为 10 的倍数，同时又是其中最大的两位数，所以是 90．【知识点】6，7，1415.【答案】180【解析】最小公倍数 2 2 3 3 5 180 ．【知识点】1416.【答案】6【解析】两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫做它们的最小公倍数．又因为a ，b 两数互素．所以ab 30 ．可求得b 30 5 6 ．【知识点】11，1417.【答案】4【解析】解：满足条件的自然数有 0，15，30，45，共 4 个．【知识点】1，3，7，8【解析】52x 26 156 ，x 78 ，这个数是78．【知识点】11，1419.【答案】20【解析】这个中奖号码是 240，240 24 3 5 ，因数个数为： 4 11111 20 (个)．【知识点】1，8，1620.【答案】，，，，，，【解析】提示：能被整除的数的特征：末位是、、、、；能被整除的数的特征：各个数位数字之和被整除；能被整除的数的特征：末位是、；能被整除的数的特征：各个数位数字之和被整除．【知识点】3，6，7，8三．解答题（共 5 小题）21.【答案】31．【解析】2，3，5 互素，最小公倍数是2 3 5 30 ，所求数是31．【知识点】14，1722.【答案】见解析【解析】解：24 与 36 的最大公因数是 12，36 12 3 (名)答：这 60 名同学最多能分成 12 组，并且每个组有 3 名男生．【知识点】3，1123.【答案】见解析【解析】解：4、5、6 的最小公倍数是 60，所以苹果的个数是 60 的倍数．又因为苹果的总数超过 100 个，但又不足 150 个，所以苹果的个数是 120 个．【知识点】3，1124.【答案】见解析【解析】解：36 2 2 3 3 ，48 2 2 2 2 3 ，54 2 33 3 ，最大公因数为 6，所以每组最多 6 个小朋友，可以分36 48 546 8 9 23 组．6【知识点】3，1125.【答案】见解析【解析】解：90 30 3 ，60 30 2 ，所以 90 和 60 的最大公约数为 30，所以长边正方形的个数为90 30 3 ，宽边正方形的个数为60 30 2 所以至少能裁3 2 6 个．答：至少能裁 6 个．【知识点】3，11四．附加题（共 2 小题）26.【答案】见解析【解析】解：即求出 12、9、18 的最小公倍数，为 36．答：12：36 新闻播报结束．【知识点】3，1327.【答案】见解析【解析】若设中间的数为a ，则其他四个数依次为：a 7 ，a 1，a 1 ，a 7 ，则这 5 个数的和为a 7 a 1 a a 1 a 7 5a ， a 为整数，5a 能被 5 整除．【知识点】3，8，13。

数的整除知识点总结数的整除知识整理

数的整除知识点总结数的整除知识整理数的整除知识点总结如下：1. 除数和被除数：一个数被另一个数整除时，被除数称为整数，除数称为除数。

2. 整除关系：如果一个数a能被另一个数b整除，即a ÷ b = c，则称a能被b整除，或者说b能整除a，记作b｜a。

3. 余数：当一个数a被另一个数b整除时，如果除完后还有剩余部分，即a ÷ b = c 余 r（0 ≤ r < |b|），则r称为数a除以b的余数。

4. 因数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得b能整除a，即a = b × c，则称b 是a的因数，c是a的倍数。

a的因数包括1和a本身。

5.倍数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得a能整除b，即b = a × c，则称b 是a的倍数，c是a的因数。

a的倍数包括0和任意正负整数。

6.公约数：对于两个数a和b，如果存在一个数c，既能整除a又能整除b，即c｜a 且c｜b，则称c是a和b的公约数。

7.最大公约数：对于两个数a和b的公约数中，最大的一个公约数称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。

8.最小公倍数：对于两个数a和b的公倍数中，最小的一个公倍数称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。

9.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数称为质数。

质数只有两个因数，即1和该数本身。

10.合数：一个自然数，除了1和它本身外，还有其他因数的数称为合数。

合数有多个因数。

11.互质：两个数的最大公约数为1时，称这两个数互质。

12.互质数性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数。

13.素数分解：将一个合数分解成质数的乘积的过程，这个过程叫做素数分解。

这些是数的整除的基本知识点。

数的整除知识总复习课件

质数与合数的整除性质
质数性质
质数是大于1的自然数，只能被1和它本身整除，不能被其他数整除。质数的个数是无限的。
合数性质
合数是大于1的自然数，除了能被1和它本身整除外，还能被其他数整除。最小的合数是4。
完全数与缺数
完全数性质
完全数是等于它所有因子之和的自然数。例如，6的因子有1、2、3和6，这些因子之和正好等于6，因此6是完全数。
关的知识和应用，拓展自己的视野。
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应用领域
中国剩余定理在密码学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
同余方程
同余方程定义
同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a 、b、m是整数，x是未知数。
同余方程解法
求解同余方程的方法主要有模逆元法和欧拉准则法等。
同余方程的应用
同余方程在密码学、数论等领域有着广泛的应用。
05
通过整除，我们可以将大问题分解为小问题来解决，提高计算速度和准确率。
整除的意义3
在日常生活中，整除也具有广泛的应用，例如时间计算、货币交易等。
02
数的整除性质研究
奇数与偶数的整除性质
奇数性质
奇数可被2整除余1，因此奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
偶数性质
偶数可被2整除，因此偶数可以表示为 2n的形式，其中n为整数。
缺数性质
缺数是大于2的偶数，不能表示为两个质数之和的自然数。例如，8不能表示为两个质数3和5的和，因此8是缺数。
03
数的整除应用
最大公约数的求法
定义
最大公约数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
算法描述

初中数学精品试题：第一讲整数的整除性和带余数除法

第一讲整数的整除性和带余数除法一. 内容提要班级______ 姓名______1. 整除的性质⑴ n 个连续正整数的积能被n ！整除.（n 的阶乘：n ！＝1×2×3×…×n ）.例如：a 为整数时，2a(a+1)，6a(a+1)(a+2)，24a(a+1)(a+2)(a+3)，……⑵ 若a b 且a c ，则a (b ±c). ⑶ 若a,b 互质，且a c, b c ，则ab c ；反之则有：a,b 互质，ab c ，则a c, b c. 2. 带余数除法用一个整数a 去除整数b ，且a>0，则必有并且只有两个整数q 与r ，使b=aq+r ，0≤r<a ．这就是带余数除去的一般表达式．当r=0时，记为a│b ，b 被a 整除；当r≠0时，记为ab ，b 不能被a 整除，或者说，b 除以a 有余数．利用余数将自然数分类，在解决实际问题中有广泛应用．我们说，任何一个自然数b 被正整数a 除时，余数只可能是0、1、2、…、a-1．这样就可以把自然数分为a 类．例如，一个自然数被4除，余数只能是0、1、2、3中的一个．因此，所有自然数按被4除时的余数分为4类，即4k ，4k+1，4k+2，4k+3．任何自然数都在这四类之中．二. 热身练习1. 2006年“五一节”是星期一，同年“国庆节”是星期．2. 有一个数能被5整除，但除以4余3，这个正整数最小是．3. 一个整数去除300，262，205，所得余数相同，这个整数是．4. 一个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12，余数是．5. 正整数2006200634+除以3，所得余数是________．6．已知x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）．7．如果一个四位数abcd 能被9整除，试说明四位数bdca 也能被9整除．8．设一个五位数abcad，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除。

数的整除知识点总结

数的整除知识点总结一。

数的分类数可以根据不同的属性进行分类。

第一种分类方法是使用树状图或韦恩图，将整数分为自然数、正整数、负整数、零、正奇数和正偶数等。

第二种分类方法是将整数分为奇数和偶数。

第三种分类方法是将整数分为正整数、素数和合数。

需要注意的是，0是最小的自然数，-1是最大的负整数，1是最小的正整数。

同时，没有最大的整数、没有最小的负整数、没有最大的正整数，正整数、负整数和整数的个数都是无限的。

二。

整除整除是指一个整数a被另一个整数b整除，商是整数而余数为零的情况。

因此，b可以整除a，也可以说a能被b整除。

需要注意的是，要区分整除和除尽。

整除是特殊的除尽，即a能被b整除，则a一定能被b除尽，反之则不一定。

例如，4÷2=2，4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8，4能被5除尽，但不能说4能被5整除。

三。

因数与倍数因数是指一个整数a能被另一个整数b整除，b就是a的因数。

而倍数是指一个整数a能够整除另一个整数b，a就是b的倍数。

因数和倍数是相互依存的，不能简单地说某个数是因数或倍数。

一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。

因数的个数是有限的，可以一一列举出来，而倍数的个数是无限的。

求一个数的因数可以利用积与因数的关系，一对一对找出哪两个数的乘积等于这个数，然后按照一定的顺序列举出所有的因数。

求一个数的倍数可以将这个数本身分别乘以1、2、3、4、5等正整数，得到的积就是这个数的倍数。

四。

能被2、5、3整除的数的特点一个数能被2整除，当且仅当这个数的个位数是0、2、4、6、8.一个数能被5整除，当且仅当这个数的个位数是0或5.一个数能被3整除，当且仅当这个数的各位数字之和能够被3整除。

因此，一个数能被2、5、3整除的特点可以通过它的各位数字来判断。

1.能被2整除的数的个位数字是2、4、6、8，反之，个位数字是2、4、6、8的数也能被2整除。

数学整除知识点总结

数学整除知识点总结一、整除的基本概念1.1 整数的定义首先，我们需要了解一下整数的概念。

在数学中，整数是指包括正整数、负整数和零在内的所有整数，用…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…来表示。

整数是一个非常宽泛的概念，其中包含了无穷尽的实数，因此整数之间的关系也有着非常复杂的性质。

1.2 整除的定义在整数之间，如果存在一个整数a，使得另一个整数b能够被a整除，那么我们就说a能够整除b，记作a|b。

即如果存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b。

此时，a称为除数，b称为被除数，c称为商。

另外，如果a不等于0，且存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b；如果a等于0，那么b等于0时，我们也说a能够整除b。

1.3 整数除法整数除法是整除概念的具体实现。

在整数除法中，我们需要用到除数、被除数、商以及余数等概念。

具体来说，对于整数a、b（a≠0）、r，如果整数b能够被整数a整除，即a|b，那么一定存在整数q使得b=aq；此时q称为商，r称为余数，并且0≤r<|a|。

1.4 整数的倍数我们知道，整数之间是存在整数除法的，一个整数能够整除另一个整数，那么它们之间是具有一定倍数关系的。

在数学中，如果一个整数a能够整除另一个整数b，也就是a|b，那么我们就说b是a的倍数，a是b的因数。

1.5 整除的运算规律在整数之间的整除运算中，有一些规律是需要引起我们的注意的。

首先，对于任意整数a，0能够整除a；其次，任意整数a，a都能够整除自己，即a能够整除a，且a|a。

以上就是整除的基本概念及其相关内容。

从这些内容中我们可以看到，整除是一个非常基础的概念，但是它对于数学的发展和应用有着非常重要的作用。

下面我们就来具体讨论一下整除的性质。

二、整除的性质整除的性质是整数之间的一种特殊关系，它具有一些特殊的性质。

下面我们将介绍一下整除的性质。

2.1 整数的连通性一个整数a能够整除另一个整数b，那么我们可以得到一个推论：对于任意整数a、b、c （a、b、c≠0），如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。

《数整除复习》课件

感。
下一步学习计划
深入学习数论中的其他概念和定理，如质数、合数、最大公约数等。
尝试解决一些复杂的数学问题，以提高自己的数学素养和解题能力。
通过阅读相关书籍和论文，了解整除在数学和其他领域的应用。
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综合练习题
总结词
整合知识、提升思维
详细描述
综合练习题是最具挑战性的题目，通常涉及多个知识点和解题技巧的整合运用。这些题目旨在提高学生的思维能力和解决问题的能力，帮助他们将零散的知识点整合起来，形
成完整的数学知识体系。
PART 05
总结与回顾
本章重点回顾
01
02
03
整除的定义
如果一个数a除以另一个数b得到的结果是整数，那么我们说a能被b整除。
。
在几何中，整除的概念可以应用于解决一些与图形和空间有关的问题。例如，当我们需要计算一个图形的周长或面积时，我们可以使用整除的方法来得到精
确的结果。
在日常生活中的应用
整除的概念在日常生活中也具有广泛的应用。例如，当我们需要将一个物品分成若干等份时，我们可以使用整除的方法来计算每份的数量。
在商业中，整除的概念可以应用于计算折扣、优惠和促销活动。例如，当我们需要计算商品的原价和折扣价格之间的差额时，我们可以使用整除的方法来得到精确的结果。
在计算机科学中的应用
在计算机科学中，整除的概念也具有广泛的应用。例如，当我们需要编写一个程序来处理整数时，我们可以使用整除的方法来计算两个整数之间的商和余数。
在加密学中，整除的概念可以应用于一些加密算法的实现。例如，RSA算法中就使用了整除的概念来生成公钥和私钥。

初中数学竞赛辅导资料(初一用)

初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0）所得的商A/B 是整数，那么叫做A 被B 整除。

0能被所有非零的整数整除。

能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686, 68－12＝56(能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x ，y解:x ，y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除，∴y=6。

∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5,8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0,4，8∴x ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3)＝4,不能被11整除,只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63,均可,∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

练习一1、分解质因数:（写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除,那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时,59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。

数的整除讲义

第一章数的整除1.1整数和整除1、整除和除尽整除：除数、被除数、商都是整数。

除尽：除数、被除数、商不一定是整数2、20÷5=4，我们就说20能被5整除，或者说：5能整除20.【例题】１．按要求填空1÷50；18÷6；23÷7；0.6÷0.5；1÷5除尽：（）除不尽：（）整除：（）2、已知正整数x能整除41，求x的值。

3、用1、2、3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数哪个三位数？1.2因数和倍数1、寻找一个数的因数通常使用“对称法”如60的因数：1、60；2、30；3,20；4、15；5、12；6、10；2、当这个数过大时，用“公式法”设整数为N，经过分解素因数后可得：N=x1^m1×x2^m2……xn，则因数的个数为P=（m1+1）×（m2+1）……（mn+1）【例题】1、24的因数有哪些？25的因数有哪些？2、4的倍数有哪些？10的倍数有哪些？3、用4、5、6排成的三位数呢中，(1)哪些是5的倍数？(2)哪些是3的倍数？哪些是9的倍数？(3)哪些是6的倍数？(4)哪些是8的倍数4、求144（9×16）的因数有多少个？1.3能被2、5整除的数【例题】1、2( ) 5、3：（）5（）2、在内这个数能被72整数。

3、用0、1、2、3这四个数字排成一个四位数。

（1）使这个数有因数2，有几种不同的排法？（2）使这个数能被5整数，有几种不同的排法？（3）使这个数是3的倍数，有几种不同的排法？1.4分解素因数1、一个整数如果只有1和本身两个因数，那么这个数就叫做素数。

2、一个整数除了1和本身还有别的因数，那么这个数叫做合数。

3、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来叫做分解素因数；4、1的因数只有一个，1既不是素数也不是合数。

【例题】1、先把36分解素因数，再找出36的所有因数，并回答下列问题：（1）36的每一个素因数都是它的因数吗？36的，每一个因数都是它的素因数吗？（2）36的每两个素因数的乘积都是它的因数吗？（3）36的所有素因数的乘积是它的因数吗？2、把426名学生分成人数相等的若干组参加课外活动小组，每组人数在10—25之间，求每组人数及分成的组数。

数的整除PPT课件.ppt

特殊情况
两个数是互质数,最小公倍数就是它们的乘积.
பைடு நூலகம்
两个数具有约倍关系,最小公倍数就是较大的数.
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）．
只有两个约数
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数．
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）．
如果数a能被数b（b≠ 0）整除， a就叫做b的倍数， b就叫做a的约数（或a 的约数）
因为15 ÷ 5＝ 3，所以15是倍数，5是约数（×）
约数和倍数是相互依存的
因为4.6 ÷ 2＝ 2.3，所以4.6是2的倍数，2是4.6 的约数（×）
如果数a能被数b（b≠ 0）整除， a就叫做b的倍数， b就叫做a的约数（或a 的约数）
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做最小公倍数．
特殊情况
两个数是互质数,最小公倍数就是它们的乘积.
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做最小公倍数．
特殊情况
两个数是互质数,最小公倍数就是它们的乘积.
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做最小公倍数．
数的整除
整除
倍数约数
公倍数最小公倍数公约数最大公约数
质数合数互质数
质因数分解质因数能被2整除数的特征
能被5整除数的特征能被3整除数的特征
奇数
整除
倍数约数
公倍数最小公倍数公约数最大公约数
质数合数互质数
质因数分解质因数能被2整除数的特征能被5整除数的特征能被3整除数的特征
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除.

(完整word版)初中数学知识点梳理(沪教市北综合版)——01数的整除(良心出品必属精品)

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第一章数的整除一、知识结构二、重点和难点重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。

难点：求两个正整数的最小公倍数。

第一节整数和整除1.1整数和整除的意义⑴正整数：用来表示物体个数的数1，2，3，4，5…叫做正整数。

⑵负整数：在正整数1，2，3，4，5…之前添上“-”，得到的数-1，-2，-3，-4，-5…叫做负整数。

⑷ 整数：正整数、零、负整数统称为整数。

⑸ 整除：设a、b是两个整数，且b≠a，若存在整数q，使a＝bq，则称b整除a，或a被b整除，记作b∣a。

（★）或者说，如果整数a除以整数b(b ≠ 0）所得的商是整数，那么叫做a被b整例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？28÷7 10÷3 5÷4解：因为28÷7＝4 ，10÷3＝3……1 ，5÷4＝1.25 ，所以被除数能被除数整除的是28÷7。

③若m∣a、m∣b，则m∣（a－b）;④若m∣a，则m∣ab（b为自然－数）;⑤n个连续正整数的积能被n！整除。

（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）（★）例如：a为整数时，2∣a(a+1)6∣a(a+1)(a+2)24∣a(a+1)(a+2)(a+3)……（★）解：由于4个连续的整数中必有 1个数为4的倍数，还有另一个数为2的倍数，有1个是3的倍数，因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数，所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即为2×3×4=24的倍数。

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初中数学复习第一讲——数的整除
一、知识结构
二、知识点梳理
1.整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.
2.因数与倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

3.数的整除性质
（1）性质一：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a一定能被c整除。

例如：48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

（2）性质二：如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如：21与15都能被3整除，那么21+15=36及21—15=6都能被3整除。

（3）性质三：如果一个数能分别被两个互素的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互素的自然数的乘积整除。

例如：126能被9整除，又能被7整除，且9与7互素，那么126能被9×7=63整除。

利用上面关于整除的性质，可以解决许多与整除有关的问题。

下面列出一些整除的数字的特征出来。

（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

（5）一个数的最后两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（6）一个数的最后三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

4.奇数与偶数：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。

5.素数和合数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它的本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。

1既不是素数，也不是合数。

6.分解素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。

把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

7.公因数与最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

如：24的因数（1，2，3，4，6，8，12，24），32的因数（1，2，4，8，16，32），则24与36公有的因数是（1，2，4，8），其中8最大，所以1，2，4，8是24与32的公因数，8是24与32的最大公因数。

（1）如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。

（2）两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。

如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1。

8.公倍数与最小公倍数：几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做他们的最小公倍数。

如：3的倍数（3，6，9，12，15，18，21，24，27，…），4的倍数（4，8，12，16，20，24，28，32，…），则3与4公有的倍数是（12，24，…）其中12最小，所以12，24，…是3与4的公倍数，12是3与4的最小公倍数。

（1）如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数。

如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。

例：
则24与36：
最大公因数=2×2×3
最小公倍数=2×2×3×2×3
三、基本要求：
（1）知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因数等的意义；知道能被2、5整除的正整数的特征。

（2）会用短除法分解素因数；会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。

四、重点和难点：
重点：会正确的分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。