第四章 放射性测量中的统计学

净计数率的误差为：
2m

1 ( n m )2 e 2
2 2
(4.1.3)
其含义为
1 ( n m )2 p ( n) e 2
2 2

n 1 2
n 1 2
1 ( n m )2 e 2
2 2
dn
(4.1.4)
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5
计算n落在区间[n1 , n内的概率为： 2]
t p 1 e 其中
由于考察的原子核数目比较大，而一个核衰变的概率很小，因而有
N 0! n N 0 ( N 0 1)...(N 0 n 1) N 0 ( N 0 n)!
(1 p) N0 n (e p ) N0 n e pN0
将上两式代入（4.1.1），并令 N 0 p ，有 m
i
i ni ti ni N i (加权均值) n i ti ti 2 n 2 n (均值的方差) i ti n ti n 1 r ,n n n n ti 1 (均值的相对误差) Ni
，由于放射性衰变服从正态分布，因而 m 10
(21002 )
1 (108100)2 P(108) e 2 3.14 10
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0.03
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2.标准化正态变量，令
z (n m)
代入数值，由于对称性有
z1,2 93.5, 106.5
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若计数为N时，则
N
D( N ) M (4.2.1)
M为真平均值，但未知，一般可用有限次测量平均值或者单次测量 值近似替代，因而有 N N N 也可按标准偏差计算，有
N
K 1 ( Ni N ) 2 K 1 i 1
P(n1 n n2 )
n2 1 2 n1 1 2
1 ( n m ) 2 e 2
2 2
dn
n2
n1
1 ( n m ) 2 e 2
2 2
dn
一般通过查标准正态分布函数表进行计算。 例：在 t时间内，放射源放出粒子的平均值为 m 。 100 试求：1，在时间 t 内放出108个粒子的概率； 2，出现绝对偏差 解： 1.已知 m ，因而有 100 有 的概率。 m n 6
N K N (置信概率)
K是相应于所选择的置信概率的置信系数。
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二、计数率的统计误差计算
（一）求计数率的误差（无本底情况） a.单次测量情况： t时间内N个计数，则计数率n为
n N t (4.2.9)
其误差为
dn 2 2 1 2 N n ) N ] n [( 2 dN t t n 1 n 1 1 r ,n n n t nt N
第一节 核衰变数和计数的统计分布 第二节 放射性测量的统计误差 第三节 放射性测量数据的检验 第四节 探测下限的确定方法 第五节 脉冲幅度分辨率 第六节 核脉冲事件的事件间隔分布
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第一节 核衰变数和计数的统计分布
一、核衰变数的统计分布 二、计数的统计分布 三、计数的合成
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第二节 放射性测量的统计误差
一、统计误差及其表示方法 二、计数率的统计误差计算 三、测量条件的选择 四、平均效应的统计误差
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一、统计误差及其表示方法 （一）什么是统计误差 放射性测量中，计数值是个随机变量。实验测量所希望知道的准 确值为计数值的期望，其为无限次测量计数值（相同条件下）的平 均值，称真平均值。实际测量为单次或者有限次测量，只能得到真 平均值的一个估计量，给结果带来了误差。 由放射性核衰变和射线与物质相互作用过程的随机性造成的误差， 称为统计误差。 放射性测量的统计误差与一般非放射性物理量测量中的随机误差有 根本的差别。
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随机误差 由测量中有各种随机因素影响到测量结果，或者是测量过程由测量 仪器和方法不够精密所致，而待测物理量不变。
统计误差 由待测物理量本身的随机性所引起。 （二）表示方法 与随机误差的表示方法一样，统计误差用相应于一定置信概率的 置信区间来表示。 最常用的方法是用标准误差 来表示。
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(绝对误差) (相对误差)
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(4.2.10) (4.2.11)
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结果表示为
n
n 1 或 n(1 100%) t N
(4.2.12)
此式表明，计数率的相对误差只与总计数的大小有关，且与总计数 的相对误差一致。 b.多次测量情况 K次测量，测量时间为t i，计数值为 Ni , i 1,2 ,各次测量的计数率及其 ,...,K 方差为：
N N
K 1 K N (4.2.6)
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测量结果可报道为：
N 的相对误差为：
N N N
1 K
1
N
(4.2.7)
r,N
N
N

1 KN

N
i
(4.2.8)
i
由此可见，相对误差只与测量累积的总计数有关，而与所测量的次 数无关。 除用标准误差表示外，还有其它置信概率的置信区间表示，一般为
r,N
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N 1 N N N
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N
(4.2.4)
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结论:N越大，相对误差越小，精确度越高。
b.多次测量情况： K次测量时，样本平均值作为真平均值的近似值，其表示为：
1 N K
N
i 1
K
i
(4.2.5)
因而 N 的标准误差为：
n n p(n) CN p (1 p) N n
N一定的前提下
因而上式可表为 n n p(n N ) CN p (1 p) N n 入射到探测器上的粒子数N有涨落。设其服从泊松分布，即
M N M P( N ) e N!
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N0 ! p ( n) p n (1 p) N0 n ( N0 n)!n! (4.1.1)
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期望值和方差为：
E(n) m N0 p N0 (1 et )
D(n) 2 N0 p(1 p) N0 pet
由次，这是以Mp为参数的泊松分布。考虑入射粒子的统计分布后， 探测到的粒子服从泊松分布，期望为Mp。
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当计数值较大时，泊松分布也趋于高斯分布，因而可表为
P ( n) 1 ( n m )2 e 2
2 2
(4.1.6)
且
2 m
ni Ni 2 n , ni , i 1,2,...,K ti ti
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由于各次测量时间不一定相同，因而各次测量的计数值的方差也不 一定相同，它们为不等精度测量。因而需引入权重因子。
权重因子为: 由此得
2 n i 2 ti n ( n ti )
M为t时间内入射粒子数的期望。
由全概率公式（1.1.10），得到计数n的概 N! n N n M p(n N ) P ( N ) p (1 p ) eM N! N n n !( N n)!

( Mp ) n M (1 p) N n M N n ( Mp) n M [(1 p) M ]i e e n! ( N n)! n! i! N n i 0 ( Mp ) n Mp e n! (4.1.5)
(4.1.7)
三、计数的合成 在一些研究中，需要处理好几个服从泊松分布的计数合成问题。由 数理统计的相关知识知，几个独立的计数之和仍服从泊松分布。
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n2 m 设t时间内由两个源引起的计数 n1、分别服从参数为 的泊松分布。 1、m2 n1、n2 n的概率P(n) 测到的总计数 ，由各种可能的 组成，因而有 n n1 n2 为
n N0 mn m n pN0 p ( n) p e e n! n!
(4.1.2)
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上式正是泊松分布。其期望与方差相等，均为m。 若m很大时，泊松分布将过渡到高斯分布（自行证明）。 高斯分布概率密度为: