数学期望值

3-3 數學期望值

重要例題：

例1.統一發票共八碼，每期開出一個特獎號碼，五個頭獎號碼。與特獎號碼完全相同可得2000000元，與頭獎任一號碼相同，可得200000元，與頭獎末7碼相同可得40000元(貳獎)，與頭獎末6碼同可得10000元(參獎)，與頭獎末5碼同可得4000元(肆獎)，與頭獎末4碼同可得1000元，與頭獎末三碼同可得200元。則一張統一發票的平均價值為多少？(期望值)

例2.投擲一粒公正的骰子一次，若出現k點則可得k元，求其期望值。例3.投擲二粒公正的骰子，(1)若出現點數和為k，則可得k元，則其期望值為；(2)若出現點數差為r，則可得r元，則其期望值為。

類1. 投擲十粒公正的骰子，若出現點數和為k，則可得k元，則其期望值為。

類2. 袋中有大小相同的紙牌10張，分別寫3張100元，2張50元，5張10元，任取一張，則獎金的期望值為多少？

類3. 設袋中有1號球1個，2號球2個．．．n號球n個，自袋中任取一球，若取得號球k可得k元，則其期望值為。

ANS: 1.35，2.45，3.

31

2

n

。

例4.投擲四顆骰子有如下的獎金，則期望值為。

類1. 設袋中有10元、5元硬幣各3枚，自袋中任取2枚，則期望值為。

類2. 同時擲10個公正的硬幣，若有k個硬幣出現正面，可得k2元，則

(1)恰得32元之機率為；(2)期望值為。

類3. 一人擲三個公正的硬幣一次，若出現k個正面，則可得1

3

k元(3,2,1

k)，若不出現正面則輸15元，求其期望值。

ANS: 1. 15，2. (1)

63256,(2)10)23(，3. 47。 例5. 一袋子中有12個球，其中有4個白球，(1)從中一次取出3球，

(2)每次取一球，取後放回，連取三次，(3)每次取一球，取後不放回，連取三次，求白球個數的期望值。

類1. C B A ,,三人同解數學題，解出之機率分別為

2

1,32,43，今三人合解48題，則解對題數的期望值為 。

類2. 一箱子內有9個燈泡，其中有4個是壞的，從中取出3個，求壞

燈泡個數的期望值。

類3. 一袋中有3紅4白球，每次從中取出一球，取後不放回，取到紅

球取完為止，求所取次數的期望值。

類4. 從1,2,3,4,5中取出三相異數相加，求所得和的期望值？

ANS: 1. 46，2.

43

，3. 6，4. 9。

例6. 將5個球任意分配到三個不同的箱子中，求空箱的期望值。

類1. 將3個球投入3個不同的袋子中，每次投一球，連續投3次，則

(1)每個袋子都有球的機率為？(2)3個球都在同一個袋子的機率為？

(3)空袋子個數的期望值為？

類2. 依據經驗，某人完成一件工作，可能是1天、2天、3天、4天，在1天完成的機會是0.2，2天完成的機會是0.4，3天完成的機會是0.3，4天完成的機會是0.1，求完成此工作天數的期望值。

ANS: 1.(1)92,(2)91,(3)9

8。

例7. 某次考試中，(1)單一選擇題每題有五個選項，答對得五分，若希

望五個選項用猜的得分的數學期望值為0，則答錯應倒扣幾分？(2)複選題，每題五個選項，至少有一個選項是正確的，完全答對給六分，若希望隨機猜題的得分期望值為0，則答錯應到倒扣幾分？ Ans:(1) 1.25,(2)0.2。

類1. 一遊戲機，投10元玩一次，若中獎則得100元，若希望讓玩家每

玩10次，商家則得50元，則商家在機器的設定上應讓玩家贏的機率為 。

類2. 擲三個均勻的硬幣，若規定出現3正面可得12元，2正面可得8

元，一正面可得4元，為了公平起見，出現三反面應賠 。

Ans: 1. 22

3，2.48。

例8. 甲乙二人桌球比賽，規定先勝3場者為贏，敗者應付給贏者100

元，已知兩人獲勝機率均等，於甲勝2場、乙勝1場時，因故終止比賽，則乙應付給甲 元才合理。

類1. 1654年在法國有甲乙兩人棋藝相等，約定比賽，先勝三場者可得

賭金64披索(金幣名)，開始比賽甲先勝一次後，有要事停止比賽，對賭金難於分配，於是請教當時有名的數學家巴斯卡。這些賭金應如何分配？

類2. 設一年間一家失火的機率為1000

1，鄰家失火而被波及的機率為51，且各家同時失火的機率為0。若投保期間一年100萬元的火險時，住在相鄰二家中之一家的人應至少繳多少錢才合理。

類3. 某保險公司銷售一年期的人壽保險給一位59歲的先生，保額

100000，保費520元，根據統計，59歲男人活到60歲的機率為0.997，求保險公司的期望利潤？

類4. 設擲某銅板出現正面的機率為p ，10 p 。連續擲此銅板4次，

若第k 次出現正面則得k 2

1，否則得0， k 1、2、3、4。設總所得的期望值為a ，總所得超過3

1的機率為b ，則 (A) a 為p 之一次多項式 (B) 116

15 a (C) b 為p 之二次多項式 (D) 2p p b p (E) b a 2。

Ans: 1. 甲44,乙20，2.

2497

3000000，3. 220，4. ADE 。

例9.某人擲兩粒骰子，若擲出之點數和為7點時，可得100元，並得繼續投擲的權利，否則就停止，求此人所得的期望值。

類1. 某人射箭，每回射中紅心的機率為1

3

，(1)若欲使命中紅心的機率

達90%，至少需幾發？(2)若規定射中一次紅心可得 1000元，且可繼續發射直到沒有射中為止，求獲利的期望值？

類2. 一袋中有6個黑球、3白球，今自袋中取出一球，若取出的球為白球，則停止取球，若取出黑球，則將球放回袋中，再從袋中取出一球，如此進行，直到取得白球為止。求取球次數的期望值。

Ans: 1.(1)6,(2)500，2. 3。