复变函数论第三版课后习题标准答案

复变函数论第三版课后习题答案

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第一章习题解答

（一）

1．设132

i z -=，求z 及Arcz 。

解：由于3132

i i z e π--== 所以1z =，2,0,1,3

Arcz k k ππ=-+=±L 。

2．设121,312

i z z +==-，试用指数形式表示12z z 及12

z z 。

解：由于64121,322

i i i

z e z i e ππ

-+===-= 所以()6

46

41212222i i i

i

z z e e

e

e π

πππ

π

--===

54()14612

26

11222i

i i i z e e e z e πππππ

+-===。 3．解二项方程44

0,(0)z a a +=>。 解：1

24

444

4

(),0,1,2,3k i

i z

a a e ae

k ππ

π+=-===。

4．证明2

2

21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。

证明：由于2

2

2

1212122Re()z z z z z z +=++

2

2

2

12

12122Re()z z z z z z -=+-

所以2

2

21212

122()z z z z z z ++-=+

其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321

===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内

接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于1321===z z z ，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。

因为

333

31z z z ==

()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=

21212z z z z ++=

所以， 12121-=+z z z z ，

又

)

())((1221221121212

21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-

()322121=+-=z z z z

故 321

=-z z ，

同理

33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

6．下列关系表示点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域。 （1） 1212,()z z z z z z -=-≠； 解：点

z 的轨迹是1

z

与2z 两点连线的中垂线，不是区域。

（2）4z z ≤-； 解：令z x yi =+

由(4)x yi x yi +≤-+，即2222(4)x y x y +≤-+，得2x ≤ 故点

z 的轨迹是以直线2x =为边界的左半平面（包括直线2x =）；不是区域。

（3）

1

11

z z -<+ 解：令z x yi =+，

由11z z -<+，得22(1)(1)x x -<+，即0x >； 故点

z 的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。

（4）0arg(1),2Re 34

z z π

<-<≤≤且；

解：令z x yi =+

由0arg(1)42Re 3z z π⎧<-<⎪⎨⎪≤≤⎩，得0arg

1423y x x π⎧

<<⎪-⎨⎪≤≤⎩

，即0123y x x <<-⎧⎨

≤≤⎩ 故点

z 的轨迹是以直线2,3,0,1x x y y x ====-为边界的梯形（包括直线2,3x x ==；

不包括直线0,1y y x ==-）；不是区域。 （5）2,1z z >>且-3； 解：点

z 的轨迹是以原点为心，2为半径，及以3z =为心，以1为半径的两闭圆外部，

是区域。

（6）Im 1,2z z ><且； 解：点

z 的轨迹是位于直线Im 1z =的上方（不包括直线Im 1z =），且在以原点

为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。

（7）2,0arg 4

z z π

<<<

且；

解：点

z 的轨迹是以正实轴、射线arg 4

z π=及圆弧1z =为边界的扇形（不包括边界），

是区域。 （8）131

,2222

i z z i -

>->且 解：令z x yi =+

由1223122i z z i ⎧->⎪⎪⎨⎪->

⎪⎩

，得2

211

()2431()24

x y x y ⎧+->⎪⎪⎨

⎪+->⎪⎩ 故点

z 的轨迹是两个闭圆2

21131

(),()2424

x

y x y +-=+-=的外部，是区域。

7．证明：z 平面上的直线方程可以写成C z a z a =+（a 是非零复常数，C 是实常数） 证 设直角坐标系的平面方程为

Ax By C +=将

11

Re (),Im ()22x z z z y z z z i

==+==-代入，得

C z B A z B A =-+-)i (21

)i (21

令

)i (21B A a +=

，则)i (21

B A a -=，上式即为

C z a z a =+。

反之：将,z x yi z x yi =+=-，代入C z a z a =+ 得()()a a x ia ia y c ++-= 则有

Ax By C +=；即为一般直线方程。

8．证明：

z 平面上的圆周可以写成

0.Azz z z c ββ+++=

其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且2

AC β>。

证明：设圆方程为