泰勒公式(泰勒中值定理)

令 Rn (x) f (x) pn (x)(称为余项) , 则有
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0
Rn (x)
(x x0 )n1

Rn (x
(x) Rn (x0 x0 )n1 0
)

(n
Rn (1) 1)(1
x0

f
( x0 2!
)
(x

x0 )2


特例:

f
(n) (x0 n!
)
(x

x0
)n

f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
泰勒公式
理论分析 目的－用多项式近似表示函数. 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) y
y f (x)
p1 ( x)
x 的一次多项式
p1 ( x)
特点: p1(x0 ) f (x0 ) p1(x0 ) f (x0 )
O x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
1. 求 n 次近似多项式 pn (x), 要求:
pn (x0 ) f (x0 ), pn (x0 ) f (x0 ), , pn(n) (x0 ) f (n) (x0 ) 令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x

x0
)n1
( 在 x0 与x 之间)
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn
(x)

M (n 1)!
x

x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒(Taylor)中值定理 :

Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与xn 之间)
Rn (x) f (x) pn (x)
Rn (x) (x x0 )n1

Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)

f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
x0
)n Mf((nn1x)1()n!)1
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
a2

1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f
(x0 ), , an

1 n!
pn(n)
(
x0
)

1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
1 2!
f
( x0
)(x

x0
)2



1 n!
f
(n) (x0 )(x x0 )n
2. 余项估计
( 在x0与x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f f
(x) (x)
f f
(x0 ) (x0 )
f (x0 )(x x0 ຫໍສະໝຸດ f (x0 )(x x0 )
f
(
2!
) (x x0 )2
( 在x0与x
之间)
误差
R1(x)
f
(
2!
)
(
x

x0
)
2
( 在 x0 与x 之间)
df
在泰勒公式中若取 x0 0, 记 x (0 1) , 则有
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1) ( x) xn1
(n 1) !
若 f (x) 在包含 x0 的某开区间 (a,b) 内具有
直到 n 1阶的导数 , 则当 x (a ,b)时, 有
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x

x0
)
2



f
(n) (x0 n!
)
(
x

x0
)
n

Rn
(
x)
①
其中 Rn (x)
)n
(1 在 x0 与x 之间)

Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0

(n
Rn(2 ) 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)


Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) (n 1)2(n x0 ) 0
则 pn (x)
a1 2a2 (x x0 ) n an (x x0 )n1
pn (x)

pn(n) (x)
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2 n!an
a0 pn (x0 ) f (x0 ),
a1 pn (x0 ) f (x0 ),
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x

x0
)
2



f
(n) (x0 n!
)
(
x

x0
)
n
o[(x x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n+1 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x

x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 f (x)的 n+1 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n+1 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒
注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(2估0) 计xn式