2021版江苏高考数学一轮复习集训17 利用导数解决函数的单调性问题
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利用导数解决函数的单调性问题
建议用时:45分钟 (对应学生用书第240页)
一、选择题
1.函数f (x )=3+x ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ,e B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0,1e C.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫-∞,1e D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ,+∞ B [因为函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f ′(x )=ln x +x ·
1
x =ln x +1,令f ′(x )<0,解得0<x <1
e ,
所以f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0,1e .]
2.已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示,则函数f (x )的图象可能是( )
A B
C D
C[由导函数f′(x)的图象可知,函数y=f(x)先减再增,可排除选项A,B;又f′(x)=0的根为正数,即y=f(x)的极值点为正数,所以可排除选项D,选C.]
3.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是()
A.(-∞,-2]
B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)
D.[1,+∞)
D[由于f′(x)=k-1
x,f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递
增⇔f′(x)=k-1
x≥0在(1,+∞)上恒成立.由于k≥
1
x,而0<
1
x<1,
所以k≥1.
即k的取值范围为[1,+∞).]
4.设函数f(x)=1
2x
2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a
的取值范围是()
A.(1,2]
B.(4,+∞)
C.(-∞,2)
D.(0,3]
A[因为f(x)=1
2x
2-9ln x,所以f′(x)=x-
9
x(x>0),由x-
9
x≤0,
得0<x≤3,所以f(x)在(0,3]上是减函数,
则[a-1,a+1]⊆(0,3],
所以a-1>0且a+1≤3,
解得1<a≤2.]
5.若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)<xf′(x),则下列关系成立的是()
A.2f(1)<f(2)
B.2f(1)>f(2)
C.2f (1)=f (2)
D.f (1)=f (2)
A [设g (x )=
f (x )x ,则
g ′(x )=xf ′(x )-f (x )
x 2
.因为f (x )<xf ′(x ),所以g ′(x )>0,所以函数g (x )在区间(0,+∞)上单调递增,所以f (1)1<f (2)
2,即2f (1)<f (2).故选A.]
二、填空题
6.函数f (x )=ln x -ax (a >0)的单调递增区间为 .
⎝ ⎛
⎭⎪⎫0,1a [由题意,知f (x )的定义域为(0,+∞),由f ′(x )=1x -a >
0(a >0),得0<x <1a ,∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0,1a .]
7.若函数f (x )=ax 3+3x 2-x 恰好有三个单调区间,则实数a 的取值范围是 .
(-3,0)∪(0,+∞) [由题意知f ′(x )=3ax 2+6x -1,由函数f (x )恰好有三个单调区间,得f ′(x )有两个不相等的零点,所以3ax 2+6x -1=0需满足a ≠0,且Δ=36+12a >0,解得a >-3且a ≠0,所以实数a 的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).]
8.若函数f (x )=ln x -12ax 2
-2x 存在单调递减区间,则实数a 的取值范围是 .
(-1,+∞) [f ′(x )=1
x -ax -2=1-ax 2-2x x ,由题意知f ′(x )<
0有实数解,
∵x >0,
∴ax 2+2x -1>0有实数解. 当a ≥0时,显然满足; 当a <0时,只需Δ=4+4a >0, ∴-1<a <0. 综上知a >-1.] 三、解答题
9.(2020·无锡期初)已知函数f (x )=ln x ,g (x )=1
2ax 2+2x (a ≠0).
(1)若函数h (x )=f (x )-g (x )存在单调递减区间,求a 的取值范围; (2)若函数h (x )=f (x )-g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围.
[解] (1)h (x )=ln x -1
2ax 2-2x ,x ∈(0,+∞),
所以h ′(x )=1
x -ax -2,由于h (x )在(0,+∞)上存在单调递减区间,所以当x ∈(0,+∞)时,1
x -ax -2<0有解.
即a >1x 2-2
x 有解, 设G (x )=1x 2-2
x , 所以只要a >G (x )min 即可.
而G (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x -12
-1,所以G (x )min =-1.
所以a >-1,即a 的取值范围是(-1,+∞). (2)由h (x )在[1,4]上单调递减得,
当x ∈[1,4]时,h ′(x )=1
x -ax -2≤0恒成立, 即a ≥1x 2-2
x 恒成立.
所以a ≥G (x )max ,而G (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x -12
-1,
因为x ∈[1,4],所以1
x ∈
,
所以G (x )max =-7
16(此时x =4), 所以a ≥-716, 即a 的取值范围是
.
10.已知函数f (x )=x 3-ax -1.
(1)若f (x )在R 上为增函数,求实数a 的取值范围;
(2)若函数f (x )在(-1,1)上为单调减函数,求实数a 的取值范围;