大一经典高数复习资料全面

高等数学（本科少学时类型）第一章 函数与极限第一节 函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<o第二节 数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节 函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节 无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U ο内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小； （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节 极限运算法则○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311limlim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】3x →===第六节 极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x ee e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫⎪+⎝⎭====第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +- 2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim20++++→【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★）()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分第一节 导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程） 【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节 反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11fx f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+=⎝⎛⎫⎪ =⎝⎭=解：⎛ ⎝第四节 高阶导数 ○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★） 【题型示例】试求：方程ye x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由ye x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1yy e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ⋅'=第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★） 【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈， 使得()()cos sin 0ff ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ== 即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，xe e x >⋅ 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，xe e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+；2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=， 即证得：当1x >时，xe e x >⋅第二节 罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解： （一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭【求解示例】200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim xx x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln limln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0∞型（对数求极限法） 【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 00200020*******,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln limlimlim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x xx x x xx x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★） 【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导 ∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1xe x >+ 【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10xx e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1xe x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩x (,0)-∞ 0 (0,1)1 (1,2)2 (2,)+∞y ' - 0 + + 0 - y '' + + - - y 1 (1,3) 54．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节 函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈o，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈o，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= x1- ()1,1-1 (]1,3()f x ' 0+- ()f x极小值Z极大值]4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节 换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★） （()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求221dx a x +⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】()()121212x x C=+=+=○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ；⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ；bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x xx x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd ee x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即：∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节 有理函数的不定积分 ○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数。