循序渐进 构建数学模型
循序渐进,只为建模 ——浅谈小学一年级数学模型思想的培养策略
循序渐进，只为建模——浅谈小学一年级数学模型思想的培养策略众所周知，《课程标准（2011年版）》新增的核心概念之一就是模型思想。
课程标准中指出“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
”新课程改革中也着重说明，基础教育的目的就是要让学生通过亲身体验将实际问题抽象为数学模型，以便解决和应用数学模型这一数学理念，让学生充分了解数学，让学生的价值观、情感态度与思维能力等不同方面得到相应的发展与进步。
因此，教师要把学生学习数学知识的过程看作是建立数学模型的机会，注重培养学生的数学模型思想。
好的开始是成功的一半，一年级的学生，学习刚开始，培养他们的数学模型思想非常重要。
但万事开头难，由于他们的年龄特点和心理发展特点，实施起来也有一定的困难。
在小学数学教学中，如何培养低年级学生的数学模型思想呢？下面，结合我在一年级上册（北师大版教材）的教学实践，谈几点培养策略。
一、在问题情境中，动手操作，直观感知模型在多年的教学实践中，我们深知小学生数学学习与具体实践活动是密不可分的。
重视学生的动手操作，是解决数学学科的抽象性与学生以具体形象思维为主的认识水平的矛盾的重要手段，有利于学生直观地感知数学模型思想。
教师在培养一年级小学生的数学模型思想过程中，首先必须要做的就是引导学生经历动手操作的过程。
每一节课，在通过观察，理解问题情境后，想要解决问题，都要求学生经历数一数、摆一摆、拨一拨、画一画等动手操作的过程，从而建立与之相关的数学模型。
例如在《快乐的午餐》一课中，把“小松鼠请客”情境中的问题转化为数学问题，要对图中的信息进行整理、观察、比较，就得让学生经历用学具摆一摆、画一画，运用一一对应的方法去比一比，学习数的大小比较方法，从而理解“松鼠和盘子一样多，盘子够”、“松鼠比勺子多，勺子不够”、“松鼠比杯子少，杯子够”的问题。
也正是通过摆一摆、画一画、比一比的动手操作过程，学生建立清晰鲜明的表象，直观感知了“谁和谁同样多”、“谁比谁多”、“谁比谁少”的数学模型思想。
建立数学模型的方法和步骤
建立数学模型的步骤
第一、 模型准备
首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
第二、 模型假设
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力 ，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
第三、 模型构成
根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
不过我
们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
第四、模型求解
可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。
一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
第五、模型分析
对模型解答进行数学上的分析。
"横看成岭侧成峰，远近高低各不同"，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。
还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
第六、模型检验、应用
与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性，用 所建模型解决实际问题。
数学模型建立步骤
数学模型建立步骤数学模型是用数学语言描述现实问题的工具，建立数学模型的过程通常包括以下步骤：1. 问题定义：清晰地定义问题，明确需要解决的具体问题是什么。
将实际问题转化为数学问题的第一步是准确地理解和描述问题。
2. 建立变量：确定与问题相关的各种变量，并对它们进行定义。
这些变量可以是时间、空间、数量等与问题相关的量。
3. 制定假设：为了简化问题或使问题更容易处理，可能需要引入一些假设。
这些假设可能涉及到变量之间的关系、影响因素等。
4. 建立数学关系：将问题中的变量之间的关系用数学公式或方程表示。
这可能包括线性关系、非线性关系、微分方程、差分方程等，取决于问题的性质。
5. 解析求解或数值求解：对于一些简单的模型，可以尝试找到解析解，即用代数方法求解方程。
对于较为复杂的模型，可能需要使用数值方法，如数值模拟、计算机模拟等。
6. 模型验证：验证模型的准确性和可靠性。
通过实验数据或实际观测数据来检验模型的有效性，对模型的输出结果进行比较和分析。
7. 模型分析：分析模型的性质，如稳定性、收敛性、敏感性等。
理解模型的特点有助于更好地解释模型的行为和结果。
8. 模型优化：在验证和分析的基础上，对模型进行优化。
优化可能涉及调整参数、修正假设、改进数学形式等。
9. 模型应用：使用建立好的模型解决实际问题。
模型应用可能包括对未来情景的预测、对政策决策的支持、对系统行为的理解等。
10. 结果解释：将模型的输出结果转化为对实际问题的解释和建议。
这需要将数学语言翻译为实际问题的语言，并确保结果对决策者或问题的相关方具有实际意义。
建立数学模型是一个迭代的过程，可能需要多次调整和修改，以适应实际问题的复杂性和变化。
这一过程需要数学建模者有深厚的领域知识、数学技能以及对实际问题的深刻理解。
3 建立数学模型方法和步骤
数学模型（0349）
模型求解 可以采用解方程、画 图形、证明定理、逻辑运算、数值计 算等各种传统的和近代的数学方法， 特别是计算机技术。
数学模型（0349）
模型分析 对模型解答进行数学上的 分析，有时要根据问题的性质分析变量间 的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得 结果给出数学上的预报，有时则可能要给 出数学上的最优决策或控制。不论哪种情 况还常常需要进行误差分析、模型对数据 的稳定性或灵敏性分析等。
数学模型（0349）
建立数学模型的方法和步骤
一般说来法，一 类是测试分析方法。
数学模型（0349）
机理分析是根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系，找出反映内部机理的规 律，建立的模型常有明确的物理或现实意 义。1.2~1.4节的示例都属于机理分析方法。
模型的条理性 从建模的角度考虑问题 可以促使人们对现实对象的分析更全面、 更深入、更具条理性，这样即使建立的模 型由于种种原因尚未达到实用的程度，对 问题的研究也是有利的。
数学模型（0349）
模型的技艺性 建模的方法与其他一些 数学方法如方程解法、规划解法等是根本 不同的，无法归纳出若干条普遍适用的建 模准则和技巧。有人说，建模目前与其说 是一门技术，不如说是一种艺术，是技艺 性很强的技巧。经验、想象力、洞察力、 判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起 的作用往往比一些具体的数学知识更大。
数学模型（0349）
模型的强健性 模型的结构和参数常常 是由对象的信息如观测数据确定的，而观 测数据是允许有误差的。一个好的模型应 该具有下述意义的强健性：当观测数据 （或其他信息）有微小改变时，模型结构 和参数只有微小变化，并且一般也应导致 模型求解的结果有微小变化。
数学模型（0349）
如何建立数学几何模型的步骤与技巧
如何建立数学几何模型的步骤与技巧数学几何模型是数学领域中一种重要的工具，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
建立数学几何模型需要一定的步骤和技巧，下面将介绍一些常用的方法和注意事项。
首先，建立数学几何模型的第一步是明确问题。
在开始建模之前，我们需要清楚地了解问题的背景和要解决的具体目标。
这包括确定问题的约束条件、变量和目标函数等。
只有明确问题，我们才能有针对性地进行建模。
其次，选择适当的数学工具和方法。
数学几何模型的建立需要使用一些数学工具和方法，如代数、几何、概率统计等。
根据具体问题的性质和要求，选择适当的数学工具和方法是非常重要的。
例如，对于涉及到空间关系的问题，我们可以使用向量、矩阵等几何工具进行建模；对于涉及到随机性的问题，我们可以使用概率统计的方法进行建模。
接下来，进行问题的抽象和建模。
抽象是指将实际问题转化为数学问题的过程，建模是指根据问题的特点和要求，选择适当的数学模型进行描述。
在进行抽象和建模时，我们需要将问题中的关键要素进行提取和归纳，然后根据这些要素选择合适的数学模型进行描述。
例如，对于一个涉及到最优化问题的数学几何模型，我们可以使用线性规划、非线性规划等方法进行建模。
在进行抽象和建模的过程中，需要注意问题的简化和假设。
由于实际问题往往非常复杂，我们在建模时需要对问题进行适当的简化和假设。
简化是指对问题进行适当的约束和简化，使得问题更易于处理和求解；假设是指对问题中一些不重要或不易处理的因素进行假设，以便更好地进行建模和求解。
但是，简化和假设也需要有一定的合理性和准确性，否则会导致建模结果与实际情况不符。
最后，进行模型的求解和验证。
在建立了数学几何模型之后，我们需要对模型进行求解和验证。
求解是指根据模型的数学表达式，通过数学方法求得模型的解析解或近似解；验证是指将模型的结果与实际情况进行比较，以验证模型的准确性和可行性。
求解和验证是建立数学几何模型的最后一步，也是最关键的一步。
如何建立数学模型
如何建立数学模型建立数学模型是指将实际问题抽象化，通过数学语言和符号来描述和解决问题的过程。
数学模型的建立可以帮助我们更好地理解问题的本质，分析问题的规律，预测问题的结果，以及优化问题的解决方案。
以下是建立数学模型的一般步骤和方法。
一、明确问题：首先，需要明确所要解决的问题以及问题所涉及的背景和条件。
确保对问题的理解准确明确，同时将问题与数学建模相结合。
二、问题建模：1.确定变量：将问题中涉及的各种因素抽象为数学模型中的变量。
变量可以是数值、时间、物理量等，具体根据问题的特点进行确定。
2.建立关系：确定各个变量之间的关系，包括线性关系、非线性关系、概率关系等。
可以通过实际观测数据、统计分析等方法来确定变量之间的关系。
3.建立约束条件：确定对变量的约束条件，包括等式约束、不等式约束等。
这些约束条件可以是问题中固有的限制，也可以是为了使得模型更加逼真和实际而添加的额外限制条件。
三、数学描述：1.建立数学方程：将问题中的各个变量之间的关系用数学方程来表示。
可以根据问题的特点选择合适的数学公式和方程，如线性方程组、非线性方程、微分方程等。
2.建立目标函数：如果问题是优化问题，需要建立一个目标函数，该函数描述了所要优化的目标以及变量之间的关系。
目标函数可以是最大化、最小化或者使得一些条件满足的函数。
四、求解模型：建立完数学模型后，可以通过数学方法来求解模型。
具体的求解方法根据模型的特点和问题的要求而定，例如数值计算、迭代方法、优化算法等。
求解模型的目的是得到模型的解或近似解，以用于问题的研究和应用。
五、模型验证：对建立的数学模型进行验证是非常重要的。
通过将模型的解与实际数据进行比较，或者进行模拟实验来验证模型的有效性和准确性。
如果模型的结果与实际情况相符合或者较为接近，那么该模型可以被认为是有效的。
六、模型分析和应用：对于建立的数学模型，可以进行进一步的分析和应用。
例如，可以通过灵敏度分析，研究模型对于初始条件和参数变化的敏感度；通过稳定性分析，研究模型在不同情况下的行为；通过模型的推广和延伸，应用于解决其他类似问题等。
建立数学模型的基本步骤和技巧
建立数学模型的基本步骤和技巧在现代科学和工程领域中，数学模型是解决问题和预测现象的重要工具。
建立一个准确有效的数学模型，不仅需要深厚的数学功底，还需要一定的实践经验和创造力。
本文将介绍建立数学模型的基本步骤和技巧，帮助读者更好地理解和应用数学模型。
第一步：问题定义和背景分析建立数学模型的第一步是明确问题的定义和背景分析。
我们需要了解问题的起源、目标和约束条件，以及问题所涉及的物理、化学或生物过程。
通过深入分析问题的本质和特点，我们可以确定适用的数学方法和模型类型。
第二步：建立假设和简化在建立数学模型时，我们通常需要进行一些假设和简化。
这些假设和简化可以使问题更易于处理，但也可能导致模型与实际情况存在一定差异。
因此，在建立模型时，我们需要权衡精确性和可行性，并确保模型的假设和简化与问题的实际情况相符合。
第三步：选择数学方法和模型类型根据问题的特点和要求，我们需要选择适当的数学方法和模型类型。
常见的数学方法包括微积分、线性代数、概率论和统计学等。
而模型类型则包括差分方程、微分方程、优化模型和统计模型等。
选择合适的数学方法和模型类型是建立准确有效模型的关键一步。
第四步：建立数学方程和关系在建立数学模型时，我们需要根据问题的特点和数学方法的要求，建立相应的数学方程和关系。
这些方程和关系可以描述问题中的物理规律、动力学过程或统计关系。
我们可以利用已有的数学理论和公式，或者根据问题的特点和需求，自行推导和建立数学方程和关系。
第五步：参数估计和模型验证在建立数学模型后，我们需要进行参数估计和模型验证。
参数估计是指根据实验数据或观测结果，估计模型中的未知参数值。
而模型验证则是通过与实际数据的比较，评估模型的准确性和可靠性。
参数估计和模型验证可以帮助我们优化模型，提高模型的预测能力和适用性。
第六步：模型分析和应用建立数学模型后，我们可以进行模型分析和应用。
模型分析可以帮助我们理解模型的行为和特性，探索模型的稳定性、收敛性和灵敏度等。
建立数学模型的三种方法
建立数学模型的三种方法1. 直接建模法呀，这就像是盖房子先把框架搭起来。
比如说要计算一个圆形池塘的面积，那咱直接就根据圆的面积公式来嘛，多直接呀，一下子就把模型建起来了！2. 数据驱动法哦，这可厉害了！就像侦探根据线索破案一样。
想想看，通过大量的销售数据来建立一个预测销量的模型，不就跟从蛛丝马迹中找到真相一样刺激吗！比如分析不同季节商品的销量变化，从而得出模型呢！3. 类比建模法啊，就如同找到相似的东西来帮忙理解。
比如说研究人体血液循环，就可以类比成水管里水流的情况呀，用这样的类比来建立相应的数学模型呢，多有意思呀！4. 逐步细分法嘞，如同把一个大蛋糕一点点切开。
好比要研究一个城市的交通流量，那可以先细分到不同区域，再到具体街道，逐步建立起精准的模型呀！就问你妙不妙！5. 情景模拟法哟，这简直就是在脑子里演一场大戏呀！像是模拟火灾时人员逃生的情况，通过各种条件和因素建立数学模型，太好玩啦！6. 理论推导法呀，就像沿着一条清晰的路往前走。
比如根据物理定律去推导一个运动模型，哇，那感觉就像在探索未知的宝藏！7. 经验总结法呀，不就是把过去的经验变成模型嘛。
比如说根据自己多年养花的经验来建立一个怎么养好花的模型，是不是很神奇！8. 混合建模法呢，这就是大杂烩呀！把各种方法都混在一起，为了达到目的不择手段呢。
比如研究气候变化，就可以用数据、理论等等好多方法揉在一起建立模型呀！9. 创新尝试法嘛，就是不走寻常路呀！总是想试试新的办法来建立模型。
就好像明明有条大路，偏要去走小路看看有啥惊喜。
比如用完全未曾想过的角度去建立一个关于人际关系的模型呢！我觉得这些方法都各有各的厉害之处，就看我们怎么去运用啦，能让我们更好地理解和解决各种问题呢！。
建立数学模型的方法步骤
建立数学模型的方法步骤第一步：明确问题和目标在建立数学模型之前，我们首先要明确问题的本质和我们的目标。
问题可以是实际生活中的各种各样的情况，例如商业决策、物理过程、社会现象等。
目标可以是预测结果、优化决策、揭示规律等。
第二步：收集数据第三步：确定变量和参数变量是数学模型中的未知数，它们的取值会随着问题的不同而变化。
参数是数学模型中的已知量，它们的取值是固定的。
在建立数学模型之前，我们需要明确问题中的变量和参数，并给予它们合适的符号表示。
第四步：建立数学关系第五步：选择合适的数学方法根据问题的特点和数学关系的形式，选择合适的数学方法来求解模型。
常用的数学方法包括线性代数、微积分、最优化方法、概率统计等。
需要根据具体情况灵活运用。
第六步：验证和调整模型在建立数学模型之后，我们需要对模型进行验证和调整，以确保它的合理性和准确性。
这可以通过与实验数据对比、观察模型的行为等方法来实现。
如果模型与实际情况不符，我们需要对模型进行修正。
第七步：模型应用和分析当模型验证通过后，我们可以应用模型来解决实际问题。
通过计算和分析模型的输出结果，我们可以得出结论、为决策提供支持、揭示问题的本质等。
第八步：模型解释和沟通最后，我们需要对模型的结果进行解释和沟通。
这意味着我们需要用通俗易懂的语言和方法向非专业人士解释模型的意义和结果。
这有助于模型的应用和建议能够得到各方的认可和接受。
建立数学模型是一个复杂而有挑战性的过程，需要综合运用数学知识、问题分析能力、数据分析技巧等。
此外，每个具体问题都有其特殊性，需要根据具体情况进行调整和改进。
因此，在建立数学模型的过程中，灵活性和创造性也是非常重要的。
建立数学模型的基本步骤与技巧
建立数学模型的基本步骤与技巧数学模型是现代科学研究中不可或缺的工具，它可以用来描述和解释各种实际问题，并为问题的分析和解决提供指导。
建立一个有效的数学模型需要经过一系列的步骤和技巧。
本文将介绍建立数学模型的基本步骤与技巧，并通过实例来说明。
第一步是问题的抽象。
在建立数学模型之前，首先需要对实际问题进行抽象和概括。
这包括确定问题的关键要素、变量和参数，并理清它们之间的关系。
例如，假设我们要研究一个城市的交通拥堵问题，那么我们需要确定影响交通拥堵的因素，如道路的容量、车辆的数量和速度等。
第二步是建立数学表达式。
在抽象问题的基础上，需要建立数学表达式来描述问题的关系。
这可以通过数学公式、方程和不等式等来实现。
例如，对于交通拥堵问题，我们可以建立一个简单的数学模型：拥堵指数 = 车辆数量 / 道路容量。
这个数学表达式可以帮助我们量化交通拥堵的程度。
第三步是确定模型的参数和变量。
在建立数学模型时，需要确定模型中的参数和变量。
参数是模型中的常数，而变量是随着问题的变化而变化的量。
在确定参数和变量时，需要考虑其物理意义和范围。
例如，在交通拥堵模型中，车辆数量和道路容量是变量，而拥堵指数是参数。
第四步是模型的验证和调整。
建立数学模型后，需要对模型进行验证和调整，以确保其准确性和可靠性。
这可以通过与实际数据进行比较和分析来实现。
如果模型的预测结果与实际情况相符，则可以认为模型是有效的；如果不符，则需要对模型进行调整和改进。
第五步是模型的解析和求解。
建立数学模型后，需要对模型进行解析和求解，以获得问题的解。
这可以通过数学方法和技巧来实现，如微积分、线性代数和优化理论等。
例如，在交通拥堵模型中，可以使用微积分方法来计算拥堵指数的最大值和最小值。
除了上述基本步骤外，建立数学模型还需要一些技巧和经验。
首先，需要选择合适的数学工具和方法来解决问题。
不同的问题可能需要不同的数学技巧，因此需要根据具体情况选择适当的方法。
其次，需要进行合理的假设和简化。
建立数学模型的一般步骤
建立数学模型的一般步骤建立数学模型是对实际问题进行抽象和形式化的过程，将实际问题转化为数学语言，并利用数学方法进行分析和求解。
一般来说，建立数学模型的步骤包括以下几个方面：1. 确定问题：首先需要明确问题所在的领域，并确定问题的具体目标和范围。
比如，如果是研究一个物理系统的运动规律，需要明确该系统的特性和受力情况，以及需要研究的问题是什么。
2. 收集数据：在建立数学模型之前，需要进行数据的收集和处理。
这些数据可以来自实验、观测、文献和统计等多个方面，需要进行筛选和分析，以确定哪些数据是有用的，哪些是不必要的。
3. 建立假设：根据问题的特点和收集到的数据，需要建立一些假设。
这些假设是对实际问题进行抽象和简化的结果，旨在简化问题的复杂度，使问题更容易理解和求解。
4. 建立数学模型：在确定问题、收集数据和建立假设的基础上，需要将实际问题转化为数学语言，建立数学模型。
这个模型可以是一个方程、一个图形、一个表格等形式，旨在描述问题的本质和特点。
5. 分析模型：一旦建立了数学模型，需要对模型进行分析和求解，以得出问题的答案。
这个过程可以使用数学工具和方法，如微积分、线性代数、概率统计等，或者使用计算机模拟和数值计算等技术。
6. 验证模型：在求解模型的过程中，需要对模型进行验证，以确保模型的可靠性和有效性。
这个过程可以通过对实际数据进行比较，或者进行实验验证等方式来实现。
总之，建立数学模型是一个复杂的过程，需要对实际问题进行全面的分析和处理，同时需要充分运用数学方法和技术。
只有通过不断的实践和改进，才能建立出更为准确和有效的数学模型。
如何建立一个数学模型[精编文档]
![如何建立一个数学模型[精编文档]](https://img.taocdn.com/s3/m/79cb418e18e8b8f67c1cfad6195f312b3169ebe2.png)
量，ai表示第i种氨基酸的数目，问题归结为求解下列 不定方程
18
aimi M ,
i 1
计算结果表明，当蛋白质的分子量为1000时，解的个 数已达到28268个，这样的模型对于实际的工作而言并 无多大的意义。
要想建立一个合理的有用的模型，首先应该了解生 物学中关于蛋白质组成以及化学中关于分子结构测试 方面的知识，例如原题中提到了质谱仪的使用，质谱 仪可以精确测定分子量和分子式，即可以知道蛋白质 分子中包含的C、N、O、H、S每一种原子的数目， 利用这些信息，不仅可以大减少解的数目和计算机运 行时间，而且便模型更具有实用性。
一般分三种情况。 1）给出了明确的优化目标 2）有些问题本身的性质（如图与网络中的NPC问题）
决定了无法找到最优解。应从实际出发，设计近似算法， 使目标尽可能优化。
3）没有提出明确的优化目标，应根据实际需要， 提出合理的优化目标。
（2）微分方程模型 所研究对象与已知因素之间的关系可以用微分方程
的形式加以表示。 如AMCM-85A动物群体的增长。CMCM-96A最优捕鱼策
例3.3：AMCM-96A，北卡罗米纳队利用等高线图确定目 标的方法很有创造性，尽管有其他不足，仍被评为特奖。
例3.5：CMCM-00A题DNA序列分类问题，需要做的是提 DNA序列的分类特征。
例3.5 减肥问题
在以下假设下： 1、体重增加正比于吸收的热量； 2、代谢引起的体重减少正比于体重； 3、运动引起的体重减少正比于体重，且
例3.1、Logistic模型。 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用随人
口数量增加而变大，即增长率是人口数的减函数。
最简单的假设是 r(x) r sx(r, s 0).
构建小学数学模型的基本步骤与技巧
构建小学数学模型的基本步骤与技巧数学模型是数学与实际问题相结合的产物，它能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。
在小学阶段，培养学生的数学建模能力对于他们的数学学习和综合素质的提高都具有重要意义。
本文将介绍构建小学数学模型的基本步骤与技巧。
一、明确问题构建数学模型的第一步是明确问题。
在小学数学教学中，问题通常是以文字形式出现的，学生需要仔细阅读并理解问题的含义。
在明确问题时，学生需要思考问题的背景、条件和要求，以便能够准确地把握问题的关键点。
例如，一个典型的问题是：“小明有5个苹果，小红有3个苹果，他们一共有多少个苹果？”在明确问题时，学生需要理解问题的背景是小明和小红有苹果，条件是小明有5个苹果，小红有3个苹果，要求是计算他们一共有多少个苹果。
二、建立数学模型在明确问题后，学生需要根据问题的特点和要求，建立相应的数学模型。
数学模型是数学符号和表达式的组合，它能够准确地描述问题的关系和规律。
建立数学模型的关键是将问题中的信息转化为数学符号，并建立符合问题要求的数学关系。
以前面的问题为例，学生可以将小明有的苹果数表示为x，小红有的苹果数表示为y，他们一共有的苹果数表示为x+y。
因此，数学模型可以表示为x+y=5+3=8。
三、解决数学模型建立数学模型后，学生需要解决数学模型，即求解模型中的未知数。
解决数学模型的方法有多种，包括代入法、消元法、图像法等。
根据问题的特点和要求，选择合适的方法进行求解。
对于前面的问题，学生可以通过代入法求解。
假设小明有2个苹果，小红有6个苹果，代入数学模型x+y=8，得到2+6=8，符合题意。
因此，小明有2个苹果，小红有6个苹果。
四、检验解答解决数学模型后，学生需要对解答进行检验，以确保解答的准确性和合理性。
检验解答的方法有多种，包括代入原问题、逻辑推理、实际操作等。
对于前面的问题，学生可以通过代入原问题进行检验。
代入小明有2个苹果，小红有6个苹果，代入原问题“他们一共有多少个苹果”，得到2+6=8，与前面的解答一致。
怎样构建数学模型
怎样构建数学模型怎样构建数学模型一．创设情景史宁中教授认为“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。
它鲜明地表述了这样的意义：建立模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系。
“20 世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。
数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。
数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题。
因此，在修订版课标思想指导下，应用题教学已经不能仅仅局限于课本例题的教学，教师应该与时俱进，着眼于社会中丰富多彩的.内容，根据需要选取素材，使应用题的教学内容与社会生活紧密联系，赋予应用题教学鲜活的生命力，然后教师应该用教材教，而不能死板的教教材，只有这样才能使学生更好的关注社会生活，更好的体验数学与生活的密切联系。
选取生活中的素材进行创造，可以使应用题的教学更富情趣，有利于学生情商的培养、兴趣的激发，减少学生对应用题的畏惧心理。
如，刘雯老师执教《相遇问题》时，先用媒体播放王明和李华上学的动画情景（王明和李华分别住在学校的两侧，两人同时从家出发，相对而行，经过5分钟两人同时到达学校。
），诱发学生观察两物体的运动过程，新知的切入点——唤起相遇问题的生活经验。
接着教师与学生联手，现场模拟表演（王明与李华运动情况），引导学生用上“两个物体”、“两个地方、”“同时出发”、“相对而行”、“最后相遇”这几个关键词描述他们的运动过程。
这样，从学生熟悉的生活实例入手创设问题情境，采用模拟表演、打手势等直观生动的演示方式描述王明和李华的运动过程，激发了学生数学学习兴趣，调动学生积极主动地投入到探究学习活动中去，引导学生理解“同时出发”、“相对而行”、“最后相遇”等关键词的含义，掌握相遇问题的基本特征，初步建立相遇问题的模型雏形，为建立数学模型做好准备。
数学模型的建立过程
数学模型方法函数关系可以说是一种变量相依关系的数学模型．数学模型方法是处理科学理论问题的一种经典方法，也是处理各类实际问题的一般方法．掌握数学模型方法是非常必要的．在此，对数学模型方法作一简述．数学模型方法（Mathematical Modeling)称为MM方法．它是针对所考察的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使问题得以解决的一种数学方法．一、数学模型的含义数学模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构．它或者能解释特定对象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制．数学模型既源于现实又高于现实，不是实际原形，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物的数学语言，可译成算法语言，编写程序进入计算机．二、数学模型的建立过程建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想像力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，做出适当的抽象和简化．全过程一般分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环．可用流程图表示如下：表述根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来．这一个关键的过程，需要对实际问题进行分析，甚至要做调查研究，查找资料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式去表现客观对象及其关系．如果现有的数学工具不够用时，可根据实际情况，大胆创造新的数学概念和方法去表现模型．求解选择适当的方法，求得数学模型的解答．解释数学解答翻译回现实对象，给实际问题的解答．验证检验解答的正确性．例如,哥尼斯堡一条普雷格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇合成大河，河中间有一小岛，河上有七座桥，如图1所示．18世纪哥尼斯堡的很多居民总想一次不重复地走过这七座桥，再回到出发点．可是试来试去总是办不到，于是有人写信给当时著名的数学家欧拉，欧拉于1736年，建立了一个数学模型解决了这个问题．他把A、B、C、D这四块陆地抽象为数学中的点，把七座桥抽象为七条线，如图2所示．CB图1 图2人们步行七桥问题，就相当于图2的一笔画问题，即能否将图2所示的图形不重复地一笔画出来，这样抽象并不改变问题的实质．哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型．经过理想化抽象所得到的如图2所示的一笔画问题便是七桥问题的数学模型．在一笔画的模型里，只保留了桥与地点的连接方式，而其他一切属性则全部抛弃了．所以从总体上来说，数学模型只是近似地表现了现实原型中的某些属性，而就所要解决的实际问题而言，它是更深刻、更正确、更全面地反映了现实，也正由此，对一笔画问题经过一定的分析和逻辑推理，得到此问题无解的结论之后，可以返回到七桥问题，得出七桥问题的解答，不重复走过七座桥回到出发点是不可能的．数学模型，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等等都可以叫做数学模型．从狭义上讲，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系的结构，才叫做数学模型．在现代应用数学中,数学模型都作狭义解释．而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题．三、模型的建立研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的．建立模型的步骤可分为：(1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；(2) 根据所给条件，运用数学或物理知识，确定等量关系；(3) 具体写出解析式)(x f y =，并指明定义域．例 重力为P 的物体置于地平面上，设有一与水平方向成α角的拉力F ，使物体由静止开始移动，求物体开始移动时拉力F 与角α之间的函数模型（图3）．解 由物理知，当水平拉力与摩擦力平衡时，物体开始移动，而摩擦力是与正压力αsin F P -成正比的（设摩擦系数为μ），故有)sin (cos αμαF P F -=,即 αμαμsin cos +=P F （0°<α<90°）建立函数模型是一个比较灵活的问题， 无定法可循，只有多做些练习才能逐步掌握． 图3四、数学建模方法数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）．数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段．常用的数学建模方法如下：（一） 机理分析法 从基本理论以及系统的结构数据来推导出数学模型的方法1. 比例分析法 —— 建立变量之间函数关系的最基本、最常用的方法.2. 代数方法——求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法.3. 逻辑方法——是数学理论研究的重要方法，用以解决社会学和经济学等领域的实际问题，在决策论，对策论等学科中得到广泛应用.4. 常微分方程——解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率”的表达式．5. 偏微分方程——解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律．（二） 数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型的方法1. 回归分析法——用于对函数()f x 的一组观测值(,())(1,2,)i i x f x i n ，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法．2. 时序分析法——处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法．(三)仿真和其他方法1. 计算机仿真（模拟）——实质上是统计估计方法，等效于抽样试验．① 离散系统仿真——有一组状态变量．② 连续系统仿真——有解析表达式或系统结构图．2. 因子试验法——在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构．3. 人工现实法——基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统．五、几个数学模型1.如何预报人口的增长人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报，说到未来某个时期全世界(或某地区)的人口将达到多少多少亿．你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上常有较大的差别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果．建立模型的目的: 在对出生和死亡的概率作出适当假设的基础上，寻求人口X (t )的变化规律，用它描述人口的发展状况．先看一种最简单的计算方法．要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率(即人口出生率减去死亡率)，根据这两个数据进行人口预报是十分容易的．记今年人口为x 0，k 年后人口为x k ，年增长率为r ，则预报公式为x k ＝x 0(1+r )k显然，这个公式的基本前提是年增长率r 保持不变．这个条件在什么情况下才成立，如果不成立又该怎么办?历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题．早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了，一二百年来发展了许多模型，其中最简单的有两种.2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)英国人口学家马尔萨斯(Malthus l766—1834)根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口指数增长模型．这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比． 记时刻t 的人口为x (t )，初始时刻(t ＝0)的人口为x 0，人口增长率为r ，r 是单位时间内x x (t )的增量与x (t )的比例系数．根据r 是常数的基本假设，t 到t+Δt 时间内人口增量为x (t+Δt ))(t x - = r x (t )Δt于是x (t )满足如下的微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx 由这个线性常系数微分方程容易解出rt e x t x 0)(=表明人口将按指数规律无限增长(r ＞0)．将t 以年为单位离散化，人口以re 为公比的等比数列增长．因为这时r 表示年增长率，通常r <<1，所以可用近似关系r e r +≈1,那么 tr x t x )1()(0+≈可见,前面给出的预报公式不过是指数增长模型离散形式的近似表示．由rt e x t x 0)(= 给出的模型，与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合．一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区用这个模型进行预报，结果也令人满意．但是当人们用19世纪以后许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时，却发现了相当大的差异．显然，用这个模型预报的结果远远超过了实际人口的增长．引起误差的原因是10年增长率r 估计过高．人们还发现，在地广人稀的加拿大领土上，法国移民后代的人口比较符合指数增长模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却远低于这个模型．产生上述现象的主要原因是:随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著．如果当人口较少时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少．许多国家人口增长的实际情况完全证实了这点．看来为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设了．3.阻滞增长模型(Logistic 模型)将增长率r 表示为人口x (t )的函数r (t ) (即增长率相对于固定的人口数x 来说是常数),按照前面的分析r (x )应是x 的减函数．一个最简单的假定是设r (x )为x 的线性函数r (x )= r –sx ， s ＞0，这里r 相当于x=0时的增长率，称固有增长率． 它与指数模型中的增长率r 不同(虽然用了相同的符号)．显然对于任意的x ＞0，增长率r (x )＜r ．为了确定系数s ，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量x m ，称最大人口容量．当x=x m 时增长率应为零，即r (x m )＝0，由此确定出s .人口增长率函数r (x )可以表为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m x x r x r 1)(其中r 、x m 是根据人口统计数据或经验确定的常数．因子⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-m x x 1体现了对人口增长的阻滞作用． 在此的假设下,指数增长模型应修改为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0)0(1 x x x x x r dt dx m 称为阻滞增长模型．此非线性微分方程可用分离变量法求解,结果为rtm me x x x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(其阻滞增长模型x (t )的曲线如图本世纪初人们曾用这个模型预报美国的人口．直到1930年计算结果都能与实际数据较好地吻合．后来的误差越来越大，一个明显的原因是到1960年美国的实际人口已经突破了用过去数据确定的最大人口容量x m ．由此看来，这个模型的缺点之一是x m 不易准确地得到．事实上，随着生产力的发展和人们认识能力的改变，x m 也是可以改变的．4. 随机性人口模型上面讨论的人口模型都是确定性的，已知初始人口并且给定了生育率、死亡率等数据后，可以确切地预测未来的人口．但是事实上，一个人的出生和死亡应该说是随机事件，无法准确预测．之所以能用确定性模型描述人口的发展，是因为考察的是一个国家或地区的数量很大的人口，用对总数而言的平均生育率、死亡率代替出生、死亡的概率，将人口作为连续变量处理．如果研究对象是一个自然村落或一个家族的人口，数量不大、需作为离散变量看待时，就要利用随机性人口模型来描述其变化过程了.时刻t 的人口用随机变量)(t X 表示，)(t X 只取整数值．记)(t P n 为n t X =)(的概率，=n 0,1,2,…，下面要在对出生和死亡的概率作出适当假设的基础上，寻求)(t P n 的变化规律，并由此得出人口)(t X 的期望和方差，用它们在随机意义下描述人口的发展状况．模型假设 若n t X =)(，对人口在t 到t t ∆+的出生和死亡作如下假设(t ∆很小)：1．出生一人的概率与t ∆成正比，记作t b n ∆；出生二人及二人以上的概率为)(t o ∆．2．死亡一人的概率与t ∆成正比，记作t d n ∆；死亡二人及二人以上的概率为)(t o ∆．3．出生与死亡是相互独立的随机事件．4．进一步设n b 和n d 均与n 成正比，记n b n λ=，n d n μ=，λ和μ分别是单位时间内1=n 时一个人出生和死亡的概率.建模与求解 为了得到)(t P n 的方程，考察随机事件n t t X =∆+)(．根据假设1—3，与出生或死亡一人的概率相比、出生或死亡二人及二人以上的概率，出生一人且死亡一人的概率均可忽略．这样，n t t X =∆+)(可以分解为仅仅三个互不相容的事件之和：1)(-=n t X 且t ∆内出生一人,其概率为t b n ∆；1)(+=n t X 且t ∆内死亡一人，其概率为t d n ∆；n t X =)( 且t ∆内人口未变，其概率为P {人口未变}=1-P{人口增加或减少1人}=t d t b n n ∆-∆-1．按照全概率公式有P {时刻t t ∆+有n 个人}=P {t ∆增加1人}P{时刻t 有n-1个人}+P {t ∆减少1人}P{时刻t 有n+1个人}+P {t ∆人口未变}P{时刻t 有n 个人}.即)1)(()()()(111t d t b t P t d t P t b t P t t P n n n n n n n n ∆-∆-+∆+∆=∆++-- (1)即)()()()()()(111t P d b d t P b t P tt P t t P n n n n n n n n n +-+=∆-∆++--令0→∆t ，可得关于)(t P n 的微分方程：)()()()(1111t P d b t P d t P b dtdP n n n n n n n n +-+=++-- (2) 特别地，在假设4(n b n λ=，n d n μ=)下方程为)()()()1()()1(11t nP t P n t P n dtdP n n n n μλμλ+-++-=+- (3) 若初始时刻(0=t )人口为确定数量0n ，则)(t P n 的初始条件为⎩⎨⎧≠==. ,0, ,1)0(00n n n n P n (4) (3)式对于不同的n 是一组递推方程，在条件(4)下的求解过程非常复杂，并且没有简单的结果．幸而，通常人们对(3)式的解)(t P n 并不关心，感兴趣的只是)(t X 的期望)}({t X E .以下简记期望)(t E )}({t X E =, 0)0(n E =,方差)(t D )}({t X D =. 0)0(=D .而它们可以由(3)、(4)直接得到，因为按照定义，∑∞==1)()(n n t nP t E (5)对(5)求导并将(3)代人得∑∑∑∞=∞=+∞=-+-++-=121111)()()()1()()1(n n n n n n t P n t P n n t P n n dt dE μλμλ (6) 注意到∑∑∑∞=∞=∞=-+=+=-1111)()1()()1()()1(n n k k n n t P n n t P k k t Pn n ∑∑∑∞=∞=∞=+-=-=+1111)()1()()1()()1(n n k k n n t P n n t P k k t Pn n 代入(6)式 ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=+--++=11211)()()()()()1()()1(n n n n n n n n t nP t P n t P n n t P n n dt dE μλμλμλ 利用(5)式，则有)()()()(1t E t nP dt dE n n μλμλ-=-=∑∞= (7) 由于0)0(n E = (8)显然，方程(7)在(8)下的解为rt t e n e n t E 0)(0)(==-μλ,μλ-=r . (9)这个结果与1.4节(3)式表示的指数模型rt e x t x 0)(= (10)形式上完全一致．从含义上看，随机性模型(9)中出生概率λ与死亡概率μ之差r 可称为净增长概率,人口的期望值)(t E 呈指数增长．在人口数量很多的情况下如果将r 视为平均意义上的净增长率，那么)(t E 就可以看成确定性模型(10)中的人口总数)(t x 了。
如何建立数学模型
如何建立数学模型数学模型是将现实问题数学化的工具，用于描述和分析问题，并为问题提供解决方案。
下面是建立数学模型的基本步骤：1.理解问题：首先，我们需要全面理解给定问题的背景和要解决的目标。
明确问题的各个方面，确定我们要具体研究的内容。
2.收集数据：在建立数学模型之前，我们需要收集相关的数据。
这可以通过实地调查、文献研究、统计数据等方式进行。
数据的质量和准确性对模型的准确性和可靠性至关重要。
3.建立假设：在建立数学模型之前，我们通常需要进行一些假设。
假设可以简化问题，使之更易于数学处理。
但是，假设必须合理，并与实际情况密切相关。
4.确定变量：确定数学模型中所需的变量。
通常会有自变量和因变量。
自变量是我们要控制或调整的变量，而因变量是我们想要预测、分析或优化的变量。
5.建立数学方程：使用合适的数学工具来建立表示问题的数学方程。
这可能涉及代数方程、微分方程、概率分布等。
我们需要根据问题的特点选择合适的数学方法。
6.模型求解：解决建立的数学模型，通常可以使用解析方法或数值方法。
解析方法是通过数学公式推导获得解析解的方法，而数值方法是通过数值计算获得近似解的方法。
7.模型验证：验证数学模型的准确性和可靠性。
可以通过与已知数据进行比较或使用其他方法进行验证。
如果模型与现实相符，那么我们可以信任它，并进一步应用于问题的解决和分析。
8.模型分析和解释：对模型的结果进行分析和解释，提取有关问题的有用信息。
这可能涉及到观察模型中的趋势、寻找关联、确定影响因素等。
9.模型优化和改进：如果模型结果与实际情况存在显著差异，我们可以对模型进行优化和改进。
这可能包括重新建立模型、调整参数、增加变量等。
10.模型应用：将建立的数学模型应用于实际问题的解决和决策。
这可能包括预测未来趋势、优化决策、制定策略等。
总结起来，建立数学模型需要深入理解问题，收集数据，建立合理的假设，并使用适当的数学方法建立数学方程。
通过求解、验证、分析和优化模型，我们可以得到对问题的深刻理解，并为问题提供解决方案。
循序渐进,构建数学模型
循序渐进,构建数学模型
张菊
【期刊名称】《小学教学参考》
【年(卷),期】2017(000)035
【摘要】数学模型是学生进行数学学习有效工具.教师要循序渐进地培养学生的模型意识,使之确立模型思想,积累构建模型的基本经验.
【总页数】1页(P55)
【作者】张菊
【作者单位】江苏南通市永兴小学 226005
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
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循序渐进，构建“数学模型”
观摩学习了刘雯老师执教的《相遇问题》这一节课，我认为刘老师为学生“建模”共经历了以下四个环节：
一、动画演示上学情境，初步感知“相遇问题”
刘老师先用动画演示了王明和李华上学的情境，唤起了学生“相遇问题”的生活经验。
再次播放动画情景，引导学生逐步用上“两人”、“同时”、“从两家出发”、“相对而行”、“在校相遇”等关键词边打手势边描述他们的运动过程。
“借助学生的观察和描述，了解了学生对“相遇问题”的已有经验和认知基础，培养了学生的观察、想象和语言表达能力。
二、创设现实情境，构建“相遇问题”的运动模型
教师和一名学生模拟情境，现场表演王明和李华的运动过程。
师生分四次现场模拟表演“两生上学”的运动过程，分别理解“两个物体”、“两个地方、”“同时出发”、“相对而行”、“最后相遇”这几个关键词的含义，师生模拟表演的运用，激发了学生的学习兴趣，调动学生眼、耳、手、口等多种感官并用，吸引学生积极主动地投入到探究学习活动中来；而且调动了学生已有的生活经验。
使学生掌握了相遇问题的基本特征，初步建立了相遇问题的雏形，为建立数学模型做好了准备。
三、在情境中添加相关信息，提炼生成“相遇问题”
在学生初步理解相遇问题基本特征的基础上，刘老师添加了相关的数学信息，提炼生成完整的相遇问题，即帮助学生把“生活问题”转化为“数学问题”，又帮助学生构建起相遇问题的语言模型；为构建“相遇问题的数学模型”奠定了基础。
四、自主解决问题，构建数学模型
老师放手让学生运用已有的知识，自主进行信息整理。
组织学生以小组为单位交流各自整理信息的方法，互相学习。
又以小组为单位汇报整理信息的方法，教师适时组织学生互相质疑问难，补充完善，帮学生理清数量关系，明确解题思路。
突出画线段图整理信息的优越性和必要性。
重点讲解画线段图整理信息的方法，帮助学生构建相遇问题的图形模型。
在此基础上，学生独立列式解答，建构起了相遇问题的算式模型。
刘老师正是通过这一系列环节的设计，创设情境，层层递进，为学生清晰地构建起“相遇问题”这一数学模型。