【真题】16年浙江省杭州市七校联考高三(上)数学期中试卷含答案(文科)

2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1}B．{1，5}C．{1，4}D．{1，4，5}2．（5分）设a，b是实数，则“ab＞0”是“a+b＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件已知3．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1﹣a7+a13=6，则S13=（）A．78 B．91 C．39 D．20154．（5分）已知函数，下面四个结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象是由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到D．函数是奇函数5．（5分）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x+sinx B．C．f（x）=xcosx D．6．（5分）在△ABC中，=（cos16°，sin16°），=（2sin29°，2cos29°），则△ABC面积为（）A．B．C．D．7．（5分）若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．8．（5分）已知函数，若方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣2＜a＜0}B．{a|﹣2＜a≤0}C．{a|﹣2＜a＜0或1＜a＜2}D．{a|﹣2＜a＜0或a=1}二、填空题：（本大题共7个小题，第9-12题每题6分，13-15题每题4分，共36分.）9．（6分）lg0.01+log216=；=．10．（6分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9构成等比数列{b n}的前3项，则=；又若d=2，则数列{b n}的前n项的和S n=．11．（6分）设函数f（x）=，则f（f（2））=；满足不等式f（x）≤4的x的取值范围是．12．（6分）若实数x，y满足不等式组．若a=4，则z=2x+y的最大值为；若不等式组所表示的平面区域面积为4，则a=．13．（4分）若是两个单位向量，且=，若，则向量=．14．（4分）若x，y∈R+，+=1，则2x+y的最小值是．15．（4分）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共5个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（14分）已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求cosA的值；（2）若a，b，c成等差数列，求sinC的值．17．（15分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象的横坐标伸长为原来的2倍，再将函数图象向上平移1个单位，得到函数y=g（x），求函数y=|g（x）|的单调增区间．18．（15分）已知函数，函数g（x）=2﹣f（﹣x）．（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；（Ⅱ）若当x∈（﹣1，0）时，g（x）＜tf（x）恒成立，求实数t的最大值．19．（15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且4S n=a n2+2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n•a n，求数列{b n}的前n项和．20．（15分）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1}B．{1，5}C．{1，4}D．{1，4，5}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，∴C U A={1，5}，∵B={1，4}，∴（C U A）∪B={1，4，5}．故选：D．2．（5分）设a，b是实数，则“ab＞0”是“a+b＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件已知【解答】解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立，不是充分条件，如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，不是必要条件，所以设a，b是实数，则“ab＞0”是“a+b＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．3．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1﹣a7+a13=6，则S13=（）A．78 B．91 C．39 D．2015【解答】解：等差数列{a n}中，∵a1﹣a7+a13=6，∴2a7﹣a7=6，解得a7=6．∴S13=．故选：A．4．（5分）已知函数，下面四个结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象是由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到D．函数是奇函数【解答】解：∵f（x）=2cos（2x+），故周期T=π，可排除A；将代入f（x）=2cos（2x+）可得：f（）=2cos=0≠±2，故可排除B；y=2cos2x的图象向左平移个单位得到y=2cos2（x+）=2cos（2x+），故可排除C；f（x+）=2cos（2x+）=﹣2sinx，显然为奇函数，故D正确．故选：D．5．（5分）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x+sinx B．C．f（x）=xcosx D．【解答】解：依题意函数是奇函数，排除D，函数图象过原点，排除B，图象过（，0）显然A不正确，C正确；故选：C．6．（5分）在△ABC中，=（cos16°，sin16°），=（2sin29°，2cos29°），则△ABC面积为（）A．B．C．D．【解答】解：cos∠B==；∴；∴=．故选：A．7．（5分）若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．【解答】解：∵α∈（，π），且3cos2α=4sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），化简可得：3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，解得：sin2α=﹣，故选：C．8．（5分）已知函数，若方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣2＜a＜0}B．{a|﹣2＜a≤0}C．{a|﹣2＜a＜0或1＜a＜2}D．{a|﹣2＜a＜0或a=1}【解答】解：若0≤x≤2，则﹣2≤x﹣2≤0，∴f（x）=2f（x﹣2）=2（1﹣|x﹣2+1|）=2﹣2|x﹣1|，0≤x≤2．若2≤x≤4，则0≤x﹣2≤2，∴f（x）=2f（x﹣2）=2（2﹣2|x﹣2﹣1|）=4﹣4|x﹣3|，2≤x≤4．∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4．设y=f（x）和y=x+a，则方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，、等价为函数y=f（x）和y=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不同的零点．作出函数f（x）和y=x+a的图象，如图：当直线经过点A（2，0）时，两个图象有2个交点，此时直线y=x+a为y=x﹣2，当直线经过点O（0，0）时，两个图象有4个交点，此时直线y=x+a为y=x，当直线经过点B（3，4）和C（1，2）时，两个图象有3个交点，此时直线y=x+a 为y=x+1，∴要使方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则a=1或﹣2＜a＜0．故选：D．二、填空题：（本大题共7个小题，第9-12题每题6分，13-15题每题4分，共36分.）9．（6分）lg0.01+log216=2；=6．【解答】解：lg0.01+log216=﹣2+4=2；=23﹣2=6．故答案分别为：2；6．10．（6分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9构成等比数列{b n}的前3项，则=3；又若d=2，则数列{b n}的前n项的和S n=3n﹣1．【解答】解：由题意可得a32=a1a9，即为（a1+2d）2=a1（a1+8d），即4d2=4a1d，（d≠0），可得d=a1，==3；若d=2，则a1=2，a3=2+4=6，即有等比数列{b n}的公比为q=3，和S n==3n﹣1．故答案为：3，3n﹣1．11．（6分）设函数f（x）=，则f（f（2））=2；满足不等式f （x）≤4的x的取值范围是x≤16．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（2））=f（log22）=f（1）=21=2；当x≤1时，2x≤2≤4，不等式f（x）≤4恒成立．当x＞1时，log2x≤4，解得1＜x≤16．综上x≤16．故答案为：2；x≤16．12．（6分）若实数x，y满足不等式组．若a=4，则z=2x+y的最大值为7；若不等式组所表示的平面区域面积为4，则a=6．【解答】解：当a=4时，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．作出不等式组对应的平面区域，由，解得，即A（1，1），若不等式组构成平面区域，则必有点A在直线x+y=a的下方，即满足不等式x+y＜a，即a＞1+1=2，由，解得，即C（a﹣1，1），由，解得，即B（，），则三角形的面积S=（a﹣1﹣1）×（﹣1）=（a﹣2）2=4，即（a﹣2）2=16，即a﹣2=4或a﹣2=﹣4，解得a=6或a=﹣2（舍），故答案为：7，613．（4分）若是两个单位向量，且=，若，则向量=﹣．【解答】解：若，则=（2+）•（﹣3+2）=﹣62+22+•=﹣6+2+=﹣，故答案为：﹣．14．（4分）若x，y∈R+，+=1，则2x+y的最小值是2+2．【解答】解：∵+=1∴2x+y=（2x+y+1）﹣1=[2x+（y+1）]（+）﹣1=（2+++1）﹣1≥2+2=2+2（当且仅当=取等号．）则2x+y的最小值是2+2．故答案为2+2．15．（4分）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是（﹣∞，5] ．【解答】解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价为x2﹣a＜|x﹣1|，设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，则f（x）=，若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则等价为，即，即，解得a≤5，故答案为：（﹣∞，5]三、解答题：（本大题共5个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（14分）已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求cosA的值；（2）若a，b，c成等差数列，求sinC的值．【解答】解：（1）∵，∴，即．…（2分）代入sin2A+cos2A=1化简整理，得．…（4分）∵，可得cosA＞0，∴角A是锐角，可得．…（6分）（2）∵a，b，c成等差数列∴2b=a+c，结合正弦定理得2sinB=sinA+sinC，即2sin（A+C）=sinA+sinC，…（8分）因此，可得2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．①由（1）得及，所以，…（10分）代入①，整理得．结合sin2C+cos2C=1进行整理，得65sin2C﹣8sinC﹣48=0，…（12分）解之得或．∵C∈（0，π），可得sinC＞0∴（负值舍去）．…（14分）17．（15分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象的横坐标伸长为原来的2倍，再将函数图象向上平移1个单位，得到函数y=g（x），求函数y=|g（x）|的单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由，∴，∴的最小值为，f（x）的最大值是0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）解：将函数y=f（x）=的图象的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=，再将函数图象向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）y=||，由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）得：增区间为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）18．（15分）已知函数，函数g（x）=2﹣f（﹣x）．（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；（Ⅱ）若当x∈（﹣1，0）时，g（x）＜tf（x）恒成立，求实数t的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为，函数g（x）=2﹣f（﹣x）．所以，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，因为，所以g（x）是奇函数．（Ⅱ）由g（x）＜tf（x）得，，（*）当x∈（﹣1，0）时，，，（*）式化为3x+1＞t（3x+1﹣1），（**）…（9分）设3x=u，，则（**）式化为（3t﹣1）u﹣t﹣1＜0，…（11分）再设h（u）=（3t﹣1）u﹣t﹣1，则g（x）＜tf（x）恒成立等价于，，，解得t≤1，故实数t的最大值为1．…（14分）19．（15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且4S n=a n2+2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n•a n，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）．当n=1时，可得4a1=4S1=a12+2a1，解得a1=2，由，n用n﹣1代，两式相减得，得a n=2n．对n=1也成立．则数列{a n}的通项公式为a n=2n；（Ⅱ），错位相减法可以得S n=2•3+4•32+…+2n•3n，3S n=2•32+4•33+…+2n•3n+1，两式相减可得，﹣2S n=2（3+32+…+3n）﹣2n•3n+1=2（﹣2n•3n+1，化简可得S n=（n﹣）•3n+1+．20．（15分）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1⇒⇒a≤﹣1，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]；（Ⅱ）函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|=，当a≥0时，①﹣a≤﹣2即a≥2时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣2）=4﹣4a﹣a2；②﹣a＞﹣2即0≤a＜2时，f（x）在[﹣2，﹣a]上单调递减，在[﹣a，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣2a2；当a＜0时，①≤﹣2即a≤﹣6时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以f （x ）min =f （﹣2）=12+4a +a 2；②＞﹣2即﹣6＜a ＜0时，f （x ）在[﹣2，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以f （x ）min =f （）=，综上可得，f （x ）min =赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。