2015北京市门头沟区初三(一模)数学
一元二次方程训练(2015最新含学生版和教师答案版可直接打印)
第二十一章一元二次方程训练一、选择题1．将方程3（2x 2－1）=（（x+3x+5化成一般形式后二次项系数，一次项系数，常数项分为（ ） A ．5，3，5 B ．5，－3，－5 C ．72 D ．8，6，12．（2014秋•青海校级月考）方程（m ﹣2）x |m|+3mx+1=0是3．（2015•科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A x 2﹣2x ﹣99=0化为（x ﹣1）2=100 B x 2+8x+9=0化为（x+4）2=25 C 2t 2﹣7t ﹣4=0化为（t ﹣）2= D 3x 2﹣4x ﹣2=0化为（x ﹣）2=4．观察表格中的数据，可得出当2x 2﹣3x ﹣4=0时，未知数A -2＜x ＜-1, 或-1＜x ＜0B -1＜x ＜0, 或0＜x ＜2C 1 ＜x ＜2, 或＜x ＜D -1＜x ＜0, 或2＜x ＜35．若使分式13222--+x x x 的值为零，则x 的取值为（ ）A ．1或-1 B.-3或1 C.-3 D.-3或-1 6．（2013•珠海）已知一元二次方程：①x 2+2x+3=0， ②x 2-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）A ．①②都有实数解B ．①无实数解，②有实数解C ．①有实数解，②无实数解D ．①②都无实数解7.（2015•杭州模拟）若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） AB 且 k ≠1 CD k ≥且 k ≠08．一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于 （ ）A. - 6B. 1C. 2 D . - 6或19．（2015•泗洪县校级模拟）设a ，b 是方程x 2﹣x ﹣2013=0210.（2014秋•新泰市期末）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程（a+c ）x 2+2bx+a ﹣c=0，的两根相等，则△ABC 为（ ）三角形A 等腰B 等边C 直角D 任意11．（2015•荆州）已知x 1，x 2是方程x 2-x-2013=0的两实数根，则x 13+2014x 2-2013= ．A 1B 2013C 2014D 201512．（2015春•兴化市校级期末）对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），下列说法：① 当b=a+c 时，则方程ax 2+bx+c=0一定有一根为x=﹣1；② 若ab ＞0，bc ＜0，则方程ax 2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；③若c 是方程ax 2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0；④ 若b=2a+3c ，则方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数二、填空题13．（2015•丽水）解一元二次方程x 2+2x ﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 ．14．（2015•兰州）若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2015=0有一根为x =﹣1，则a +b = ．15.（2015•北京）关于x 的一元二次方程ax 2+bx +=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值：a = ，b = ．16．（2015•呼和浩特）若实数a 、b 满足（4a +4b ）（4a +4b ﹣2）﹣8=0，则a +b = ．17．（2014•靖江市一模）若（x 2+y 2+2）（x 2+y 2﹣3）=6，则x 2+y 2= ．18．（2015•包头）已知关于x 的一元二次方程 x 2+x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．19．（2014•黄冈模拟）关于x 的方程2x 2﹣2x+3m ﹣1=0有两个实数根x 1，x 2，且x 1x 2＞x 1+x 2﹣4，则实数m 的取值范围是 ．21．（2015•赣县校级模拟）已知实数满足a 2﹣6a+4=0， b 2﹣6b+4=0，且a ≠b ，则ab-a-b 的值是 ．21.（2014•济南）如图，将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于三、解答题：1 22..用适当的方法解下列方程（必须按步骤写出完整过程）（1）012022=-+x x（2）()272312=-x（3）06552=--x x（4）04882=--x x(5) ()()22241-=+x x(6) ()()0214122=---x x （7） 223．已知a 、b 、c 均为实数，且0)3(|1|12=++++-c b a ，求方程02=++c bx ax 的根。
北京市门头沟区2015届九年级(上)期末考试数学试题(含答案)
门头沟区2014—2015学年度第一学期期末测试试卷九 年 级 数 学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．已知325x =，则x 的值是 A ．103 B ．152C ．310D ．2152．已知⊙O 的半径是4，OP =3，则点P 与⊙O 的位置关系是 A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．不能确定3．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，则sin B 的值是A．54 B ．53 C ．45D ．35 4．如果反比例函数1m y x +=在各自象限内，y 随x 的增大而减小，那么m 的取值范围是A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＜－1D ．m ＞－15．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，如果o 100AOB ∠=，那么 ∠ACB 的度数是 A ．40° B ．50° C ．60°D ．80°6．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6的点数，掷这 个骰子一次，则掷得面朝上的点数为奇数的概率是 A ．14B ．16C ．12D ．137．将抛物线25y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A ．25(2)3y x =++B ． 25(2)3y x =-+AB CC ．25(2)3y x =--D ．25(2)3y x =+-8．如图，等边三角形ABC 边长为2，动点P 从点A 出发，以每秒 1个单位长度的速度，沿A →B →C →A 的方向运动，到达点 A 时停止．设运动时间为x 秒，y =PC ，则y 关于x 函数 的图象大致为A B C D二、填空题：（本题共16分，每小题4分）9． 扇形的半径为9，圆心角为120°，则它的弧长为_______. 10．三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示. 如果OA =20cm ，OA ′=50cm ，那么这个三角尺的周长与它在墙上形成影子的周长的比是 .11． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是直线13x =， 在下列结论中，唯一正确的是 . （请将正确的序号填在横线上） ① a ＜0；② c ＜－1； ③ 2a +3b =0；④ b 2－4ac ＜0；⑤ 当x =13时，y 的最大值为99c a-．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 顶点A （－1，－1）、B （－3，－1）． 我们规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换． （1）如果正方形ABCD 经过1次这样的变换得到正方形A 1B 1C 1D 1，那么B 1的坐标是 ．（2）如果正方形ABCD 经过2014次这样的变换得到正方形A 2014B 2014C 2014D 2014，那么B 2014的坐标是 ．影子三角尺灯泡OAA'三、解答题：（本题共30分，每题5分）13．计算：tan30cos60tan45sin30.︒-︒⨯︒+︒14．已知抛物线y=x2－4x+3．（1）用配方法将y=x2－4x+3化成y=a(x－h)2+k的形式；（2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）直接写出当x满足什么条件时，函数y＜0.15．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD=3，AB=7，求AC的长. AB CD16．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）17．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO=∠D；（2）若CD=AE=2，求⊙O的半径．18．如图，一次函数y =kx +2的图象与x 轴交于点B ，与反比例函数my x的图象的一个交点为A （2，3）．（1）分别求反比例函数和一次函数的表达式； （2）过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，若点P 在反比例函数图象上，且△PBC 的面积等于18，请直接写 出点P 的坐标．四、解答题：（本题共20分，每题5分）19．如图，在锐角△ABC 中，AB =AC ，BC =10，sin A =35． （1）求tan B 的值； （2）求AB 的长．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =－x 2+bx +c 经过点（－3，0）和（1，0）.（1）求抛物线的表达式；（2）在给定的坐标系中，画出此抛物线； （3）设抛物线顶点关于y 轴的对称点为A ，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G ．点B 是抛物线对称轴上一动点，如果直线AB 与图象G 有公共点，请结合函数的图象，直接写出点B 纵坐标t 的取值范围．21．如图，在△ABC ，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，且BF 是⊙O的切线，BF 交AC 的延长线于F ．（1）求证：∠CBF =12∠CAB ．（2）若AB =5，sin ∠CBF BC 和BF 的长．22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且P A=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数．小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．图1 图2请回答：图1中∠APB的度数等于，图2中∠PP′C的度数等于．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（1），连接AO．如果点B是x 轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC. 当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；（3）在（2）的条件下，将关于x的二次函数y=mx2+(3m+1)x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．24．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．图1 图2（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．25．我们规定：函数ax ky x b+=+（a 、b 、k 是常数，k ≠ab ）叫奇特函数．当a =b =0时，奇特函数ax k y x b +=+就是反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）． （1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x 和y 后，得到新矩形的面积为8．求y 与x 之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 、C 坐标分别为（6，0）、（0，3），点D 是OA 中点，连接OB 、CD 交于E ，若奇特函数4ax ky x +=-的图象经过点B 、E ，求该奇特函数的表达式； （3）把反比例函数2y x=的图象向右平移4个单位，再向上平移 个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象；（4）在（2）的条件下，过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个奇特函数图象交于P ，Q两点（P 在Q 右侧)，如果以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P 的坐标．以 下 为 草 稿 纸门头沟区2014—2015学年度第一学期调研参考答案九 年 级 数 学一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每题5分） 13．解：tan 30cos 60tan 45sin 30︒-︒⨯︒+︒11122⨯+ …………………………………………………………………4分=. …………………………………………………………………5分 14．解：（1）y =x 2－4x +4－4+3 …………………………………………………………1分=(x －2)2－1 ………………………………………………………………2分 （2）对称轴为直线2x =，顶点坐标为（2，－1）. …………………………4分 （3）1＜x ＜3. …………………………………………………………………5分 15．（1）证明：∵∠A =∠A ，∠ABC =∠ACD ，…………………………………………1分∴ △ACD ∽△ABC. ……………………………………………………2分（2）解：∵ △ACD ∽△ABC ，∴ .AC ADAB AC=………………………………………………………………3分 ∴3.7AC AC=………………………………………………………………4分∴ AC ………………………………………………………………5分 16．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°，∴ BD =AD =20．………………………………………………………………2分在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°，∴ CD =AD =．……………………………………………………4分∴ BC =BD +CD =20+m ）．………………………………………………5分答：这栋楼高为（20+m ． 17．（1）证明：∵ OC =OB ，∴ ∠BCO =∠B ．…………………………………………………………1分 ∵ AC AC =， ∴ ∠B =∠D ，∴ ∠BCO =∠D ．…………………………………………………………2分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴ CE =1122CD =⨯．……………………………………………3分在Rt △OCE 中，OC 2=CE 2+OE 2，设⊙O 的半径为r ，则OC =r ，OE =OA －AE =r －2，∴(()2222r r =+-，…………………………………………………4分解得：r =3，∴⊙O 的半径为3．………………………………………………………5分18．解：（1）把A （2，3）代入m y x =，∴ 32m=． ∴ m =6．∴6y x=．…………………………………………………………………1分 把A （2，3）代入y =kx +2，∴ 2k +2=3，……………………………………………………………………2分 ∴12k =． ∴122y x =+．………………………………………………………………3分 （2）P 1（1，6）或P 2（－1，－6）．…………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每题5分）19．解：（1）如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．………………………………1分∵ 在Rt △ADC 中，∠ADC =90°，∴3sin 5CD A AC ==． 设CD =3k ，则AB =AC =5k ．∴AD 4k =，…2分∴BD =AB －AD =5k －4k =k ， ∴3tan 3CD kB BD k===． …………………………………………………3分 （2）在Rt △BDC 中，∠BDC =90°，∴BC ．∵BC =10，∴10=，…………………………………………………4分∴k =∴AB =5k =．………………………………………………………5分20．解：（1）∵抛物线y =－x 2+bx +c 经过点（－3，0）和（1，0）.∴930,10.b c b c --+=⎧⎨-++=⎩………………………………………………………1分解得 2,3.b c =-⎧⎨=⎩……………………………………………………………2分∴抛物线的表达式为y =－x 2－2x +3．……………………………………3分 （2）正确画出图象．…………………………………………………………4分 （3）2＜t ≤4．……………………………………………………………………5分 21．（1）证明：连结AE .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°， ∴∠1+∠2=90°. ∵BF 是⊙O 的切线， ∴BF ⊥AB ， ∴∠CBF +∠2=90°.∴∠CBF =∠1. …………………………………………………………1分 ∵AB=AC ，∠AEB=90°， ∴∠1=21∠CAB . ∴∠CBF =21∠CAB . ……………………………………………………2分 （2）解：过点C 作CG ⊥AB 于点G .∵sin ∠CBF=55，∠1=∠CBF ，∴sin ∠1=55. ∵∠AEB=90°，AB =5. ∴BE=AB ·sin ∠1=5. ∵AB=AC ，∠AEB=90°，∴BC=2BE =52.…………………………………………………………3分 在Rt △ABE 中，由勾股定理得5222=-=BE AB AE . ∴sin ∠2=552，cos ∠2=55.在Rt △CBG 中，可求得GC=4，GB=2.∴AG=3. ……………………………………………………………………4分 ∵GC ∥BF ， ∴△AGC ∽△ABF . ∴ABAGBF GC =， ∴320=⋅=AG AB GC BF .…………………………………………………5分 22．解：图1中∠PP ′C 的度数等于90°．………………………………………………1分图1中∠APB 的度数等于150°．………………………………………………3分 如图，在y 轴上截取OD =2，作CF ⊥y 轴于F ，AE ⊥x 轴于E ，连接AD 和CD ．∵点A 的坐标为（1），∴tan ∠AOE=， ∴AO =OD =2，∠AOE =30°， ∴∠AOD =60°．∴△AOD 是等边三角形． ………………………………………………………4分 又∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC ，∠CAB =∠OAD =60°， ∴∠CAD =∠OAB ， ∴△ADC ≌△AOB ．∴∠ADC =∠AOB =150°，又∵∠ADF =120°，∴∠CDF =30°．∴DF ．∵C （x ，y ）且点C 在第一象限内，∴y －，∴y =x +2（x ＞0）．………………………………………………………5分 五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（1）证明：∵m ≠0，∴mx 2+(3m +1)x +3=0是关于x 的一元二次方程.∴△=(3m +1)2－12m ………………………………………………………1分=(3m －1)2． ∵ (3m －1)2≥0，∴方程总有两个实数根. ……………………………………………… 2分（2）解：由求根公式，得x 1=－3，x 2=1m． ……………………………………3分 ∵方程的两个根都是整数，且m 为正整数，∴m =1．……………………………………………………………………4分（3）解：∵m =1时，∴y =x 2+4x +3．∴抛物线y =x 2+4x +3与x 轴的交点为A （－3，0）、B （－1，0）．依题意翻折后的图象如图所示．…………………………………………5分 当直线y =x +b 经过A 点时，可得b =3． 当直线y =x +b 经过B 点时，可得b =1． ∴1＜b ＜3． …………………6分当直线y =x +b 与y =－x 2－4x －3 的图象有唯一公共点时， 可得x +b =－x 2－4x －3， ∴x 2+5x +3+b =0， ∴△=52－4(3+b ) =0， ∴b =134．∴b ＞134．…………………………………………………………………7分 综上所述，b 的取值范围是1＜b ＜3，b ＞134．24．解：（1）① 如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C =∠D =90°．………………………………………………………1分 ∴∠1+∠3=90°．∵由折叠可得∠APO =∠B =90°， ∴∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．……………………2分 又∵∠D =∠C ，∴△OCP ∽△PDA ．……………………………………………………3分 ② 如图1，∵△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，∴12OP CP PA DA ==．∴CP =12AD =4．设OP =x ，则CO =8－x ． 在Rt △PCO 中，∠C =90°，由勾股定理得 x 2=(8－x )2+42．…………………………………………4分 解得：x =5．∴AB =AP =2OP =10．………………………………………………………5分 ∴边AB 的长为10．（2）作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，如图2．∵AP =AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB =∠ABP =∠MQP ． ∴MP =MQ ．又BN =PM ， ∴BN =QM ．∵MP =MQ ，ME ⊥PQ ， ∴EQ =12PQ ． ∵MQ ∥AN ，∴∠QMF =∠BNF ． 又∵∠QFM =∠NFB ，∴△MFQ ≌△NFB ． ∴QF =12QB ． ∴EF =EQ +QF =12PQ +12QB =12PB ．……………………………………6分 由（1）中的结论可得：PC =4，BC =8，∠C =90°． ∴PB=EF =12PB=． ∴在（1）的条件下，当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度不变，它的长度为．……………………………………………………………7分25．解：（1）由题意得，(2+x )(3+y )=8．∴832y x +=+． ∴832y x =-+322x x -+=+．…………………………………………………1分 根据定义，322x y x -+=+是奇特函数．…………………………………2分 （2）由题意得，B （6，3）、D （3，0），∴点E （2，1）．……………………………………………………………3分将点B （6，3）和E （2，1）代入4ax ky x +=-得 63,6421.24a k a k +⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩- ……………………………………………………………4分 解得2,6.a k =⎧⎨=-⎩∴奇特函数的表达式为264x y x -=-．……………………………………5分 （3）2．………………………………………………………………………6分 （4）P 1（，4）、P 2（8）．…………………………8分说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分，谢谢！。
2015年北京市门头沟区初三数学一模试题及答案
门头沟区2014~2015学年度初三一模试卷21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k－2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数，且该方程的根都是整数时，求k的值．22．列方程或方程组解应用题：北京快速公交4号线开通后，为响应“绿色出行”的号召，家住门头沟的李明上班由自驾车改为乘公交．已知李明家距上班地点18千米，他乘公交平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交所用时间是自驾车所用时间的37，问李明自驾车上班平均每小时行驶多少千米？24．2014年1月10日，国内成品油价格迎来了首次降低，某调查员就“汽油降价对用车的影响”这一问题向有机动车的私家车车主进行了问卷调查，并制作了统计图表的一部分如下：Oyx汽油降价对用车影响的BCDE A24%52%10%4%扇形统计图人数汽油降价对用车影响的条形统计图500（1）结合上述统计图表可得：p = ，m = ； （2）根据以上信息，补全条形统计图；（3）2014年1月末，某市有机动车的私家车车主约200 000人，根据上述信息，请你估计一下持有“影响不大”这种态度的车主约有多少人？五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)在第一象限之间的部分为图象G ，如果直线 y =k (x +1)+4与图象G 有公共点，请结合函数的图象，求直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标t 的取值范围．图328．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ． （1）如图1，如果∠A =30°，那么DE 与CE 之间的数量关系是 ． （2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，如果∠A =α（0°＜α＜90°），P 是射线CB 上一动点（不与B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转2α，得到线段DF ，连接BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系（不需证明）．DBFE DAB E DAB C C CP AE图1 图2 图329．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的顶点为M ，直线y =m与x 轴平行，且与抛物线交于点A 和点B ，如果△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M 称为碟顶，线段AB 的长称为碟宽．AABBMMOxyy=m准蝶形AMB（1）抛物线212y x的碟宽为 ，抛物线y =ax 2（a ＞0）的碟宽为 ． （2）如果抛物线y =a (x －1)2－6a （a ＞0）的碟宽为6，那么a = ．（3）将抛物线y n =a n x 2+b n x +c n （a n ＞0）的准蝶形记为F n （n =1，2，3，…），我们定义F 1，F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果F n 与F n -1的相似比为12，且F n 的碟顶是F n -1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1．① 求抛物线y 2的表达式；② 请判断F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的表达式；如果不是，说明理由．门头沟区2014~2015学年度初三一模试卷21．（本小题满分5分）解：（1）∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ △＞0，……………………………………………………………………1分 即22－4(k －2)＞0，∴ k ＜3．……………………………………………………………………2分 （2）∵k 为正整数，∴ k =1，k =2．………………………………………………………………3分 当k =1时，△=8，此时原方程的根是无理数，∴ k =1不合题意，舍去；…………………………………………………4分 当k =2时，原方程为x 2+2x =0，解得x 1=0，x 2=－2．∴ k =2．………………………………………………………………………5分22．（本小题满分5分）解：设李明自驾车上班平均每小时行使x 千米. ……………………………………1分 依题意，得xx 18739218⨯=+ ………………………………………………………2分 解得 27=x . ………………………………………………………………3分 经检验，27=x 是原方程的解，且符合题意.………………………………4分 答：李明自驾车上班平均每小时行使27千米.………………………………………5分24．（本小题满分5分） 解：（1）p =24%，m =10%；……………………………………………………2分 （2）补全条形统计图；……………………………………………………………4分 （3）48000人.……………………………………………………………………5分27．（本小题满分7分）（1）证明：∵△= (m+1)2－4×(－1)×(m+2)=(m+3)2. ……………………………………………………………1分∵m＞0，∴(m+3)2＞0，即△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根. …………………………………2分（2）解：∵抛物线抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），∴－32+3(m+1)+(m+2)=0，………………………………………………3分∴m=1.∴y=－x2+2x+3. ………………………………………………………4分（3）解：∵y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，∴该抛物线的顶点为（1，4）.∴当直线y=k(x+1)+4经过顶点（1，4）时，∴4=k(1+1)+4，∴k=0，∴y=4.∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4. ………………………5分∵y=－x2+2x+3，∴当x=0时，y=3，∴该抛物线与y轴的交点为（0，3）.∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3. ………………………6分∴3＜t≤4. …………………………………………………………………7分28．（本小题满分7分）解：（1）DE．……………………………………………………………………1分（2）DE、BF、BP三者之间的数量关系是BF+BP DE．…………………2分理由如下：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∠A=30°∴DC=DB，∠CDB=60°．∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF．又∵∠CDB=60°，∴∠CDB－∠PDB=∠PDF－∠PDB，∴∠CDP=∠BDF．∴△D C P≌△D B F．………………………………………………………3分∴ CP=BF．而CP=BC－BP，∴BF+BP=BC，……………………………………………………………4分在Rt△CDE中，∠DEC=90°，∴tanDE DCECE∠=，∴ CEDE ， ∴ BC =2CEDE ， ∴ BF +BP=DE ．...............................................................5分 （3）BF +BP =2DE tan α，BF －BP =2DE tan α． (7)分29．（本小题满分8分）解：（1）4，2a ； (2)分 （2）13； (3)分（3）① ∵ F 1的碟宽︰F 2的碟宽=2：1，∴12222:1a a =. ∵ a 1=13，∴ a 2=23 (4)分 又∵ 由题意得F 2的碟顶坐标为（1，1）， (5)分 ∴ ()222113y x =-+ (6)分 ② F 1，F 2，...，F n 的碟宽的右端点在一条直线上；........................7分 其解析式为y =－x +5． (8)分说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
北京门头沟初三一模数学试题目答案
北京门头沟初三一模数学试题目答案2011年门头沟区初三年级第一次统一练习数学试卷评分参考三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：101182sin 4520113-⎛⎫+︒-+ ⎪⎝⎭． 解： 101182sin 4520113-⎛⎫+︒-+ ⎪⎝⎭=2322132+⨯-+ …………………………………………………………4分=422+ ． ……………………………………………………………………5分14．解分式方程 6133x x x +=+-． 解：去分母，得6(3)(3)(3)(3)x x x x x -++=+-．……………………………2分整理，得 99x =．解得1x =． ……………………………………………………………4分经检验，1x =是原方程的解．所以原方程的解是1x =． ………………………………………………5分15． 证明：∵AF DC =，∴AC DF =． …………………………1分EF BC ∥， ∴EFD BCA ∠=∠． …………………2分 在△ABC 与△DEF 中，,,,BC EF BCA EFD AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△． ……………………………………………………4分∴AB =DE ． ……………………………………………………………5分16． 解：222(2)(1)37x x x x x +-++-3222(21)37x x x x x x =+-+++- …………………………………………2分33222237x x x x x x =+---+- ………………………………………3分27x x =+-． ……………………………………………………………………4分当26x x +=时，原式671=-=-． ………………………………………………5分 A Ｂ Ｃ F DＢ O Ｄ１ x y 1 1 A ． Ｄ２ 17．解：设中国内地去年有x 个城市参加了此项活动，今年有y 个城市参加了此项活动． …1分依题意，得119,313.x y y x +=⎧⎨=-⎩………………………………………………………3分解得 33,86.x y =⎧⎨=⎩ ………………………………………………………………4分答：去年有33个城市参加了此项活动，今年有86个城市参加了此项活动． …5分18. 解：（1）∵反比例函数n y x =的图象经过点B （2，1）, ∴2n =． ∴反比例函数的解析式是2y x =． …………1分点A （1，a ）在反比例函数2y x =的图象上，∴2a =．∴(12)A ，．……………………………………2分 ∵正比例函数y mx 的图象经过点(12)A ，，∴ 2m =．∴正比例函数的解析式是2y x．……………………………………3分（2）依题意，得1232OD ⨯⨯=． ∴3OD =．∴ D 点坐标为1(3,0)D -或2(3,0)D ． ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 解：（1）在□ABCD 中，AB DC ∥，∴∠ADC +∠DAB =180°．DF 、AE 分别是∠ADC 、∠DAB 的平分线， ∴12ADF CDF ADC ∠=∠=∠，12DAE BAE DAB ∠=∠=∠． ∴1()902ADF DAE ADC DAB ∠+∠=∠+∠=︒． ∴90AGD ∠=︒．∴AE ⊥DF ．…………………………………………………………………2分（2）过点D 作DH AE ∥，交BC 的延长线于点H ， 则四边形AEHD 是平行四边形，且FD ⊥DH ．∴DH =AE =4，EH =AD =10.在□ABCD 中，AD BC ∥，∴∠ADF =∠CFD ，∠DAE =∠BEA ．∴∠CDF =∠CFD ，∠BAE =∠BEA ．∴DC =FC ，AB =EB ．H GF E DC B AA图1A CB D O · 在□ABCD 中，AD =BC =10，AB =DC =6，∴CF =BE =6，BF =BC －CF =10－6=4．∴FE =BE －BF =6－4=2． …………………………………………………3分∴FH = FE +EH =12． ………………………………………………………4分在Rt △FDH 中，222212482DF FH DH --………………………5分20．解：（1）如图1，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB =90°．则∠CDB =∠ADB =90°．∴∠C +∠CBD =90°． ∵∠ABC =90°， ∴∠ABD +∠CBD =90°． ∴∠C =∠ABD ． ∴△ADB ∽△BDC ．∴AD BD BD CD =． ∵BD ：CD =3：4，AD =3， ∴BD =4． 在Rt △ABD 中，2222345AB AD BD =+=+=． ………………………3分（2）直线ED 与⊙O 相切．证明：如图2，连结OD ．由（1）得∠BDC=90°．∵E是BC的中点，∴DE=BE．∴∠EDB=∠EBD．∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD．∵∠OBD+∠EBD=90°，∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°．∴ED是⊙O的切线．……………………………………………………5分21．解：（1）20．……………………………………………………………………1分（2）3．………………………………………………………………………2分（3）补全表1、图1和图2．……………………………………………5分22．解：（1）12．…………………………………………………………………………2分（2）12．………………………………………………………………………3分（3）5或15. ……………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分）23．解：（1）根据题意，得220,Δ(2)4(2)(1)0.m m +≠⎧⎨=--+⨯-≥⎩ 解得2,3.m m ≠-⎧⎨≥-⎩ ∴m 的取值范围是m ≥－3且m ≠－2．……………………………………2分（2）关于x 的二次函数21(2)21y m x x =+--和22(2)1y m x mx m =++++的图象都经过x 轴上的点（n ，0）， ∴22(2)21(2)1m n n m n mn m +--=++++．解得n =－1． …………………………………………………………………3分当n =－1时，2210m ++-=，解得m =－3． ……………………………………………………………4分（3）2322y x x =+-． ……………………………………………………………5分当x 的取值范围是>0x 或5<2x -时，二次函数3y 的值大于二次函数2y 的值．…………………………………………………7分24．解：（1）垂直，相等 ………………………………………………………………2分（2）猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．证明：如图2，过D 作DG BC ⊥于G ． ∵o 90ABC ∠=，∴DG ∥AB .∵AD ∥BC ，∴四边形ABGD 为矩形.∴AB =DG =2,AD =BG =1. ∵tan ∠DCB =DG CG =2, ∴2122DG CG ===. ∴ CB = AB =2. ∵o90ABC EBF ∠=∠=，∴ABC ABE EBF ABE ∠+∠=∠+∠.∴CBE ABF ∠=∠.在△ABF 和△CBE 中， G图254312OFE DC B A,,,AB CB ABF CBE BF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CBE .∴21AF CE =∠=∠，.∵o 1390∠+∠=，34∠=∠，∴o 2490∠+∠=.∴o590∠=.AF CE.∴⊥ …………………………………………………………4分（3）①猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．②如图3，AD ∥BC ， ∴△AOD ∽△COB ． ∴C AD OD B OB =． AD ＝1，BC ＝2，∴12ODOB =． 在Rt △DAB 中，22145BD AB AD =++．∴253OB = ∵5OF =,∴5BF BE == ∠1＋∠FBM =90°，∠2＋∠FBM =90°,21∠=∠∴．又o345OAB ,∠=∠=∴△BME ∽△BOA .∴.BM BE BO BA = 图3231OF E D CB A M52.225= ∴5.6BM = …………………………………………………………7分25. 解：（1）∵抛物线21(2)473my xm x m -=-+-+-关于y 轴对称,∴m －2=0．∴m =2．∴抛物线的解析式是2113y x =-+.…………………………………………2分令y ＝0，得3x =±∴(3,0)A -，(3,0)B ．在Rt △BOC 中，OC ＝1, OB 3可得∠OBC ＝30º.在Rt △BOD 中，OD ＝3, OB 3可得∠OBD ＝60º.∴BC 是∠OBD 的角平分线.∴直线BD 与x 轴关于直线BC 对称. 因为点P 关于直线BC 的对称点在x 轴上，则符合条件的点P 就是直线BD 与抛物线2113y x =-+ 的交点. 设直线BD 的解析式为y kx b =+.∴30,3.k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ∴3,3.k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴直线BD 的解析式为33y x =-+. ∵点P 在直线BD 上，设P 点坐标为(,33)x x -+. 又因为点P (,33)x x -+在抛物线2113y x =-+上，∴213313x x -+=-+. 解得123,23x x == . ∴120,3y y ==- . ∴点P 的坐标是(23,3)-.………………………………………………………3分 （2）过点P 作PG ⊥ x 轴于G ，在PG 上截取2PH =，连结AH 与y 轴交于点E ，在y 轴的负半轴上截取2EF =.∵ PH ∥EF ，PH EF =，∴ 四边形PHEF 为平行四边形，有HE PF =.。
2013年门头沟区初三年级数学中考第一次统一练习
2013年门头沟区初三年级第一次统一练习数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．-3的倒数是C．3-A．3 B．13D．1-32．2012年北京市的经济又迈上新的台阶，全市地区生产总值达到了1 780 000 000 000元，将1 780 000 000 000用科学记数法表示应为A ．130.17810⨯B ．121.7810⨯C ．1117.810⨯D ．101.7810⨯ 3．若一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形的边数是A ．5B ．6C ．7D ．84．如图，OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ，D 是⊙O若∠ADC =26º，则∠AOB 的度数为 A ．13º B．26º C．52º D ．78º5．右图是某个几何体的表面展开图，则该几何体的左视图为6．有6张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有数字1、2、3、4、5、6，背面完全相同．现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面印有的数字恰好是奇数的概率为 A ．16B ．14C ． 13D ． 127．小明同学在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用水量，A ．B ．C ．D ．如下表所示：则这20户家庭该月用水量的众数和中位数分别是 A ．5，7 B ．7，7 C ．7，8 D ．3，78．如图1，从矩形纸片AMEF 中剪去矩形BCDM 后，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DE 、EF 运动到点F 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则图形ABCDEF 的面积是A ．28B ．C ．36D ．48二、填空题（本题共16分，每小题4分）9． 若分式21x x -+的值为0，则x 的值为 ．10．分解因式：21025ax ax a -+图2图1E D MBAFC11．如图，某班课外活动小组的同学用标杆测量学校旗杆 的高度，已知标杆高度CD =3m ，标杆与旗杆的水平 距离BD =15m ，人的眼睛与地面的高度EF =1.6m ，人 与标杆CD 的水平距离DF =2m ，且E 、C 、A 三点在 同一条直线上，则旗杆AB12．如图，在平面直角坐标系xOy 将线段0OM 绕原点O 长到1M ，使得001OM MM ⊥1OM 绕原点O 沿逆时针方向旋转45︒使得112OM M M ⊥，得到线段2OM 段3OM ，4OM ,，则点1M 的坐标是 ， 点M 5的坐标是 ；若把点)(n n n y x M ，（n 是自然数）的横坐标n x ，纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标(),nnx y 称之为点n M 的绝对坐标， 则点83n M +的绝对坐标是 （用含n 的代数式表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：113tan 30(1)6-⎛⎫-︒π- ⎪⎝⎭．14．解不等式组：234,314 5.x x x x +<+⎧⎨+-⎩≥15．已知1582=+x x ，求2)12()1(4)2)(2(++---+x x x x x 的值.ADE16．已知：如图，点A 、E 、B 在同一条直线上，AC ∥DB ，AB =BD ，AC =BE ．求证：BC =DE ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 的图象与反比例函数myx的图象交于B （3-，n ）两点．（1（2）若P 是y 轴上一点，且满足△直接写出OP 的长．18．列方程或方程组解应用题：某地要对一条长2500米的公路进行道路改造，在改造了1000米后，为了减少施工对交通造成的影响，采用了新的施工工艺，使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务，求原来每天改造道路多少米．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠ADC =120º，DCEABAB =AD ，E 是BC 的中点，DE =15，DC =24，求四边形ABCD 的周长．20．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙OM 为AB 上一点，过点M 作DM ⊥AB ，交弦于点E ，交⊙O 于点F ，且DC ＝DE ．（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）如果DM ＝15，CE ＝10，5cos 13AEM ∠=求⊙O 半径的长．21．某市政园林绿化局要对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗进行树苗成活率试验，从中选取成活率高的品种进行推广．通过试验得知丙种树苗的成活率为89.6%，以下是根据试验数据制成的统计图表的一部分．试验用树苗中各品种树苗所占百分比统计图 各品种树苗成活数统计图表1 试验用树苗中各品种树苗种植数统计表请你根据以上信息解答下列问题：（1）这次试验所用四个品种的树苗共株；（2）将表1、图1和图2补充完整；（3）求这次试验的树苗成活率．22．操作与探究：在平面直角坐标系xOy中，点P能每次向上平移2（1）实验操作：在平面直角坐标系xOy中，点平移1点P从原点O出发，平移2坐标是(0,4)，(1,2)，(2,0)；点P发，平移3次后可能到达的点的坐标是；（2）观察发现：任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数2y的图象上；=x-2+平移2次后在函数42+-=x y 的图象上，…．若点P 平移5次后可能到达的点恰好在直线3y x =上，则点P 的坐标是 ； （3）探究运用：点P 从原点O 出发经过n 次平移后，到达直线x y =上的点Q ，且平移的路径长不小于30，不超过32，求点Q 的坐标．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x 的一元二次方程21(2)2602x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根； （2） 当<3m 时，关于x 的二次函数21(2)262y x m x m =+-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且2AB =3OC ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，将二次函数图象在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，你结合图象回答：当直线y 共点时，b 的取值范围．24．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，点M 在线段DF上，且∠BAE ＝∠BDF ，∠ABE ＝∠DBM ．（1） 如图1，当∠ABC ＝45°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；（2） 如图2，当∠ABC ＝60°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；（3）① 如图3，当ABC α∠=（0<<90α︒︒）时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；② 在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连结CP ，若AB ＝7，AE＝求sin ∠ACP 的值．AB CDEF M MFED CB A ABCDEF M图1 图2 图325．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=-++与x轴交于y x bx cA、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，且点B的坐标为（3，0），点E的坐标为（2，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点G为抛物线对称轴上的一个动点，H为x轴上一点，当以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G、H的坐标；（3）设直线AE与抛物线对称轴的交点为P，M为直线AE 上的任意一点，过点以P、D、M、N若能，请求点M2013年北京市门头沟区初三年级第一次统一练习数学试卷评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：()113tan 3016-⎛⎫-︒π- ⎪⎝⎭． 解： ()1013tan 3016-⎛⎫-︒π- ⎪⎝⎭=631- ……………………………………………………………………4分=7+ ． ……………………………………………………………………………5分14．解不等式组：234,314 5.x x x x +<+⎧⎨+-⎩≥ 解：解不等式①，得x ＜1． (2)分解不等式②，得x ≤6． (4)分∴原不等式组的解集为x ＜1． ………………………………………………………5分 15．解：2(2)(2)4(1)(21)x x x x x ++--++ 222444441x x x x x =--++++ ………………………………………………… 3分283x x =+-．……………………………………………………………………4分当2815x x +=时，原式15312=-=． …………………………………………… 5分16．证明：∵AC ∥DB ，∴∠B AC=∠DBA ．…………………………………………………………………1分在△BAC 与△DBE 中，① A BDE,,,AB BD BAC DBA AC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△B A C ≌△DBE ． …………………………………………………………4分∴BC =DE ． …………………………………………………………………5分17．解：（1）∵反比例函数m y x=∴m =6．∴反比例函数的解析式是6y x= 点A （－3，n ）在反比例函数 ∴n =－2．∴B （－3，－2）．……………………………2分 ∵一次函数y =kx +b 的图象经过A （2，3）、B （－3，－2）两点， ∴ 23,3 2.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得 1,1.k b =⎧⎨=⎩∴ 一次函数的解析式是y =x +1．…………………………………………………3分（2）OP 的长为 3或1． (5)分18．解： 设原来每天改造道路x米.………………………………………………………………1分 依题意，得2500100015005.1.5x x x--= ……………………………………………………3分解得x =100. …………………………………………………………………………4分经检验，x =100是原方程的解，且符合题意.答：原来每天改造道路100米. …………………………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 解：如图，过点A 作AF ⊥BD 于F ．∵∠BAD =120°，AB =AD ，∴∠ABD =∠ADB =30°． ∵∠ADC =120°， ∴∠BDC =∠ADC －∠ADB =12030︒-︒=90°．在Rt △BDC 中，∠BDC =90°，DE =15，E 是BC 的中点，DC =24，∴BC=2DE =30．…………………………………2分FBAECD∴18BD =．………3分∵AD =AB ，AF ⊥BD ，∴1118922DF BD ==⨯=．在Rt △AFD 中，∵∠AFD =90°，∠ADB =30°，∴9cos cos 30DF DF AD AB ADB =====∠︒…………4分∴四边形ABCD 的周长=AB +AD +DC +BC 243054=+=+ (5)分20. （1）证明：如图1，连结OC ．∵OA ＝OC ，DC ＝DE ，∴∠A ＝∠OCA ，∠DCE ＝∠DEC ． 又∵DM ⊥AB ，∴∠A ＋∠AEM ＝∠OCA ＋∠DEC ＝∴∠OCA ＋∠DCE ＝∠OCD ＝90∴DC 是⊙O （2）解：如图2，过点D 作DG ⊥AC 于点G ∵DC ＝DE ，CE ＝10，∴EG ＝12CE ＝5．∵cos ∠DEG ＝cos ∠AEM ＝EG DE＝513，∴DE ＝13．∴DG ＝12．图1A∵DM ＝15，∴EM ＝DM -DE ＝2．…………3分∵∠AME ＝∠DGE ＝90°，∠AEM∴△AEM ∽△DEG ． ∴AMEM AE=DGEG DE =．∴212513AM AE ==．∴245AM =，265AE =． ∴AC AE EC =+=∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． ∴cos A ＝AM AC AEAB=．∴24715AB =．…………4分∴⊙O 的半径长为1247230AB =． ………………………………………………5分21．解：（1）500． …………………………………………………………………………1分（2）补全表1、图1和图2． ………………………………………………………4分（3）89.8%．……………………………………………………………………………5分22．解：（1）（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）．……………………………………………2分（2）（2，6）．…………………………………………………………………图2…………3分（3）设点Q 的坐标为（x ，y ）．由题意，得 ⎩⎨⎧=+-=.,22x y n x y 解得 2,32.3n x n y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 点Q的坐标为)32,32(n n ．∵平移的路径长为x +y ，∴30≤34n ≤32．∴22.5≤n ≤24．∵点Q 的坐标为正整数，∴点Q 的坐标为（16，16）． ………………………5分五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分）23．解：（1）根据题意，得221Δ(2)4(26)(4)2m m m =--⨯⨯-=-．∵无论m 为任何实数时，都有(m －4)2≥0，即Δ≥0，∴方程有两个实数根．…………………………………………………………2分（2）令y =0，则21(2)2602x m x m +-+-=．解得 x 1=6－2m ，x 2=－2．∵ m ＜3，点A 在点B 的左侧， ∴ A （－2，0），B （26m -+，0）．……………………………………………3分 ∴ OA=2，OB =26m -+． 令x =0，得y =2m －6． ∴C （0，2m －6）．∴OC =－(2m －6)=－2m +6． ∵ 2AB =3 OC ， ∴ 2(226)3(26)m m -+=-+． 解1m …………4分（3）当1m =时，抛物线的解析式为12y =点C 的坐标为（0，－4）．当直线13y x b =+经过C 点时，可得当直线13y x b =+（b ＜－4）与函数（x ＞0得211432x b x x +=--．整理得2386240.x x b ---=由()()2Δ8436240b =--⨯⨯--=，解得449b =-． 结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为b >－4或44<9b -．………………7分24．解：（1）DM AE =．………………………………………………………………………2分 （2）12DM AE =． …………………………………………………………………3分 （3）①cos DM AE =α． ………………………………………………………………4分② 如图，连结AD 、EP ． ∵AB =AC ，∠ABC =60°， ∴△ABC 为等边三角形．又∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠DAC =30°，BD =DC =12BC =72．∵∠BAE =∠BDM ，∠ABE =∠DBM ，∴△ABE ∽△DBM ．∴12BMDB BEAB ==．∴EB =2BM ． 又∵PB =2BM ，∴EB =PB ．∵60EBP ABE ABP PBC ABP ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒, ∴△BEP 为等边三角形．∴EM ⊥BP ．∴∠BMD =90°．∵D 为BC 的中点，M 为BP 的中点，∴DM ∥PC ．∴∠BPC =∠BMD = 90°．∵AB CB =，BE BP =，∠ABE ＝∠DBM ， ∴△ABE ≌△CBP ．∴BCP BAE ∠=∠，∠BPC =∠BEA = 90°． 在Rt △AEB 中，∵∠BEA =90°，AE=AB =7，∴cos EAB ∠∴cos cos PCB BAE ∠=∠…5分在Rt △ABD中，sin AD AB ABD =⋅∠=在Rt △NDC 中，cos DC CN NCD ==∠∴ND =∴NA AD ND =-=过点N 作NH ⊥AC 于H ． ∴12NH AN =．…………………………………………………………6分∴sin NH ACP CN ∠=．…………………………………………………图2…7分25. 解：（1）由二次函数2y x bx c =-++的图象经过B （3，0）、E (2,3)两点，得 930,42 3.b c b c -++=⎧⎨-++=⎩ 解这个方程组，得2,3.b c =⎧⎨=⎩ (1)分∴抛物线的解析式为223y x x =-++． …………………………………………2分 （2）令y =0，得2230x x -++=．解这个方程，得x 1=－1，x 2=3．∴A （－1，0）． 令x =0，得3y =．∴C （0，3）．如图，在y 轴的负半轴上取一点I ，使得点F 与点I 关于x 轴对称，在x 轴上取一点H ，连结HF 、HI 、HG 、GC 、GE ，则HF ＝HI ．∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴点C 与点E 关于直线1x =对称，CG =EG ． 设直线AE 的解析式为y ＝kx ＋b ．∴0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得 1,1.k b =⎧⎨=⎩ ∴直线AE 的解析式为y ＝x ＋令x ＝0，得y ＝1．∴点F ∴CF =2．∵点F 与点I 关于x 轴对称，∴I （0，－1）．∴EI ===∵要使四边形CFHG 的周长最小，由于CF 是一个定值，∴只要使CG ＋GH ＋HF 最小即可． ∵CG ＋GH ＋HF ＝EG ＋GH ＋HI ，∴只有当EI 为一条直线时，EG ＋GH ＋HI 最小． 设直线EI 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1．∴11123,1.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得112,1.k b =⎧⎨=-⎩∴直线EI 的解析式为y ＝2x －1．∵当x ＝1时，y ＝1，∴点G 的坐标为（1，1）．…………………………………3分∵当y ＝0时，12x =，∴点H 的坐标为（12，0）． ……………………………4分∴四边形CFHG 周长的最小值=CF ＋CG ＋GH ＋HF ＝CF ＋EI=2+ 5 分(3) 以P 、D 、M 、N由抛物线223y x x =-++的顶点D 直线AE 与对称轴的交点P PD =2． ∵点M 在直线AE 上， 设M （x ，x ＋1），①当点M 在线段AE 上时，点N则N(x，x＋3) ．∵N在抛物线上，∴x＋3＝－x2＋2x＋3．解得，x＝0或x＝1（舍去）∴M（0，1）．………………………………………………………………………6 分②当点M在线段AE（或EA）的延长线上时，点N在点M下方，则N（x，x－1）．∵N在抛物线上, ∴x－1＝－x2＋2x＋3．解得x或x．∴M(，)或(，．……………………………………8 分∴点M的坐标为(0，1)或)或，)．。
北京市门头沟区中考数学一模试卷及答案(word解析版)
北京市门头沟区2013年中考数学一模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）（2013•门头沟区一模）﹣3的倒数是（）A．B．﹣3 C．3D．考点：倒数．分析：根据乘积是1的两个数互为倒数解答．解答：解：∵﹣3×（﹣）=1，∴﹣3的倒数是﹣．故选A．点评：本题考查了互为倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．（4分）（2013•门头沟区一模）2012年北京市的经济又迈上新的台阶，全市地区生产总值达到了1 780 000 000 000元，将1 780 000 000 000用科学记数法表示应为（）A．0.178×1013B．1.78×1012C．17.8×1011D．1.78×1010考点：科学记数法—表示较大的数．分析：根据科学记数法的定义和乘方得意义求解．解答：解：1 780 000 000 000=1.78×1012．故选B．点评：本题考查了科学记数法﹣表示较大的数：用a×10n（1≤a＜10，n为正整数）形式表示数的方法叫科学记数法．3．（4分）（2010•西藏）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8考点：多边形内角与外角．专题：压轴题．分析：利用多边形的内角和公式即可求解．解答：解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，所以（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，所以这个多边形的边数是6．故选B．点评：本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．4．（4分）（2013•门头沟区一模）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADC=26°，则∠AOB的度数为（）A．13°B．26°C．52°D．78°考点：圆周角定理；垂径定理．分析：由OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA ，根据垂径定理的即可求得=，然后由圆周角定理，求得∠AOB的度数．解答：解：∵OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，∴=，∵∠ADC=26°，∴∠AOB=2∠ADC=52°．故选C．点评：此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（4分）（2013•门头沟区一模）如图是某个几何体的表面展开图，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．考点：展开图折叠成几何体；简单几何体的三视图．分析：由圆锥的展开图特点以及三视图的定义判断得出即可．解答：解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥，再利用圆锥的左视图是三角形．故选：A．点评：此题主要考查了展开图折叠成几何体以及三视图问题，熟悉圆锥的展开图特点是解答此题的关键．6．（4分）（2013•门头沟区一模）有6张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有数字1，2，3，4，5，6，背面完全相同．现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面印有的数字是偶数的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式．分析：让偶数的个数除以卡片的总张数即可求得相应概率．解答：解：6个数字中，偶数有2，4，6三个，所以抽到偶数的概率是．故选C．点评：此题主要考查概率的意义及求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．（4分）（2013•门头沟区一模）小明同学在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用水量，如下表所示：月用水量（吨） 3 4 5 7 8 9 10户数 4 2 3 6 3 1 1则这20户家庭该月用水量的众数和中位数分别是（）A．5，7 B．7，7 C．7，8 D．3，7考点：众数；中位数．分析：根据中位数和众数的定义进行解答，将这组数据从小到大重新排列，求出最中间两个数的平均数是中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．解答：解：∵用水量为7吨的户数有6户，户数最多，∴该月用水量的众数是7；∵共有20个数，∴这20户家庭该月用水量的中位数是第10个和11个数的平均数，∴该月用水量的中位数是（7+7）÷2=7；故选B．点评：此题考查了中位数与众数，掌握中位数与众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．8．（4分）（2013•门头沟区一模）如图1，从矩形纸片AMEF中剪去矩形BCDM后，动点P 从点B出发，沿BC、CD、DE、EF运动到点F停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则图形ABCDEF的面积是（）A．32 B．34 C．36 D．48考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；动点型．分析：正确读图象是解决本题的关键．解答：解：根据函数图象可以知道，从0到4，y随x的增大而增大，因而BC=4，P在CD 段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD=3；同理：ED=2，EF=17﹣9=8；则AF=BC+DE=4+2=6，则图形ABCDEF的面积是：矩形AMEF的面积﹣矩形BMDC的面积=8×6﹣4×3=36．图形ABCDEF的面积是36．故选C．点评：根据函数图象的增减性，把图象的特殊点，与实际图形中的点对应起来．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2013•门头沟区一模）若分式的值为零，则x的值为2．考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．解答：解：分式值为0，则2x﹣4=0，解得x=2，当x=2时，x+1=3≠0．故当x=2时，分式的值是0．点评：分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．10．（4分）（2013•门头沟区一模）因式分解：ax2﹣10ax+25a=a（x﹣5）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．分析：先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a ﹣b）2．解答：解：ax2﹣10ax+25a=a（x2﹣10x+25）﹣﹣（提取公因式）=a（x﹣5）2．﹣﹣（完全平方公式）故答案为：a（x﹣5）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．11．（4分）（2013•门头沟区一模）为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15 m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，E、C、A三点共线，则旗杆AB的高度为13.5米．考点：相似三角形的应用．专题：应用题．分析：利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB=EF=1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出=，把相关条件代入即可求得AH=11.9，所以AB=AH+HB=AH+EF=13.5m．解答：解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB，∴△CGE∽△AHE，∴=，即：=，∴=，∴AH=11.9，∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5（m）．故答案为：13.5．点评：本题考查了相似三角形的应用，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．12．（4分）（2013•门头沟区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，则点M1的坐标是（1，1），点M5的坐标是（﹣4，﹣4）；若把点M n（x n，y n）（n是自然数）的横坐标x n，纵坐标y n都取绝对值后得到的新坐标（|x n|，|y n|）称之为点M n的绝对坐标，则点M8n+3的绝对坐标是（24n+1，24n+1）（用含n的代数式表示）．考点：坐标与图形变化-旋转．专题：新定义；规律型．分析：由于线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，得M1M0⊥OM0，所以△OM0M1是等腰直角三角形，而点M0的坐标为（1，0），得到点M1的坐标为（1，1），根据等腰直角三角形的性质得OM1=OM0=，同理得到OM2=×=2，OM3=（）3=2，OM4=（）4=4，则可确定点M5的坐标，按此规律得到OM8n+2=（）8n+2=24n+1，由于从M0开始，每8个点循环的落在坐标轴和四个象限内，则可得到点M8n+2与点M2的位置一样，都在y轴的正半轴上，于是得到点M8n+3的绝对坐标是（24n+1，24n+1）．解答：解：∵点M0的坐标为（1，0），线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，得M1M0⊥OM0，∴△OM0M1是等腰直角三角形，∴OM1=OM0=，点M1的坐标为（1，1），同理可得OM2=×=2，OM3=（）3=2，OM4=（）4=4，∴点M5的坐标是（﹣4，﹣4）；∴OM8n+2=（）8n+2=24n+1，∵点M8n+2在y轴的正半轴上，∴点M8n+3的绝对坐标是（24n+1，24n+1）．故答案为（1，1）；（﹣4，﹣4）；（24n+1，24n+1）．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：在直角坐标系中利用旋转的性质求出相应的线段长，再根据各象限点的坐标特征确定点的坐标．也考查了规律型问题的解决方法和等腰直角三角形的判定与性质．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2013•门头沟区一模）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、零指数幂四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：=6﹣3×+3+1=7+2．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、零指数幂等考点的运算．14．（5分）（2013•门头沟区一模）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．解答：解：，解不等式①，得x＜1，解不等式②，得x≤6，所以，不等式组的解集为x＜1．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．15．（5分）（2013•门头沟区一模）已知x2+8x=15，求（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1）+（2x+1）2的值．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：首先将所求代数式化简，然后将x2+8x的值整体代入求解．解答：解：（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1）+（2x+1）2=x2﹣4﹣4x2+4x+4x2+4x+1（3分）=x2+8x﹣3；（4分）当x2+8x=15时，原式=15﹣3=12．（5分）点评：注意解题中的整体代入思想．16．（5分）（2013•门头沟区一模）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求证：BC=DE．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据AC∥DE，证得∠ACD=∠D，∠BCA=∠E，通过等量代换可知∠B=∠D，再根据AC=CE，可证△ABC≌△CDE，所以BC=DE．解答：证明：∵AC∥DE，∴∠ACD=∠D，∠BCA=∠E．又∵∠ACD=∠B，∴∠B=∠D．在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（AAS）．∴BC=DE．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．17．（5分）（2013•门头沟区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；设直线AB解析式为y=kx+b，将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B 坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）如图所示，对于一次函数解析式，令x=0求出y的值，确定出C坐标，得到OC 的长，三角形ABP面积由三角形ACP面积与三角形BCP面积之和求出，由已知的面积求出PC的长，即可求出OP的长．解答：解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（2，3），∴m=6．∴反比例函数的解析式是y=，Q点A（﹣3，n）在反比例函数y=的图象上，∴n=﹣2，∴B（﹣3，﹣2），∵一次函数y=kx+b的图象经过A（2，3）、B（﹣3，﹣2）两点，∴，解得：，∴一次函数的解析式是y=x+1；（2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1，根据题意得：S△ABP=PC×2+PC×3=5，解得：PC=2，则OP=OC+CP=1+2=3或OP=CP﹣OC=2﹣1=1．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．18．（5分）（2013•门头沟区一模）列方程或方程组解应用题：某地要对一条长2500米的公路进行道路改造，在改造了1000米后，为了减少施工对交通造成的影响，采用了新的施工工艺，使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务，求原来每天改造道路多少米．考点：分式方程的应用．分析：设原来每天改造道路x米，则采用了新的施工工艺每天改造道路1.5x米，根据时间之间的数量关系建立方程求出其解即可．解答：解：设原来每天改造道路x米，则采用了新的施工工艺每天改造道路1.5x米，由题意得，解得：x=100．经检验，x=100是原方程的解，且符合题意．答：原来每天改造道路100米．点评：本题是一道工程问题的运用题，考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据时间之间的数量关系建立方程是解答本题的关键．19．（5分）（2013•门头沟区一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ADC=120°，AB=AD，E是BC的中点，DE=15，DC=24，求四边形ABCD的周长．考点：解直角三角形；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：过A作AF⊥BD与F，根据已知∠A=∠ADC=120°，AB=AD，可知∠ADC=30°，即可证明∠BDC=90°，然后根据直角三角形斜边中线是斜边的一般可求BC的长，继而求出BD的长，在Rt△AED中，根据特殊角的三角函数值可求得AD的长，即可求得ABCD的周长．解答：解：如图，过A作AF⊥BD与F，∵∠BAD=120°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°，∵∠ADC=120°，∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=120°﹣30°=90°，在Rt△BDC中，∠BDC=90°，E是BC的中点，DE=15，∴BC=2DE=30，则BD===18，∵AD=AB，AF⊥BD，∴DF=BD=×18=9，在Rt△AFD中，∵∠AFD=90°，∠ADB=30°，∴AD=AB===6，则四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+30+24+6=54+12．．点评：本题考查了解直角三角形的知识以及勾股定理的应用，难度一般，解答本题的关键是在各直角三角形中利用解直角三角形的知识求出四边形的边长．20．（5分）（2013•门头沟区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，M为AB上一点，过点M作DM⊥AB，交弦AC于点E，交⊙O于点F，且DC=DE．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）如果DM=15，CE=10，，求⊙O半径的长．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）连接OC，由OA=OC，DC=DE，利用等边对等角得到两对角相等，根据DM垂直于AC，得到一对角互余，等量代换得到∠OCD=90°，即可得到DC为圆O的切线；（2）过D作DG垂直于AC，连接OB，利用三线合一得到G为CE中点，由CE长求出EG长，利用对顶角相等得到∠DEG=∠AEM，确定出cos∠DEG=cos∠AEM，在直角三角形DEG中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，再利用勾股定理求出DG的长，由DM﹣DE求出EM的长，由一对直角相等，一对对顶角相等得到三角形AEM与三角形DEG相似，由相似得比例求出AM与AE的长，AE+EC求出AC的长，由AB为圆的直径，得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义表示出cosA，即可求出AB的长，进而确定出圆的半径．解答：（1）证明：如图，连结OC，∵OA=OC，DC=DE，∴∠A=∠OCA，∠DCE=∠DEC，又∵DM⊥AB，∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°，∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切线；（2）如图所示，过D作DG⊥AC，连接OB，∵DC=DE，CE=10，∴EG=CE=5，∵cos∠DEG=cos∠AEM==，∴DE=13，∴DG==12，∵DM=5，∴EM=DM﹣DE=2，∵∠AME=∠DGE=90°，∠AEM=∠DEG，∴△AEM∽△DEG，∴==，即==，∴AM=，AE=，∴AC=AE+EC=，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴cosA==，∴AB=，则圆O的半径为AB=．点评：此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．21．（5分）（2013•门头沟区一模）某市政园林绿化局要对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗进行树苗成活率试验，从中选取成活率高的品种进行推广．通过试验得知丙种树苗的成活率为89.6%，以下是根据试验数据制成的统计图表的一部分．表1 试验用树苗中各品种树苗种植数统计表甲种乙种丙种丁种种植数（株）150 125 125请你根据以上信息解答下列问题：（1）这次试验所用四个品种的树苗共500株；（2）将表1、图1和图2补充完整；（3）求这次试验的树苗成活率．考点：条形统计图；统计表；扇形统计图．专题：图表型．分析：（1）用丙种树苗的株数除以所占的百分比，计算即可得解；（2）先求出乙种树苗的株数，再求出甲种树苗和乙种树苗所占的百分比，根据成活率求出丙种树苗成活的株数，然后补全表格和统计图即可；（3）用成活的总株数除以所用四个品种的树苗共株数，计算即可得解．解答：解：（1）所用四个品种的树苗有：125÷25%=500株；（2）乙种树苗：500﹣150﹣125﹣125=100株，甲种树苗所占的百分比：×100%=30%，乙种树苗所占的百分比：×100%=20%；丙种树苗成活的株数：125×89.6%=112；表1中填入100，补图1和图2如图；（3）×100%=89.8%，故这次试验的树苗成活率89.8%．故答案为：500．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（5分）（2013•门头沟区一模）操作与探究：在平面直角坐标系xOy中，点P从原点O出发，且点P只能每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．（1）实验操作：在平面直角坐标系xOy中，点P从原点O出发，平移1次后可能到达的点的坐标是（0，2），（1，0）；点P从原点O出发，平移2次后可能到达的点的坐标是（0，4），（1，2），（2，0）；点P从原点O出发，平移3次后可能到达的点的坐标是（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）；（2）观察发现：任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数y=﹣2x+2的图象上；平移2次后在函数y=﹣2x+4的图象上，…．若点P平移5次后可能到达的点恰好在直线y=3x上，则点P的坐标是（2，6）；（3）探究运用：点P从原点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于30，不超过32，求点Q的坐标．考点：一次函数综合题．分析：（1）根据平移的规律是：在平面直角坐标系xOy中，点P从原点O出发，且点P只能每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．所以平移可以连续向上平移，也可以连续向右平移，也可以先向上平移后向右平移（或先向右平移后向上平移）；（2）根据正比函数图象上点的坐标特征来填空；（3）设点Q的坐标为（x，y），求出Q点的坐标，得出n的取值范围，再根据点Q 的坐标为正整数即可进行解答．解答：解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，点P从原点O出发，且点P只能每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度，∴当点P平移3次后的坐标是：①当点P连续向上平移3次时，点P的坐标是（0，6）；②当点P先向右平移1次，再向上平移2次时，点P的坐标是（1，4）；③当点P先向右平移2次，再向上平移1次时，点P的坐标是（2，2）；③当点P连续相右平移3次时，点P的坐标是（3，0）．（2）∵平移1次后在函数y=﹣2x+2的图象上；平移2次后在函数y=﹣2x+4的图象上，∴点P平移n次后可能到达的点恰好在直线y=﹣2x+2n上，又∵点P平移5次后可能到达的点恰好在直线y=3x上．∴﹣2x+2×5=3x，解得x=2，则y=2×3=6，∴P（2，6）；（3）设点Q的坐标为（x，y）．由题意，得，解得，∴点Q的坐标为．∵平移的路径长为（x+y），∴30≤≤32．∴22.5≤π≤24．∵点Q的坐标为正整数，∴点Q的坐标为（16，16）．故答案是：（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）；（2，6）．点评：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2013•门头沟区一模）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取任何实数，方程都有两个实数根；（2）当m＜3时，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；（3）在（2）的条件下，过点C作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线与图象G只有一个公共点时，b的取值范围．考点：二次函数综合题．分析：（1）运用根的判别式就可以求出△的值就可以得出结论；（2）先当x=0或y=0是分别表示出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，表示出AB、OC的值，由2AB=3OC建立方程即可求出m的值；（3）把（2）m的值代入抛物线的解析式就可以求出抛物线的解析式和C点的坐标，当直线经过点C时就可以求出b的值，由直线与抛物线只有一个公共点建立方程，根据△=0就可以求出b的值，再根据图象就可以得出结论．解答：解：（1）根据题意，得△=（m﹣2）2﹣4××（2m﹣6）=（m﹣4）2，∵无论m为任何数时，都有（m﹣4）2≥0，即△≥0．∴无论m取任何实数，方程都有两个实数根；（2）由题意，得当y=0时，则，解得：x1=6﹣2m，x2=﹣2，∵m＜3，点A在点B的左侧，∴A（﹣2，0），B（﹣2m+6，0），∴OA=2，OB=﹣2m+6．当x=0时，y=2m﹣6，∴C（0，2m﹣6），∴OC=﹣（2m﹣6）=﹣2m+6．∵2AB=3OC，∴2（2﹣2m+6）=3（﹣2m+6），解得：m=1；（3）如图，当m=1时，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4，点C的坐标为（0，﹣4）．当直线y=x+b经过点C时，可得b=﹣4，当直线y=x+b（b＜﹣4）与函数y=x2﹣x﹣4（x＞0）的图象只有一个公共点时，得x+b═x2﹣x﹣4．整理得：3x2﹣8x﹣6b﹣24=0，∴△=（﹣8）2﹣4×3×（﹣6b﹣24）=0，解得：b=﹣．结合图象可知，符合题意的b的取值范围为b＞﹣4或b＜﹣．点评：本题是一道一次函数与二次函数的综合试题，考查了一元二次方程根的判别式的运用，二次函数与坐标轴的交点坐标的运用，轴对称的性质的运用，解答时根据函数之间的关系建立方程灵活运用根的判别式是解答本题的关键．24．（7分）（2013•门头沟区一模）已知：在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM．（1）如图1，当∠ABC=45°时，线段DM与AE之间的数量关系是AE=MD；（2）如图2，当∠ABC=60°时，线段DM与AE之间的数量关系是AE=2MD；（3）①如图3，当∠ABC=α（0°＜α＜90°）时，线段DM与AE之间的数量关系是DM=cosα•AE；②在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连结CP，若AB=7，AE=，求sin∠ACP 的值．考点：相似形综合题．分析：（1）首先连接AD，由AB=AC，∠ABC=45°，易得AB=BD，又由∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，可证得△ABE∽△DBM，根据相似三角形的对应边成比例，即可得AE=DM；（2）由∠ABC=60°及△DBM∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得MD=AE，继而可得AE=2MD；（3）①由△DBM∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得DM=cosαAE；②首先连接AD，EP，设AD交CP于N，根据题意易证得△ABC是等边三角形，△ABE∽△DBM，继而可证得△BEP为等边三角形，然后在Rt△AEB中，利用余弦函数的定义求出cos∠EAB=，得出cos∠PCB=，再解Rt△ABD，求出AD=，解Rt△NDC，得到CN=，ND=，则NA=，然后过N作NH⊥AC，垂足为H．解Rt△ANH，求出NH=AN=，然后利用三角函数的定义，即可求得sin∠ACP的值．解答：解：（1）如图1，连接AD．∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．又∵∠ABC=45°，∴BD=AB•cos∠ABC，即AB=BD．∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，∴△ABE∽△DBM．∴=，∴AE=MD；（2）由（1）知△DBM∽△ABE，∴==cos∠ABC=cos60°=，∴MD=AE，∴AE=2MD；（3）①由（1）知△DBM∽△ABE，∴==cos∠ABC=cosα，∴DM=cosα•AE；②如图2，连接AD，EP，设AD交CP于N．∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．又∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=AB．∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，∴△ABE∽△DBM，∴==2，∠AEB=∠DMB，∴BE=2BM．又∵BM=MP，∴EB=BP．∵∠EBM=∠ABC=60°，∴△BEP为等边三角形，∴EM⊥BP，∴∠BMD=90°，∴∠AEB=90°．在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=2，AB=7，∴cos∠EAB=，cos∠PCB=cos∠EAB=．在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=，在Rt△NDC中，CN==，ND==，∴NA=AD﹣ND=．过N作NH⊥AC，垂足为H．在Rt△ANH中，NH=AN=，∴sin∠ACP==．故答案为AE=MD；AE=2MD；DM=cosα•AE．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．25．（8分）（2013•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，且点B的坐标为（3，0），点E的坐标为（2，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点G为抛物线对称轴上的一个动点，H为x轴上一点，当以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G、H的坐标；（3）设直线AE与抛物线对称轴的交点为P，M为直线AE上的任意一点，过点M作MN∥PD 交抛物线于点N，以P、D、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求点M的坐标；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将点B和点E的坐标代入y=﹣x2+bx+c，建立二元一次方程组，求出b、c的值即可；（2）先根据（1）的结论求出A、C的坐标及对称轴，画出函数图象，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F点I关于x轴对称，在x轴上取点H，连接HF、HI、HG、GC、GE、则GF=HI．由待定系数法求出AE的解析式，求出F的坐标，就可以求出CF的值，由勾股定理可以求出EI的值，根据两点之间线段最短，求出求出EI的解析式就可以求出G、H的坐标，由勾股定理就可以求出最小值；（3）根据平行四边形的性质和AE的解析式就可以求出D的坐标，由抛物线的解析式可以求出D的坐标，求出PD的值，可以设出M的坐标（x，x+1）分情况讨论当M在线段AE上和在线段AE或EA的延长线上时，分别表示出N点的坐标从而求出结论．解答：解：（1）∵y=﹣x2+bx+c经过（3，0）和（2，3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为x=1．当y=0时，﹣x2+2x+3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0）．当x=0时，y=3，∴C（0，3）∴CE=2．OC=3如图，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F点I关于x轴对称，在x轴上取点H，连接HF、HI、HG、GC、GE、则GF=HI．∵抛物线的对称轴为x=1，∴点C点E关于对称轴x=1对称，∴CG=EG．设直线AE的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线AE的解析式为y=x+1．当x=0时，y=1，∴F（0，1），∴OF=1，CF=2．∵点F与点I关于x轴对称，∴I（0，﹣1），∴OI=1，CI=4．在Rt△CIE中，由勾股定理，得EI==2．∵要使四边形CFHG的周长最小，而CF是定值，∴只要使CG+GH+HF最小即可．∵CG+GH+HF=EG+GH+HI，∴只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小．设EI的解析式为y=k1x+b1，由题意，得，解得：，∴直线EI的解析式为：y=2x﹣1，∵当x=1时，y=1，∴G（1，1）．∵当y=0时，x，∴H（，0），∴四边形CFHG的周长最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2；（3）∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）∴直线AE的解析式为y=x+1．∴x=1时，y=2，∴P（1，2），∴PD=2．∵四边形DPMN是平行四边形，∴PD=MN=2．∵点M在AE上，设M（x，x+1），①当点M在线段AE上时，点N点M的上方，则N（x，x+3），∵N点在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得：x=0或x=1（舍去）∴M（0，1）．②当点M在线段AE或EA的延长线上时，点N在M的下方，则N（x，x﹣1）．。
北京市门头沟区2014-2015学年年级(上)期末考试数学试题(含答案)
门头沟区2014—2015学年度第一学期期末调研试卷八年级数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的，请将答案填写在下面表格内．1．25的算术平方根是（）.A ．5B ．5±C ．5±D ．5 2．下列实数中，是无理数的是（）. A ．3πB ．3.0-C ．227D 3．下列计算中正确的是（ ）.A =B . =C . =D . 24=-4．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）.5．方程2460x x --= 的根的情况是( ) .A ．有两个相等实数根B ．有两个不相等实数根C ．没有实数根D ．无法判断 6．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）.A ．2，2，3B ．2，3，4C ．3，4，5D ．5，8，13 7．下列根式中，最简二次根式是（ ）. A ．21 BC ．8 D8．下列各式中，正确的是（ ）.A ．326x x x = B ．nm n x m x =++ C ． a b a b c c -++=- D ．221132236d cd cd cd ++= 9．如图，在△ABC 中，AB =AC =4，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 分别交AB 、AC 于M 、N ，则△AMN 的周长为（ ）．A ．12B ．4C ．8D ．不确定10．已知△ABC 的三条边分别为3，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条. A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 二、填空题（本题共20分，每小题2分） 11．如果分式2132x x -+的值为0，那么x = ． 12有意义，x 的取值范围是 ．13．如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，AB=AC ，不添加新的线段和字母，要使△ABE ≌△ACD ，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）． 14．将一元二次方程x 2－6x －5＝0化成(x －3)2＝b 的形式，则b =_______． 15．一个三角形的两条边长为3，8，且第三边长为奇数，则第三边长为_______． 16．当12x <<= .17．已知x =1是关于x 的一元二次方程22+10x kx -=的一个解，则k 的值是_______． 18．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．若∠BAE =40°，则∠C =_______°． 19．12111R R R =+是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且120R R +≠．用12R R ，表示R ，则R =_______．CBAENMEDCBA20．如图，已知点P 在锐角∠AOB 内部，∠AOB =α，在OB 边上存在一点D ，在OA 边上存在一点C ，能使PD+DC 最小，此时∠PDC =_______． 三、计算（本题共10分，每小题5分）21．计算：26193a a +-+． 22．计算： (四、解方程（本题共15分，每小题5分）23．23620x x --=． 24．3(2)24x x x +=+． 25．6122x x x +=-+．五、解答题（本题共17分，其中26-27每小题5分，28题7分）26．如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A =∠F ，AB=FD ． 求证：AE=FC ．27．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD=BD ，∠C =65°，求∠BAC 的度数．28．已知：在Rt △ABC 中，∠C =90°．（1）请在线段BC 上作一点D ，使点D 到边AC 、AB 的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）的条件下，若AC =6，BC =8，请求出CD 的长度．EB C DA BCA六、解答题（本题共18分，每小题6分）29．关于x的一元二次方程2410x x m-+-=有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．30．先化简，再求值：22521132x x x xx x x x⎛⎫-+++-÷⎪-+-⎝⎭，其中2340x x--=．31．列方程解应用题为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行使速度．七、解答题（本题10分）32．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C 是线段AB 所在平面内任意一点，分别以AC 、BC 为边，在AB 同侧作等边 三角形ACE 和BCD ，联结AD 、BE 交于点P ．（1）如图1，当点C 在线段AB 上移动时，线段AD 与BE 的数量关系是： ． （2）如图2，当点C 在直线AB 外，且∠ACB ＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE 是否随着∠ACB 的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE 的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，以AB 为边在AB 另一侧作等边三角形△A BF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，求证：PB+PC+P A=BE ．PED C BA图2图3FPEDCBA图1PEDBCA门头沟区2014—2015学年度第一学期期末调研八年级数学参考答案及评分参考一、选择题（本题共30分，每小题3分）21．计算：26193a a +-+． 解：=61(3)(3)3a a a++-+………………………… ………………………………1分=63(3)(3)(3)(3)a a a a a -++-+- ………… …………………………………2分=6(3)(3)(3)a a a +-+-……………………… …………………………………………3分=3(3)(3)a a a ++-… ………………………………………………………………4分=13a -.……………………………………………………………………………5分 22．计算： ( 解：=(2分 =……………………………………………………………………3分 =43-.……………………………………………………………………………5分四、解方程（本题共15分，每小题5分）23．23620x x --= ． 解：∵a=3，b=-6，c=-2∴224(6)43(2)=b ac -=--⨯⨯-60＞0 ………………………………………2分∴x ===……………………………………4分所以方程的解是1233,33x x ==.……………………………………5分 24．3(2)24x x x +=+．解：3(2)2(2)x x x +=+…………………………………………………………………1分3(2)2(2)0x x x +-+=……………………………………………………………2分 (32)(2)0x x -+=…………………………………………………………………3分 320,20x x -=+= ………………………………………………………………4分∴122,23x x ==-.…………………………………………………………………5分 25．6122x x x +=-+． 解：(2)6(2)(2)(2)x x x x x ++-=+-………………………………………………2分2226124x x x x ++-=-88x =1x =.………………………………………………………… 4分经检验，1x =是原方程的根.所以原方程的根是1x =.……………………………………………………………5分五、解答题（本题共17分，其中26-27每小题5分，28题7分） 26.证明：∵BE ∥DF∴∠ABE =∠FDC ……………………………………………………………1分 在△ABE 和△FDC 中，EA F AB FDABE FDC ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE ≌△FDC （ASA ）……………………4分∴AE=FC （全等三角形对应边相等）．………5分 27.解：∵AD ⊥BC∴∠B +∠BAD =90°（直角三角形两锐角互余）……1分 ∵AD=BD∴∠B =∠BAD=45°（等边对等角） ………………3分 ∵∠C =65°∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-45°-65°=70°（三角形内角和等于180°）．…5分28.（1）作图正确，保留痕迹，有结论：所以点D 为所求．……………………………2分 （2）解：过点D 做DE ⊥AB 于E ，设DC =x ，则BD =8-x∵Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8 ∴由勾股定理得AB=………………………………………3分∵点D 到边AC 、AB 的距离相等∴AD 是∠BAC 的平分线 又∵∠C =90°，DE ⊥AB∴DE =DC =x ……………………………………4分 在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD ADDC DE =⎧⎨=⎩∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ）∴AE =AC =6…………………………………………5分 ∴BE =4Rt △DEB 中，∠DEB =90° ∴由勾股定理得222DE BE BD +=即2224(8)x x +=-………………………………………………………………6分 解得x =3答：CD 的长度为3．………………………………………………………………7分六、解答题（本题共18分，每小题6分）29． 解：△=224(4)41(1)=-4+20b ac m m -=--⨯⨯-∵方程有两个相等的实数根∴△=0………………………………………………………………………………2分 即4200m -+=∴m =5………………………………………………………………………………3分 当m=5时，方程为2440x x -+=………………………………………………4分2(2)0x -=………………………………………………………………………5分∴122x x == ……………………………………………………………………6分答：m 的值是5，方程的根是2．30．22521132x x x x x x x x ⎛⎫-+++-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中2340x x --=． 解：=25(1)23(1)1x x x x x x x ⎡⎤-+--⨯⎢⎥-++⎣⎦．…………………………………………………………2分=523x x x x ----． ………………………………………………………………………3分 =6(3)x x --． ………………………………………………………………………4分∵2340x x --= ∴234x x -= ∴原式=6(3)x x --=263x x --=32-．………………………………………………6分31．解：设原来火车的速度是x 千米/时，根据题意得12801280113.2x x-= ……………………………………………………………3分 解得x =80 ………………………………………………………………4分经检验，是原方程的根且符合题意． ………………………………………5分 3.2x =256答：高铁的行使速度是256千米/时．………………………………………………6分 七、解答题（本题10分）32．（1）AD =BE ．…………………………………………………………………………1分 （2）AD =BE 成立，∠APE 不随着∠ACB 的大小发生变化，始终是60°.- 11 -证明：∵△ACE 和△BCD 是等边三角形∴EC = AC ，BC =DC ∠ACE =∠BCD =60°∴∠ACE +∠ACB =∠BCD +∠ACB ，即∠ECB =∠ACD 在△ECB 和△ACD 中，EC AC ECB ACD BC DC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△ECB ≌△ACD （SAS ）∴AD =BE ……………………………………4分 ∠CEB =∠CAD 设BE 与AC 交于Q又∵∠AQP =∠EQC ，∠AQP+∠QAP +∠APQ =∠EQC+∠CEQ +∠ECQ=180° ∴∠APQ =∠ECQ =60°，即∠APE =60°． …………………………………………6分 （3）由（2）同理可得∠CPE =∠EAC =60° …………………………………………7分在PE 上截取PH=PC ，连接HC ， ∴△PCH 为等边三角形 ∴HC=PC ，∠CHP =60° ∴∠CHE =120°又∵∠APE =∠CPE =60° ∴∠CP A =120° ∴∠CP A =∠CHE 在△CP A 和△CHE 中，CPA CHE CAP CEH PC HC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△CP A ≌△CHE （AAS ）∴AP =EH …………………………………………………………………………9分 ∴PB+PC+P A= PB+PH+ EH =BE ．………………………………………………10分 说明：1.各题若只有结果无过程只给1分；结果不正确按步骤给分。
2024年北京市门头沟区九年级中考一模数学试题(原卷版)
门头沟区2024年初三年级综合练习（一）数学考生须知：1．本试卷共10页，共三道大题，28个小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）A. B. C. D.2. 近几年全国各省市都在发展旅游业，让游客充分感受地域文化，据统计，某市2023年的游客接待量为210000000人次，将210000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.4. 一个正n 边形的每一个外角都是60°，则这个正n 边形是（ ）A 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边形5. 数轴上的两点所表示的数分别为a ，b ，且满足，下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，，平分交于点，，则（）.72.110⨯82.110⨯92.110⨯102.110⨯·0,0a b a b >+<0,0a b >>0,0a b <<0,0a b ><0,0a b <>AB CD AD BAC ∠CD D 130∠=︒CAB ∠=A. B. C. D. 7. 同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上的一面点数之和为整数的平方的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在等边三角形中，有一点P ，连接、、，将绕点B 逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.的取值范围是__________．10 因式分解：______．11. 如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是_______．12. 在中，，，，点P 在线段上（不与B 、C 两点重合），如果的长度是个无理数，则的长度可以是______．（写出一个即可）.30︒45︒60︒90︒16736142936ABC PA PB PC BP 60︒BD PD AD BPC BDA ≌ BDP △150BPC ∠=︒²²²PA PB PC =+x 22mx mx m -+=ABC 90C ∠=︒3AB =2AC =BC AP AP13. 已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值_________．14. “洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为米，则该门洞的通过面积为_______平方米．15. 下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表：月用电量x（千瓦时/户/月）户数（户）61511144已如月用电量第三档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第三档的家庭有______户．16. 5月20日是中国学生营养日，青少年合理膳食是社会公共卫生关注的问题之一．某食堂为了均衡学生的营养，特设置如下菜单，每种菜品所含的热量，脂肪和蛋白质如下：编号菜名类别热量/千焦脂肪/g蛋白质/g1宫保鸡丁荤菜1033187 2炸鸡排荤菜12541920 3糖醋鱼块荤菜211218144土豆炖牛肉荤菜109523165香菇油菜素菜911117 20x ax b++=1240x≤240300x<≤300350x<≤350400x<≤400x>6家常豆腐素菜102016137清炒冬瓜素菜564718韭菜炒豆芽素菜491239米饭主食3601810紫菜鸡蛋汤汤10058学校规定每份午餐由1份荤菜，2份素菜，1份汤和1碗米饭搭配．小明想要搭配一份营养午餐，那么他摄入的脂肪最低量是____________g ．（12岁岁的青少年男生午餐营养标准：摄入热量为2450千焦，摄入蛋白质为65g ，蛋白质越接近标准越营养）三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. ．18. ．19. 已知，求代数式的值．20. 如图所示，在长为11、宽为10矩形内部，沿平行于矩形各边的方向割出三个完全相同的小矩形，求每个小矩形的面积．21. 如图，在四边形中，，，，点E 为中点，射线交的延长线于点F ，连接．的14-011(2021)22sin 45()3π---+︒-()2131242x x x x ⎧+>-⎪⎨-<+⎪⎩23210x x +-=22(1)(2)(2)3x x x x +-+-+ABCD AD BC ∥90A ∠=︒BD BC =CD BE AD CF（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由的图象向上平移2个单位得到，反比例函数 的图象过点．（1）求一次函数表达式及m 的值；（2）过点平行于x 轴的直线，分别与反比例函数一次函数的图象相交于点M 、N ，当时，画出示意图并直接写出n 的值．23. 某市统计局为研究我国省会及以上城市发展水平与人均之间关系，收集了年个城市的人均数据（单位：万元）以及城市排名，进行了相关的数据分析，下面给出了部分信息．．城市的人均的频数分布直方图（数据分成组：，，，，）：频数（城市个数）的BCFD 1AD =2CF =BF xOy ()0y kx b k =+≠1y x =()20m y m x=≠()14A ，()0P n ，2m y x =y kx b =+PM MN =GDP 202331GDP GDP a GDP 558x <≤811x <≤1114x <≤1417x <≤1720x <≤．城市的人均（万元）的数值在这一组的是：；．以下是个城市年的人均（万元）和城市排名情况散点图：根据以上信息，回答下列问题（1）某城市的人均为万元，该城市排名全国第_____；（2）在个城市年的人均和城市排名情况散点图中，请用“”画出城市排名的中位数所表示的点；（3）观察散点图，请你写出一条正确结论．24. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点．（1）求证：直线是以点为圆心，为半径的的切线；（2）如果：，，求的半径．25. 如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O 的正上方4米处的A 点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d 米的地点，运动员距离地面高度为h 米．获得如下数据：水平距离d /米02468垂直高度h /米488的b GDP 1114x <≤12.313.213.613.8，，，c 312023GD GDP GDP 13.8GDP 312023GDP GDP GDP ABC 90C ∠=︒CAB ∠CB D D OD CB ⊥AB O CD O OA O 3sin 5CAB ∠=3BC =O OA 132172请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米；（3）求h 关 于d 的函数表达式；（4）运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作．26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．（1）如果抛物线经过点，求的值；2C 215463h d d =-++OA 1d 2d 1223d d ≤≤-xoy ()1,A x m ()2,B x n ()240y ax bx a =++>x h =()2,4h（2）如果对于，，都有，求取值范围；（3）如果对于，或，存在，直接写出的取值范围．27. 如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接．（1）如图1，当点在线段上时．①用等式表示与的数量关系；②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系；（2）如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明．28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，点P 、Q 是平面内的点，如果点P 关于点Q 的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P 关于点Q 的“等距点”．（1）已知如图1点．①如图1，在点 中，上存在点P 关于点Q 的“等距点”的是________；②如图2，点 ，上存在点P 关于点Q 的“等距点”，则m 的取值范围是________；（2）如图3，已知点，点P 在的图象上，若上存在点P 关于点Q 的“等距点”，14x h =-23x h =m n >h 142h x h -≤≤+21x ≤212x ≥m n >h AB BC =90ABC ∠=︒P AB 90CEP ∠=︒F EP EF EC =AF AF G EG H GH GE =AH P AB AH CE BH BE BH BE P AB xOy O O 40（，）P ()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O (),Q m n O ()1,1Q y x b =-+O求b的取值范围．。
【免费下载】北京市门头沟区中考一模数学试题含答案
C 52° ．
D 78° ．
A
．
B
．
考点：展开图折叠成几何体；简单几何体的三视图． .
分析：由圆锥的展开图特点以及三视图的定义判断得出即可．
解答：解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥，再利用圆锥 的左视图是三角形． 故选：A．
点评：此题主要考查了展开图折叠成几何体以及三视图问题，熟悉圆锥的展开图特点是解 答此题的关键．
A 32 ．
考点：动点问题的函数图象． .
专题：压轴题；动点型．
分析：正确读图象是解决本题的关键．
B 34 ．
解答：解：根据函数图象可以知道，从 0 到 4，y 随 x 的增大而增大，因而 BC=4，P 在 CD 段时，底边 AB 不变，高不变，因而面积不变，由图象可知 CD=3；同理：
6．（4 分）（2013•门头沟区一模）有 6 张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有
数字 1，2，3，4，5，6，背面完全相同．现将这 6 张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从
中随机抽取一张，抽出的卡片正面印有的数字是偶数的概率是（ ）
A
．
考点：概率公式． .
B
．
分析：让偶数的个数除以卡片的总张数即可求得相应概率．
北京市门头沟区 2013 年中考数学一模试卷
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的．
1．（4 分）（2013•门头沟区一模）﹣3 的倒数是（ ）
A
．
考点：倒数．
分析：根据乘积是 1 的两个数互为倒数解答．
B
． ﹣3
解答：解：∵﹣3×（﹣ ）=1，
数的方法叫科学记数法．
03-2015初三数学一模题答案-西城
北京市西城区2015年初三一模试卷数学试卷参考答案及评分标准 2015. 4一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17()011π2008()6tan302--+-︒ =3362132⨯-++………………………………………………………… 4分 =32332-+=3．…………………………………………………………………………………… 5分 18．证明：如图1．∵ ∠EAC =∠DAB ，∴ 11EAC DAB ∠+∠=∠+∠．即 ∠BAC =∠DAE ． …………………… 1分 在△ABC 和△ADE 中，,,,C E BAC DAE AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………………………3分∴ △ABC ≌△ADE ．…………………………………………………………… 4分 ∴ BC = DE ．…………………………………………………………………… 5分 19．解：()2035148.x x x -≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩，由①，得2x ≥． ………………………………………………………………… 2分由②，得 15348x x +>-．移项，合并，得 1111x >-．系数化1，得 1x >-． ………………………………………………………… 4分 所以原不等式组的解集为2x ≥．…………………………………………………5分20．解： 223312111a a a a a a a ++÷-++++=()()2331111a a a a a a ++÷-+++……………………………………………………………2分 ()()2311311a a a a a a ++=⋅-+++ =111+-+a a a …………………………………………………………………………3分 =11a a -+．………………………………………………………………………………4分 当2=a 时，原式=311212=+-．………………………………………………………5分 21．解：设普通列车的平均速度为x 千米/时．…………………………………………… 1分 则高铁的平均速度是2.5x 千米/时．依题意，得40052032.5x x+=．…………………………………………………… 2分 解得 120=x ．……………………………………………………………………3分 经检验，120=x 是原方程的解，且符合题意．……………………………… 4分 所以 30052=x .．答：高铁的平均速度是300千米/时.………………………………………………… 5分 22．（1）证明： []22(1)4(2)m m m ∆=--++ 2248448m m m m =-+++284m =+．……………………………………………………………………1分∵ 28m ≥0，∴ 284m +＞0．………………………………………………………………2分∴ 方程总有两个不相等的实数根． ……………………………………… 3分（2）解：∵ 2x =-是此方程的一个根，∴ 2(2)2(2)(1)(2)0m m m --⨯---+=．整理得 220m m -=．解得 10m =，22m =．……………………………………………………… 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（1）证明：∵ ADE BAD ∠=∠，∴ AB ∥ED ．…………………………………………………………… 1分 ∵ BD 垂直平分AC ，垂足为F ， ∴ BD AC ⊥，AF=FC ．又∵ AE AC ⊥，∴ 90EAC DFC ∠=∠=︒．∴AE ∥BD ．∴ 四边形ABDE 是平行四边形．…………………………………………2分（2）解：如图2，连接BE 交AD 于点O ． ∵ DA 平分∠BDE ，∴ ∠ADE=∠1．又∵ ADE BAD ∠=∠， ∴ ∠1=∠BAD ．∴ AB= BD ．………………………………3分 ∴ABDE 是菱形． ∵ AB=5，AD=6，∴ BD=AB=5，AD BE ⊥，132OA AD ==．在Rt △OAB 中，4OB =．∵ 1122ABD S AD OB BD AF =⋅=⋅V ， ∴ 645AF ⨯=．解得 4.8AF =． …………………………4分∵ BD 垂直平分AC ，∴ 29.6AC AF ==．……………………5分 注：其他解法相应给分． 24．解：（1）补全扇形图如图3所示．…………………1分 （2）2号线，52＜x ≤72 ，22.2．（各1分）………………………………………… 4分 （3）30．……………………………………… 5分 25．解：（1）依题意，补全图形如图4．……………… 1分 （2）BAD ∠．…………………………………… 2分 证明：如图5，连接BC ，CD ．∵ 直线l 与直线MA 关于直线MD 对称， ∴ 12∠=∠．………………………3分 ∵ AB 为⊙O 的直径，∴ 90ACB ∠=︒，即BC MA ⊥． 又∵ BE l ⊥，∵ cos 1MC MB =⋅∠，cos 2ME MB =⋅∠，∴ MC=ME ． 又∵ C ，E 两点分别在直线MA 与直线l 上， 可得C ，E 两点关于直线MD 对称．∴ 3BED ∠=∠． ………………… 4分 又∵ 3BAD ∠=∠，∴ BAD BED ∠=∠． ……………… 5分26．解：45． …………………………………………………1分画图见图6． ………………………………………3分 45．………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵ 二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，∴10,3.b c c -+=⎧⎨=-⎩ ………………………………1分解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩ (2)分∴ 抛物线1C 的函数表达式为3221--=x x y ． …………………………………… 3分 （2）∵ 22123=(1)4y x x x =----，∴ 抛物线1C 的顶点为(1,4)- ∴ 平移后抛物线2C 的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22y x =．… 5分 （3）a ≥1-（见图7）．………………………………………………………………7分28．解：（1）90，12．……………………………………………………………………… 2分 （2）结论：90AHB ∠=︒，AF BE =． 证明：如图8，连接AD ．∵ AB =AC ，∠BAC =60°， ∴ △ABC 是等边三角形． ∵ D 为BC 的中点， ∴ AD ⊥BC ． ∴ ∠1+∠2=90°．又∵ DE ⊥AC ，∴ ∠DEC =90°． ∴ ∠2+∠C =90°． ∴ ∠1=∠C =60°．设AB =BC=k （0k >），则124kCE CD ==，DE =． ∵ F 为DE 的中点，∴ 12DF DE ==，AD AB ==． ∴AD BC =，DF CE ∴ =BC AD CEDF ．…………………………………………………………3分又∵ ∠1=∠C ， ∴ △ADF ∽△BCE ．………………………………………………… 4分∴AF AD BE BC ==，………………………………………………… 5分 ∠3=∠4． 又∵ ∠4+∠5=90°，∠5=∠6， ∴ ∠3+∠6=90°． ∴ 90AHB ∠=︒．………………………………………………………6分（3）1tan 9022α︒-（）．………………………………………………………………7分注：写1cos 2sin αα+或其他答案相应给分．29．解：（1）3．（每空各1分）…………………………………………………… 2分（2）-1．…………………………………………………………………………… 4分（3）①如图9，过点O 分别作射线OE 、OF 的垂线OG 、OH ，则图形M 为：y 轴正半轴，∠GOH 的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）．……………………………………………………………………………… 7分 说明：（画图2分，描述1分）（图形M 也可描述为：y 轴正半轴，直线x y 33=下方与直线x y 33-=下方重叠的部分（含边界）） ②34．…………………………………………………………………………8分。
2015年北京市门头沟区中考数学一模试卷带解析答案
（n 为正整数，用含 n 的代数式
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 17． （5 分）如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB ＝FD．求证：AE＝FC．
第 3 页（共 32 页）
18． （5 分）计算： 19． （5 分）解不等式组 ．
．
20． （5 分）已知 x2﹣2x﹣7＝0，求（x﹣2）2+（x+3） （x﹣3）的值． 21． （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k﹣2＝0 有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值． 22． （5 分）列方程或方程组解应用题： 北京快速公交 4 号线开通后，为响应“绿色出行”的号召，家住门头沟的李明上 班由自驾车改为乘公交．已知李明家距上班地点 18 千米，他乘公交平均每小 时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的 2 倍还多 9 千米，他从家 出发到达上班地点，乘公交所用时间是自驾车所用时间的 ，问李明自驾车 上班平均每小时行驶多少千米？ 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 23． （5 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 O，分别过点 C、D 作 CE∥BD，DE∥AC，CE 和 DE 交于点 E． （1）求证：四边形 ODEC 是矩形； （2）当∠ADB＝60°，AD＝2 时，求 tan∠EAD 的值．
A．120°
B．130°
C．100°
D．150°
7． （3 分）小明同学在社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用水量，如下表 所示：
第 1 页（共 32 页）
月用水量 （吨） 户数
3 4
2015北京初三一模数学各区27、28、29汇编(13区)
1.【2015丰台 一模】27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （-1，a ），B （3，a ），且最低点的纵坐标为-4.（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围.28．在△ABC 中，CA =CB ，CD 为AB 边的中线，点P 是线段AC 上任意一点（不与点C 重合），过点P 作PE 交CD 于点E ，使∠CPE =12∠CAB ，过点C 作CF ⊥PE 交PE 的延长线于点F ，交AB 于点G.（1）如果∠ACB =90°，①如图1，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三角形； ②如图2，当点P 不与点A 重合时，求CFPE的值； （2）如果∠CAB =a ，如图3，请直接写出CFPE的值.（用含a 的式子表示）29. 设点Q 到图形W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W 的距离.例如正方形ABCD 满足A (1，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (1，1)，那么点O (0，0)到正方形ABCD 的距离为1.图1图2图34444123123321213xOy（1）如果⊙P 是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O (0，0)到⊙P 的距离为 ； （2）①求点(3,0)M 到直线21y x =+的距离；②如果点(0,)N a 到直线21y x =+的距离为3，那么a 的值是 ； （3）如果点(0,)G b 到抛物线2y x =的距离为3，请直接写出b 的值.2.【2015石景山 一模】4444123123321213xOy33五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于(3,0)A ，B 两点． （1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）当23x -<<时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若经过点(4,2)C 的直线(0)y kx b k =+≠与图象M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求b 的取值范围．28．在△ABC 中，90BAC ∠=︒．（1）如图1，直线l 是BC 的垂直平分线，请在图1中画出点A 关于直线l 的对称点'A ，连接'A C ，B A '，'AC 与AB 交于点E ；（2）将图1中的直线B A '沿着EC 方向平移，与直线EC 交于点D ，与直线BC 交于点F ，过点F 作直线AB 的垂线，垂足为点H ．①如图2，若点D 在线段EC 上，请猜想线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点D 在线段EC 的延长线上，直接写出线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系．EABCHFEC ABD lBAC 2 备用图y x l ED C B O Axy87-4765432-76-5-4-6-2-1543-3-32-2-111O29．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y 轴的另一个交点为E ．给出如下定义：若线段OE ，⊙A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABCD 是矩形（点,,,A B C D 顺时针排列），则称矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”． 例如,下图中的矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．（1）若点(1,2)A -，四边形ABCD 为直线1x =-的“理想矩形”，则点D 的坐标为 ；（2）若点(3,4)A ，求直线1y kx =+(0)k ≠的“理想矩形”的面积； （3）若点(1,3)A -，直线l 的“理想矩形”面积的最大值为 ，此时点D 的坐标为 ．3.【2015怀柔 一模】五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=（a-1）x 2+2x+1与x 轴有交点，a 为正整数.备用图55（1）求a 的值.（2）将二次函数y=（a-1）x 2+2x+1的图象向右平移m 个单位，向下平移m 2+1个单位，当 -2≤x ≤1时，二次函数有最小值-3， 求实数m 的值.28．在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接BD,CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．（1）依题意补全图1； （2）若∠PAB=30°，求∠ACE 的度数；（3）如图2，若60°<∠PAB <120°，判断由线段AB,CE,ED 可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.29. 对某种几何图形给出如下定义： 符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.例如,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，A(0，2)，B 是x 轴上一动点，当点B 在x 轴上运动时，点C 在坐标系中运动，点C 运动形成的轨迹是直线DE ，且DE ⊥x 轴于点G.图1AB CPABCP图2 yx 11O 27题图则直线DE 的表达式是 .（2）当△ABC 是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C 形成的轨迹也是一条直线.①当点B 运动到如图2的位置时，AC ∥x 轴，则C 点的坐标是 . ②在备用图中画出动点C 形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.③设②中这条直线分别与x,y 轴交于E,F 两点，当点C 在线段EF 上运动时，点H 在线段OF 上运动，（不与O 、F 重合），且CH=CE,则CE 的取值范围是 .4..【2015朝阳 一模】五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，备用图1 备用图2 x y A O x y A O 图2x y A C B O 图1x y G DE C B A O7再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线xy=与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是－3.（1）求a的值及M2的表达式；（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF.①当点C的横坐标为2时，直线ny+=恰好经过x正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；②在点C的运动过程中，若直线n=与正方形CDEF始终没有公共点，求n的y+x取值范围（直接写出结果）.28．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D 顺时针旋转90°得到DE，连接BE.（1）如图1，点D在BC边上.①依题意补全图1；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）.图1 图229．定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P(1，2)，Q(4，2) ．7①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ； ②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．5.【2015平谷 一模】五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分)9927．已知抛物线y =ax 2+x +c （a ≠0）经过A （1-，0），B （2，0）两点，与y 轴相交于点C ，点D 为该抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）点E 是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E 到直线BC 的距离为22时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴上有一点P ，且∠EAO +∠EPO =∠α，当tanα=2时，求点P 的坐标．28．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =80°，∠A +∠C =180°，点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系；（2）如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋12ABC ∠，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM ，CN ，MN 的数量关系是 ；（3）如图3，正方形ABCD 的边长是1，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若△DMN 的周长为2，则△MBN 的面积最小值为 ．M A C B D 图2 O y x 图 3 B C A D 图1M BC A D29．设a ,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ,b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ,我们就称此函数是闭区间[m .n ]上的“闭函数”．如函数4y x =-+，当x =1时，y =3；当x =3时，y =1，即当13x ≤≤时，有13y ≤≤，所以说函数4y x =-+是闭区间[1,3]上的“闭函数”． （1）反比例函数y =x2015是闭区间[1,2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若二次函数y =22x x k --是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k 的值； （3）若一次函数y =kx +b (k ≠0)是闭区间[m ,n ]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m ，n 的代数式表示）．6.【2015东城 一模】1111BAC27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标; （3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.28. 已知：Rt △A ′BC ′和 Rt △ABC 重合，∠A ′C ′B =∠ACB =90°，∠BA ′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A ′BC ′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C ′C 和线段AA ′相交于点D ,连接BD ．（1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A ′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.图1 图2 图3y29．定义符号{}min a b ,的含义为：当a b ≥时, {}min a b b =,；当a b ＜时, {}min a b a =,．如：{}min 122-=-,，{}min 121-=-,．(1)求{}2min x -1,-2;(2)已知2min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;(3) 已知当23x -≤≤时，22min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.7.【2015门头沟 一模】五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）．1313（1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)在第一象限之间的部分为图象G ，如果直线 y =k (x +1)+4与图象G 有公共点，请结合函数的图象，求直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标t 的取值范围．28．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ． （1）如图1，如果∠A =30°，那么DE 与CE 之间的数量关系是 ．（2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，如果∠A =α（0°＜α＜90°），P 是射线CB 上一动点（不与B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转2α，得到线段DF ，连接BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系（不需证明）．DBFE DAB E DAB C C CP AE图1 图2 图329．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的顶点为M ，直线y =m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A 和点B ，如果△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M 称为碟顶，线段AB 的长称为碟宽．AABBMMOxyy=m准蝶形AMB（1）抛物线212y x =的碟宽为 ，抛物线y =ax 2（a ＞0）的碟宽为 ． （2）如果抛物线y =a (x －1)2－6a （a ＞0）的碟宽为6，那么a = ．（3）将抛物线y n =a n x 2+b n x +c n （a n ＞0）的准蝶形记为F n （n =1，2，3，…），我们定义F 1，F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果F n 与F n -1的相似比为12，且F n 的碟顶是F n -1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1． ① 求抛物线y 2的表达式；② 请判断F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的表达式；如果不是，说明理由．8.【2015延庆 一模】27. 二次函数2y x mx n =-++的图象经过点A （﹣1，4），B （1，0），12y x b =-+经过点B ，且与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为点C ． （1）求二次函数的表达式；（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，1515ABCE FQQFE CBAP ABCQ 交BD 于点M ，求MN 的最大值.28. 已知，点P 是△ABC 边AB 上一动点（不与A ，B 重合）分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为边AB 的中点.（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF的数量关系是 ；（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.29. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，给出如下定义：在线段AB 外有一点P ，如果在线段AB 上存在两点C 、D ，使得∠CPD =90°，那么就把点P 叫做线段AB 的悬垂点． （1）已知点A （2，0），O （0，0）①若1(1,)2C ，D （1，1），E （1，2），在点C ，D ，E 中，线段AO 的悬垂点是______； ②如果点P （m ，n ）在直线1y x =-上，且是线段AO 的悬垂点，求m 的取值范围； （2）如下图是帽形M （半圆与一条直径组成，点M 是半圆的圆心），且圆M 的半径图1图2图3M是1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围．9.【2015燕山 一模】五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．抛物线c bx x y C ++=2121:与y 轴交于点C (0，3)，其对称轴与x 轴交于点A (2，0)． （1）求抛物线1C 的解析式；（2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，若抛物1717线2C 与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围．28．△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，①求证：BE ⊥AC ； ②求∠BEH 的度数； （2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系．112AC OxyB 图1图2AB H CABHCED29．在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），(31-，31-)，(2-，2-)，…，都是和谐点． （1）分别判断函数12+-=x y 和12+=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数)0(42≠++=a c x ax y 的图象上有且只有一个和谐点(23，23)，且当m x ≤≤0时，函数)0(4342≠-++=a c x ax y 的最小值为－3，最大值为1，求m 的取值范围．（3）直线2:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴交于点D ，与反比例函数xny G =：的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为1，且23<+DN DM ，请直接写出n 的取值范围．yxO11191910.【2015房山 一模】27. 在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）, B （1，0），顶点为C .(1) 求抛物线的表达式和顶点坐标；(2) 过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.28．如图1，已知线段BC =2，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED =BD ，连接DE ，BE .(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE 为等边三角形；(2) 若∠ACB =45°，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE ，点E 的对应点为E ′，点C 的对应点为点C ′.①如图2，当α=30°时，连接'BC ．证明：EF ='BC ；②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段''C E 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？αEDC'E'BCFAED M C'E'BCF AP图1 DC B A 图2 图329.【探究】如图1，点()N m,n 是抛物线21114y x =-上的任意一点，l 是过点()02,-且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为H .①计算: m=0时，NH= ; m =4时，NO = . ②猜想: m 取任意值时，NO NH (填“＞”、“＝”或“＜”).【定义】我们定义：平面内到一个定点F 和一条直线l （点F 不在直线l 上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O 即为抛物线1y 的“焦点”，直线l :2y =-即为抛物线1y 的“准线”.可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上.【应用】（1）如图2，“焦点”为F (-4，-1)、“准线”为l 的抛物线()221+44y x k =+与y 轴交于点N （0，2），点M 为直线FN 与抛物线的另一交点.MQ ⊥l 于点Q ，直线l 交y 轴于点H .①直接写出抛物线y 2的“准线”l ： ； ②计算求值：1MQ +1NH=；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，半径为1的⊙O 与x 轴分别交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），直线y =33x +n 与⊙O 只有一个公共点F ，求以F 为“焦点”、x 轴为“准线”的抛物线23y ax bx c =++的表达式.图2y xMNF O图3yxBAO图1y x l-2H ON2121图1 图2 图311.【2015通州 一模】27．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与一次函数1y x b =+k 的图象交于)10(，A 、B 两点，(1,0)C 为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和一次函数1y x b=+k 的图象； （3）把（1）中的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象平移后得到新的二次函数22(0,)y ax bx c m a m =+++≠为常数的图象,.定义新函数f ：“当自变量x 任取一值时，x对应的函数值分别为1y 或2y ，如果1y ≠2y ，函数f 的函数值等于1y 、2y 中的较小值;如果1y =2y ，函数f 的函数值等于1y （或2y ）.” 当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.28．在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF =AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，易证BE =EF .（2）如图2，当点E 不是线段AC 的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论： .（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．x29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，3)、B (6，3)，连结AB . 若对于平面内一点P ，线段AB 上都存在点Q ，使得PQ ≤1，则称点P 是线段AB 的“邻近点”．（1）判断点D 719(,)55，是否线段AB 的“邻近点” （填“是”或“否”）；（2）若点H (m ，n )在一次函数1-=x y 的图象上，且是线段AB 的“邻近点”，求m 的取值范围． （3）若一次函数y x b =+的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b 的取值范围.232312.【2015西城 一模】 27．已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．（1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位， 得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为 22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式； （3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在 2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．28． △ABC 中，AB=AC ．取BC 边的中点D ，作DE ⊥AC 于点E ，取DE 的中点F ，连接BE ，AF 交于点H ． （1）如图1，如果90BAC ∠=︒，那么AHB ∠= ︒，AFBE= ； （2）如图2，如果60BAC ∠=︒，猜想AHB ∠的度数和AFBE的值，并证明你的结论； （3）如果BAC α∠=，那么AFBE= ．（用含α的表达式表示）29． 给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的距离． 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．（1）点A 的坐标为(1,0)A ，则点(2,3)B 和射线OA 之间的距离为________，点(2,3)C - 和射线OA 之间的距离为________； （2）如果直线y =x 和双曲线ky x=之间的距离为2，那么k = ；（可在图1中进 行研究）（3）点E 的坐标为(1,3)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60︒，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ． ① 请在图2中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） ② 将射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，抛物线22-=x y 与图形M 的 公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．252513.【2015海淀 一模】27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．28．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形；EDC BAEDCBA备用图（2）求证：EG BC =；（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．x y O –5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–1123456729．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若,1,1≥b a b b a ⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变点的坐标是()2,3，点()2,5-的限变点的坐标是()2,5--．（1）①点()3,1的限变点的坐标是___________；②在点()2,1A --，()1,2B -中有一个点是函数2y x=图象上某一个点的限变点， 这个点是_______________；（2）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是52≤≤b '-，求k 的取值范围；（3）若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是≥b m '或b n '<，其中m n >．令s m n =-，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．xy–6–5–4–3–2–1123456–6–5–4–3–2–1123456O。
2015-2016年北京市门头沟区九年级(上)期末数学试卷和解析答案
2015-2016学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意地．1．（3分）如果4a=5b（ab≠0），那么下列比例式变形正确地是（）A．B．C．D．2．（3分）在Rt△ABC中，如果∠C=90°，AB=10，BC=8，那么cosB地值是（）A．B．C．D．3．（3分）已知⊙O地半径为5，点P到圆心O地距离为8，那么点P与⊙O地位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O 外D．无法确定4．（3分）小明地妈妈让他在无法看到袋子里糖果地情形下从袋子里抽出一颗糖果．袋子里有三种颜色地糖果，它们地大小、形状、质量等都相同，其中所有糖果地数量统计如图所示．小明抽到红色糖果地概率为（）A．B．C．D．5．（3分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD地长为（）A．1 B．C．2 D．6．（3分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新地抛物线，则新抛物线地表达式是（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣37．（3分）已知点A（1，m）与点B（3，n）都在反比例函数地图象上，那么m与n之间地关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m≥n D．m≤n8．（3分）如图，点A（6，3）、B（6，0）在直角坐标系内．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，那么点C地坐标为（）A．（3，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（2，1）9．（3分）如图，线段AB是⊙O地直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140° D．120°10．（3分）如图，点C是以点O为圆心、AB为直径地半圆上地一个动点（点C 不与点A、B重合），如果AB=4，过点C作CD⊥AB于D，设弦AC地长为x，线段CD地长为y，那么在下列图象中，能表示y与x函数关系地图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）如果两个相似三角形地相似比是1：3，那么这两个三角形面积地比是．12．（3分）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整地古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它地地基是半径为2米地正六边形，那么这个地基地周长是米．13．（3分）图1中地三翼式旋转门在圆形地空间内旋转，旋转门地三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门地俯视图，显示了某一时刻旋转翼地位置，根据图2中地数据，可知地长是m．14．（3分）写出一个图象位于二、四象限地反比例函数地表达式，y=．15．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中地一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题地实质就是解决下面地问题：“如图，CD为⊙O地直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD地长”．根据题意可得CD地长为．16．（3分）学习了反比例函数地相关内容后，张老师请同学们讨论这样地一个问题：“已知反比例函数，当x＞1时，求y地取值范围？”同学们经过片刻地思考和交流后，小明同学举手回答说：“由于反比例函数地图象位于第四象限，因此y地取值范围是y＜0．”你认为小明地回答是否正确：，你地理由是：．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）计算：|．18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上地高．（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）如果AC=4，BC=3，求BD地长．19．（5分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）将y=x2﹣6x+5化成y=a（x﹣h）2+k地形式；（2）求该二次函数地图象地对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x地增大而减小．20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1，AC=．（1）以点B为旋转中心，将△ABC沿逆时针方向旋转90°得到△A′BC′，请画出变换后地图形；（2）求点A和点A′之间地距离．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x地图象与反比例函数y=地图象交于点A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y=地解析式；（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P地坐标．22．（5分）“永定楼”是门头沟区地地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度地社会实践活动．如图，他们在A点测得顶端D地仰角∠DAC=30°，向前走了46米到达B点后，在B点测得顶端D地仰角∠DBC=45°．求永定楼地高度CD．（结果保留根号）四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）已知二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）．（1）求证：此二次函数地图象与x轴总有交点；（2）如果此二次函数地图象与x轴两个交点地横坐标都是整数，求正整数m地值．24．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥AD交AB于E，连接AC、DE，AC与DE交于点F．（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）如果EF=2，∠FCD=30°，∠FDC=45°，求DC地长．25．（5分）已知二次函数y1=x2+2x+m﹣5．（1）如果该二次函数地图象与x轴有两个交点，求m地取值范围；（2）如果该二次函数地图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B地坐标为（1，0），求它地表达式和点C地坐标；（3）如果一次函数y2=px+q地图象经过点A、C，请根据图象直接写出y2＜y1时，x地取值范围．26．（5分）如图，⊙O为△ABC地外接圆，BC为⊙O地直径，BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF，垂足为D．（1）求证：AD为⊙O地切线；（2）若BD=1，tan∠BAD=，求⊙O地直径．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（0，2）和B（1，）．（1）求该抛物线地表达式；（2）已知点C与点A关于此抛物线地对称轴对称，点D在抛物线上，且点D地横坐标为4，求点C与点D地坐标；（3）在（2）地条件下，将抛物线在点A，D之间地部分（含点A，D）记为图象G，如果图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t 地取值范围．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′=，那么称点Q为点P地“关联点”．例如：点（5，6）地“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）地“关联点”为点（﹣5，﹣6）．（1）①点（2，1）地“关联点”为；②如果点A（3，﹣1），B（﹣1，3）地“关联点”中有一个在函数地图象上，那么这个点是（填“点A”或“点B”）．（2）①如果点M*（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M地“关联点”，那么点M地坐标为；②如果点N*（m+1，2）是一次函数y=x+3图象上点N地“关联点”，求点N地坐标．（3）如果点P在函数y=﹣x2+4（﹣2＜x≤a）地图象上，其“关联点”Q地纵坐标y′地取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a地取值范围是．29．（7分）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，射线AP位于该菱形外侧，点B关于直线AP地对称点为E，连接BE、DE，直线DE与直线AP交于F，连接BF，设∠PAB=α．（1）依题意补全图1；（2）如图1，如果0°＜α＜30°，判断∠ABF与∠ADF地数量关系，并证明；（3）如图2，如果30°＜α＜60°，写出判断线段DE，BF，DF之间数量关系地思路；（可以不写出证明过程）（4）如果60°＜α＜90°，直接写出线段DE，BF，DF之间地数量关系．2015-2016学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意地．1．（3分）如果4a=5b（ab≠0），那么下列比例式变形正确地是（）A．B．C．D．【解答】解：两边都除以ab，得=，故A正确；B、两边都除以20，得=，故B错误；C、两边都除以4b，得=，故C错误；D、两边都除以5a，得=，故D错误．故选：A．2．（3分）在Rt△ABC中，如果∠C=90°，AB=10，BC=8，那么cosB地值是（）A．B．C．D．【解答】解：cosB===，故选：D．3．（3分）已知⊙O地半径为5，点P到圆心O地距离为8，那么点P与⊙O地位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O 外D．无法确定【解答】解：∵OP=8＞5，∴点P与⊙O地位置关系是点在圆外．故选：C．4．（3分）小明地妈妈让他在无法看到袋子里糖果地情形下从袋子里抽出一颗糖果．袋子里有三种颜色地糖果，它们地大小、形状、质量等都相同，其中所有糖果地数量统计如图所示．小明抽到红色糖果地概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据统计图得绿色糖果地个数为2，红色糖果地个数为5，紫色糖果地个数为8，所以小明抽到红色糖果地概率==．故选B．5．（3分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD地长为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴=，即=，∴CD=2，故选C．6．（3分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新地抛物线，则新抛物线地表达式是（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣3【解答】解：抛物线y=5x2地顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点地坐标为（﹣2，3），所以新抛物线地表达式是y=5（x+2）2+3．故选A．7．（3分）已知点A（1，m）与点B（3，n）都在反比例函数地图象上，那么m与n之间地关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m≥n D．m≤n【解答】解：∵反比例函数中系数2＞0，∴反比例函数地图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x地增大而减小．又∵点A（1，m）与点B（3，n）都位于第一象限，且1＜3，∴m＞n．故选：A．8．（3分）如图，点A（6，3）、B（6，0）在直角坐标系内．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，那么点C地坐标为（）A．（3，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（2，1）【解答】解：∵A（6，3）、B（6，0），∴OB=6，AB=3，由题意得，△ODC∽△OBA，相似比为，∴==，∴OD=2，CD=1，∴点C地坐标为（2，1），故选：D．9．（3分）如图，线段AB是⊙O地直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140° D．120°【解答】解：∵线段AB是⊙O地直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．10．（3分）如图，点C是以点O为圆心、AB为直径地半圆上地一个动点（点C 不与点A、B重合），如果AB=4，过点C作CD⊥AB于D，设弦AC地长为x，线段CD地长为y，那么在下列图象中，能表示y与x函数关系地图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴BC==，∵CD•AB=AC•BC，∴y=，∵y地最大值为2，此时x=2．故选B．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）如果两个相似三角形地相似比是1：3，那么这两个三角形面积地比是1：9．【解答】解：∵两个相似三角形地相似比是1：3，又∵相似三角形地面积比等于相似比地平方，∴这两个三角形面积地比是1：9．故答案为：1：9．12．（3分）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整地古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它地地基是半径为2米地正六边形，那么这个地基地周长是12米．【解答】解：如图所示：∵正六边形地半径为2米，∴OA=0B=2米，∴正六边形地中心角∠AOB==60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB，∴AB=2米，∴正六边形地周长为6×2=12（米）；故答案为：12．13．（3分）图1中地三翼式旋转门在圆形地空间内旋转，旋转门地三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门地俯视图，显示了某一时刻旋转翼地位置，根据图2中地数据，可知地长是m．【解答】解：根据题意，可得，∴（m），即地长是m．故答案为：．14．（3分）写出一个图象位于二、四象限地反比例函数地表达式，y=答案不唯一，如y=﹣等．【解答】解：根据反比例函数地性质，其图象位于第二、四象限，则其系数k＜0；故只要给出k小于0地反比例函数即可；答案不唯一，如y=﹣等．15．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中地一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题地实质就是解决下面地问题：“如图，CD为⊙O地直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD地长”．根据题意可得CD地长为26．【解答】解：连接OA，AB⊥CD，由垂径定理知，点E是AB地中点，AE=AB=5，OE=OC﹣CE=OA﹣CE，设半径为r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+（OA﹣CE）2，即r2=52+（r﹣1）2，解得：r=13，所以CD=2r=26，即圆地直径为26．16．（3分）学习了反比例函数地相关内容后，张老师请同学们讨论这样地一个问题：“已知反比例函数，当x＞1时，求y地取值范围？”同学们经过片刻地思考和交流后，小明同学举手回答说：“由于反比例函数地图象位于第四象限，因此y地取值范围是y＜0．”你认为小明地回答是否正确：否，你地理由是：﹣2＜y＜0．【解答】解：否，理由如下：∵反比例函数，且x＞1，∴反比例函数地图象位于第四象限，∴﹣2＜y＜0．故答案是：否；﹣2＜y＜0．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）计算：|．【解答】解：原式=×﹣+﹣1=﹣1．18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上地高．（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）如果AC=4，BC=3，求BD地长．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．∴∠A+∠ACD=90°．∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°．∴∠A=∠DCB．又∵∠ACB=∠BDC=90°，∴△ABC∽△CBD；（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴CD=，∵CD⊥AB，∴BD===．19．（5分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）将y=x2﹣6x+5化成y=a（x﹣h）2+k地形式；（2）求该二次函数地图象地对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x地增大而减小．【解答】解：（1）y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4；（2）二次函数地图象地对称轴是x=3，顶点坐标是（3，﹣4）；（3）∵抛物线地开口向上，对称轴是x=3，∴当x≤3时，y随x地增大而减小．20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1，AC=．（1）以点B为旋转中心，将△ABC沿逆时针方向旋转90°得到△A′BC′，请画出变换后地图形；（2）求点A和点A′之间地距离．【解答】解：（1）如图，△A′BC′为所作；（2）∵∠ABC=90°，BC=1，AC=，∴AB==2，∵△ABC沿逆时针方向旋转90°得到△A′BC′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=AB=2．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x地图象与反比例函数y=地图象交于点A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y=地解析式；（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P地坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，n）代入y=﹣2x得n=﹣2×（﹣1）=2，∴A点坐标为（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入y=得k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数地解析式为y=﹣；（2）过A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，如图，∵点A地坐标为（﹣1，2），∴B点坐标为（﹣1，0），C点坐标为（0，2）∴当P在x轴上，其坐标为（﹣2，0）；当P点在y轴上，其坐标为（0，4）；∴点P地坐标为（﹣2，0）或（0，4）．22．（5分）“永定楼”是门头沟区地地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度地社会实践活动．如图，他们在A点测得顶端D地仰角∠DAC=30°，向前走了46米到达B点后，在B点测得顶端D地仰角∠DBC=45°．求永定楼地高度CD．（结果保留根号）【解答】解：由题意可得：AB=46m，∠DBC=45°，则DC=BC，故tan30°===，解得：DC=23（+1）．答：永定楼地高度CD为23（+1）m．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）已知二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）．（1）求证：此二次函数地图象与x轴总有交点；（2）如果此二次函数地图象与x轴两个交点地横坐标都是整数，求正整数m地值．【解答】解：（1）证明：∵二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），∴当y=0时，0=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），△=[﹣（m+2）]2﹣4×m×2=m2+4m+4﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2≥0∴0=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）有两个实数根，即二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）地图象与x轴总有交点；（2）∵二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），∴当y=0时，0=mx2﹣（m+2）x+2=（mx﹣2）（x﹣1），∴，又∵此二次函数地图象与x轴两个交点地横坐标都是整数，∴正整数m地值是：1或2，即正整数m地值是1或2．24．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥AD交AB于E，连接AC、DE，AC与DE交于点F．（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）如果EF=2，∠FCD=30°，∠FDC=45°，求DC地长．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD为平行四边形；（2）解：作FM⊥CD于M，如图所示：则∠FMD=∠FMC=90°，∵四边形AECD为平行四边形，∴DF=EF=2，∵∠FCD=30°，∠FDC=45°，∴△DFM是等腰直角三角形，∴DM=FM=DF=2，CF=2FM=4，∴CM=2，∴DC=DM+CM=2+2．25．（5分）已知二次函数y1=x2+2x+m﹣5．（1）如果该二次函数地图象与x轴有两个交点，求m地取值范围；（2）如果该二次函数地图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B地坐标为（1，0），求它地表达式和点C地坐标；（3）如果一次函数y2=px+q地图象经过点A、C，请根据图象直接写出y2＜y1时，x地取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y1=x2+2x+m﹣5地图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴22﹣4（m﹣5）＞0，解得：m＜6；（2）∵二次函数y1=x2+2x+m﹣5地图象经过点（1，0），∴1+2+m﹣5=0，解得：m=2，∴它地表达式是y1=x2+2x﹣3，∵当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）；（3）由图象可知：当y2＜y1时，x地取值范围是x＜﹣3或x＞0．26．（5分）如图，⊙O为△ABC地外接圆，BC为⊙O地直径，BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF，垂足为D．（1）求证：AD为⊙O地切线；（2）若BD=1，tan∠BAD=，求⊙O地直径．【解答】（1）证明：连接OA；∵BC为⊙O地直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；∵∠OAC=∠OCA，∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴DA为⊙O地切线．（2）解：∵BD=1，tan∠BAD=，∴AD=2，∴AB==，∴cos∠DBA=；∵∠DBA=∠CBA，∴BC===5．∴⊙O地直径为5．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（0，2）和B（1，）．（1）求该抛物线地表达式；（2）已知点C与点A关于此抛物线地对称轴对称，点D在抛物线上，且点D地（3）在（2）地条件下，将抛物线在点A，D之间地部分（含点A，D）记为图象G，如果图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t 地取值范围．【解答】解：（1）把A（0，2）和B（1，）代入得，解得，所以抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+，∴抛物线地对称轴为直线x=1，∵点C与点A关于此抛物线地对称轴对称，∴C点坐标为（2，2）；当x=4时，y=x2﹣x+2=8﹣4+2=6，∴D点坐标为（4，6）；（3）如图，设直线BC地解析式为y=mx+n，把B（1，），C（2，2）代入得，解得，∴直线BC地解析式为y=x+1，当x=0时，y=x+1=1，∴点图象G向下平移1个单位时，点A在直线BC上，当x=4时，y=x+1=3，∴当1＜t≤3时，图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′=，那么称点Q为点P地“关联点”．例如：点（5，6）地“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）地“关联点”为点（﹣5，﹣6）．（1）①点（2，1）地“关联点”为（2，1）；②如果点A（3，﹣1），B（﹣1，3）地“关联点”中有一个在函数地图象上，那么这个点是B（填“点A”或“点B”）．（2）①如果点M*（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M地“关联点”，那么点M地坐标为（﹣1，2）；②如果点N*（m+1，2）是一次函数y=x+3图象上点N地“关联点”，求点N地坐标．（3）如果点P在函数y=﹣x2+4（﹣2＜x≤a）地图象上，其“关联点”Q地纵坐标y′地取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a地取值范围是﹣2＜a＜2．②如果点A（3，﹣1）地关联点为（3，﹣1）；B（﹣1，3）地“关联点”为（﹣1，﹣3），一个在函数地图象上，那么这个点是B；故答案为：（2，1），B；（2）①如果点M*（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M地“关联点”是（﹣1，2），那么点M地坐标为（﹣1，2）；②如果点N*（m+1，2）是一次函数y=x+3图象上，点N*（﹣1，2）地“关联点”（﹣1，﹣2），点N地坐标是（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；（3）如果点P在函数y=﹣x2+4（﹣2＜x≤a）地图象上，当﹣2＜x≤0时，0＜y≤4，即﹣2＜a≤0；当x＞0时，y=y′，即﹣4＜y≤4，﹣x2+4＞﹣4，解得x＜2，即0＜x＜2，综上所述：﹣2＜x＜2，﹣2＜a＜2．“关联点”Q地纵坐标y′地取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a地取值范围是﹣2＜a＜2，故答案为：﹣2＜a＜2．29．（7分）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，射线AP位于该菱形外侧，点B关于直线AP地对称点为E，连接BE、DE，直线DE与直线AP交于F，连接BF，设∠PAB=α．（1）依题意补全图1；（2）如图1，如果0°＜α＜30°，判断∠ABF与∠ADF地数量关系，并证明；（3）如图2，如果30°＜α＜60°，写出判断线段DE，BF，DF之间数量关系地思路；（可以不写出证明过程）（4）如果60°＜α＜90°，直接写出线段DE，BF，DF之间地数量关系．【解答】解：（1）如图1所示：（2）∠ABF=∠ADF．理由：如图2所示：连接AE．∵点B与点E关于直线PA对称，∴EA=AB，∠ABF=∠AEF．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD．∴AE=AD．∴∠AEF=∠ADF．∴∠ABF=∠ADF．（3）DF=ED﹣BF．理由：如图3所示：∵点B与点E关于PA对称，∴EF=BF．∴DF=ED﹣BF．（4）BF=DE+DF．理由：如图4所示：∵点B与点E关于PA对称，∴EF=BF．又∵EF=ED+DF，∴BF=DE+DF．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
北京市门头沟区初三中考一模数学试卷(word版含答案)
门头沟区2018年初三年级综合练习（一）数 学 试 卷 2018.5考生须知1．本试卷共10页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟；2．在试卷和答题卡的密封线内准确填写学校名称、班级和姓名； 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答； 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． A ．线段GHB ．线段ADC ．线段AED ．线段AF2．如果代数式3x +有意义，则实数x 的取值范围是 A ．3x -≥ B ．0x ≠ C ．30x x ≠≥-且 D ．3x ≥ 3．如图,两个等直径圆柱构成的T 形管道，则其俯视图正确的是A B C D 4．将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果∠1=58°，那么∠2的度数为 A ．32° B ．58°C ．138°D ．148°主视图 G HBC215. 利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的图形是韞鐸壓剴蒉玮責駭诤責澩颞铕洒宝运艳鴯侩锆苇夾矶钮閨粪魚链赖郸鐋胁婭鹭韉摅怃傘蠣賤篓摻鎩妪幂織蹌竊鹨純閆嗶蘄们鸷針癞滯损堊縶頊昙颟颅錫钦铹練。
A BCD6．整数a 、b 在数轴上对应点的位置如图，实数c 在数轴上且满足a c b ≤≤，如果数轴上有一实数d ，始终满足c +d ≥0，则实数d 应满足A ．d a ≤B ．a d b ≤≤C ．d b ≤D ．d b ≥7. 下面的统计图反映了我市2011-2016年气温变化情况，下列说法不合理的是 A ．2011-2014年最高温度呈上升趋势； B ．2014年出现了这6年的最高温度； C ．2011-2015年的温差成下降趋势； D ．2016年的温差最大.8. 甲、乙两人约好步行沿同一路线同一方向在某景点集合，已知甲乙二人相距660米，二人同时出发，走了24分钟时，由于乙距离景点近，先到达等候甲，甲共走了30分钟也到达了景点与乙相遇.在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x （分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是A ．甲的速度是70米/分；y /年份温度5040302010-20-10201620152014201320122011-15.2-9.2-11.2-14.1-13.7-11.637.838.941.138.23835.9北京市2011-2016年气温变化情况最高气温最低气温baB ．乙的速度是60米/分；C ．甲距离景点2100米；D ．乙距离景点420米.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，两个三角形相似，2,3,1AD AE EC ===,则BD =______.10．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中， 格点上有A 、B 、C 、D 、E 五个点，如果要求连接两个点之后 线段的长度大于3且小于4，则可以连接_______. （写出一个答案即可）11. 如果23a b =，那么22242a b a ab --的结果是 ．12. 小明为了统计自己家的月平均用电量，做了如下记录并制成了表格，通过计算分析小明得出一个结论：小明家的月平均用电量为330千瓦时.请判断小明得到的结论是否合理并且说明理由 __________________________________ ．13. 如图，PC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点P ，AO 交⊙O 于点B ；连接BC ，若∠C =32°，则∠A =_____________ °．14.某小区购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购B买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，求银杏树和玉兰树的单价.设银杏树的单价为x元，可列方程为_________ ．15.图1、图2的位置如图所示，如果将两图进行拼接(无覆盖)，可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋转、轴对称）知识，将图2进行移动，写出一种拼接成矩形的过程_____.16.下图是“已知一条直角边和斜边做直角三角形”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是__________．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26、27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：()201254sin 603π-⎛⎫--++-︒ ⎪⎝⎭．18. 解不等式组：1031+1.xx x ⎧-<⎪⎨⎪-⎩，≤3(）19．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分∠ABC 交AC 边于E ，∠BAC ＝60°，∠ABE ＝25°.求∠DAC 的度数.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x =与反比例函数k y x=（k ≠0）的图象相交于点)A a . （1）求a 、k 的值；（2）直线x =b （0b >）分别与一次函数y x =、反比例函数k y x=的图象相交于点M 、N ，当MN =2时,画出示意图并直接写出b 的值.B21.在矩形ABCD 中，连接AC ,AC 的垂直平分线交AC 于点O ,分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE 和AF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB =4，BC =8，求菱形AECF 的周长．22. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根. （1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k 的取值.23. 如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ．（1）求证：∠D =2∠A ；（2）若HB =2，cos D =35，请求出AC 的长．24.地球环境问题已经成为我们日益关注的问题.学校为了普及生态环保知识，提高学生生态坏境保护意识，举办了“我参与，我环保”的知识竞赛.以下是从初一、初二两个年级随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：初一： 76 88 93 65 78 94 89 68 95 5089 88 89 89 77 94 87 88 92 91初二：74 97 96 89 98 74 69 76 72 7899 72 97 76 99 74 99 73 98 74（1）根据上表中的数据，将下列表格补充完整；整理、描述数据：（说明：成绩90分及以上为优秀，80~90分为良好，60~80分为合格，60分以下为不合格）分析数据：（2）得出结论：你认为哪个年级掌握生态环保知识水平较好并说明理由.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）.25.在正方形ABCD中,4=AC为对角线，AC上有一动点P,M是AB边的中点，连AB cm接PM、PB,设A、P两点间的距离为xcm，PM PB+长度为ycm.小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：PM PB 的长度最小值约为__________cm ．D A26.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =； ③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”， 平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.27. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，2A α∠=，点D 是BC 的中点，DE AB E ⊥于点，DF AC F ⊥于点.（1）EDB ∠=_________°；（用含α的式子表示）（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α︒-，与AC 边交于点N ． ①根据条件补全图形；②写出DM 与DN 的数量关系并证明；③用等式表示线段BM CN 、与BC 之间的数量关系， （用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路.B28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”.（1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图．．．直接．．写出半径r 的取值范围.备用图1 备用图2以下为草稿纸门头沟区2018年初三年级综合练习（一）数学答案及评分参考一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17题-24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分, 第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17．（本小题满分5分） 解：原式921=-+-…………………………………………………………………………4分82 3.=-………………………………………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分） 解不等式①得，x ＜3， ……………………………………………………………………………2分 解不等式②得，x ≥﹣2， ……………………………………………………………………………4分 所以，不等式组的解集是﹣2≤x ＜3． ……………………………………………………………5分 19.解 （本小题满分5分）∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABC =2∠ABE =2×25°=50°， ………2分 ∵AD 是BC 边上的高，∴∠BAD =90°﹣∠ABC =90°﹣50°=40°， …………4分 ∴∠DAC =∠BAC ﹣∠BAD =60°﹣40°=20° ………………5分 20．（本小题满分5分） （1）∵直线y x =与双曲线ky x=（k ≠0）相交于点(3,)A a . ∴3a =，……………………………………………………………………1分∴(3,3)A ∴33=，解得3k =………………………2分 （2）示意图正确………………………………3分yN MA3b =或1 ………………………………5分21. （1）证明：∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，∠AOE =∠COF =90°，……………………1分 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠EAO =∠FCO ， 在△AEO 和△CFO 中，∵∠EAO =∠FCO ，AO =CO ，∠AOE =∠COF ， ∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OE =OF ． ……………2分 又∵OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AECF 是菱形；……………3分（2）设AF =x ，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AF =CF =x ，BF =8﹣x ， ………………………………………4分 在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2，42+（8﹣x ）2=x 2， 解得 x =5，∴AF =5，∴菱形AECF 的周长为20．…………………5分 22（本小题满分5分）解：（1）由题意得，168(1)0k ∆=--≥．………………………………………1分∴3k ≤． ………………………………………2分（2）∵k 为正整数，∴123k =，，．当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零；……………………3分 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根； ……………………4分 当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根.综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．……………5分23. （本小题满分5分） （1）证明：连接OC ，∵射线DC 切⊙O 于点C ， ∴∠OCP =90° ∵DE ⊥AP ，∴∠DEP =90° ∴∠P +∠D =90°，∠P +∠COB =90°∴∠COB =∠D …………………1分 ∵OA =OC , ∴∠A =∠OCA∵∠COB=∠A +∠OCA ∴∠COB =2∠A∴∠D =2∠A …………………2分 （2）解：由（1）可知：∠OCP =90°，∠COP =∠D ，∴cos ∠COP =cos ∠D =35， …………………3分∵CH ⊥OP ，∴∠CHO =90°， 设⊙O 的半径为r ，则OH =r ﹣2． 在Rt △CHO 中，cos ∠HOC =OH OC =2r r =35， ∴r =5， …………………4分∴OH =5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH =4，∴AH =AB ﹣HB =10﹣2=8．在Rt △AHC 中，∠CHA =90°，∴由勾股定理可知：AC =…………………5分24.（1）补全表格正确：初一： 8 …………………………………………1分 众数：89 …………………………………………2分 中位数：77 …………………………………………3分 （2）可以从给出的三个统计量去判断如果利用其它标准推断要有数据说明合理才能得分………………5分 25.（本小题满分6分）（1）5 ……………………………………………………………………1分 （2）坐标系正确 ……………………………………………………3分描点正确 ……………………………………………………4分 连线正确 ……………………………………………………5分（3）4.5 ……………………………………………………………………6分26. （本小题满分7分）（1）解：有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为: (3,2)- 设二次函数表达式为：2(3)2y a x =-- ……………1分 ∵该图象过(1,0)A∴20(13)2a =--，解得12a =……………2分 ∴表达式为21(3)22y x =-- （2）图象正确………………………………………………………3分 由已知条件可知直线与图形“G ”要有三个交点① 当直线与x 轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求 346x x += ……………………………………4分 ∴34511x x x ++＞ ……………………………………5分 ②当直线过21(3)22y x =--的图象顶点时，有2个交点，由翻折可以得到翻折后的函数图象为21(3)22y x =--+ ∴令21(3)222x --+=-时，解得3x =±3x =-6分∴3459x x x +++＜综上所述345x x x ++11＜＜…………7分 27．（本小题满分7分）（1） EDB α∠= ……………………………………………1分 （2）①补全图形正确 ……………………………………2分 ②数量关系：DM DN =…………………………………3分 ∵,AB AC BD DC == ∴DA 平分BAC ∠∵DE AB E ⊥于点，DF AC F ⊥于点∴DE DF = ， MED NFD ∠=∠ ……………………4分 ∵2A α∠=∴1802EDF α∠=︒- ∵1802MDN α∠=︒- ∴MDE NDF ∠=∠∴MDE NDF △≌△ ……………………5分 ∴DM DN =③数量关系：sin BM CN BC α+=⋅……………………6分 证明思路：a.由MDE NDF △≌△可得EM FN =b. 由AB AC =可得B C ∠=∠,进而通过BDE CDF △≌△,可得BE CF = 进而得到2BE BM CN =+Bc.过BDE Rt △可得sin BEBDα=,最终得到sin BM CN BC α+=⋅ ……………7分28．（本小题满分8分）解： (1)①)5,3()5,1(21C C 或. ……………………………………………2分 ②由图可知，B )3,5( ∵A (1,3) ∴AB =4∵ABC ∆为等腰直角三角形 ∴BC =4∴)1,5()7,5(21-C C 或设直线AC 的表达式为(0)y kx b k =+≠ 当)7,5(1C 时，⎩⎨⎧=+=+753b k b k ⎩⎨⎧==∴21b k2+=∴x y …………………………………3分 当)1,5(2-C 时，⎩⎨⎧-=+=+153b k b k ⎩⎨⎧=-=∴41b k 4+-=∴x y …………………………………4分 ∴综上所述，直线AC 的表达式是2+=x y 或4+-=x y (2)当点F 在点E 左侧时：xyFDE O2r ∴≤当点F 在点E 右侧时：r …………………………………7分 综上所述：2r ∴≤ …………………………………8分说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
创历史新高，将数字 13100000 用科学记数法表示为（
）
A．13.1× 106 B．1.31× 107 C． 1.31×108 D． 0.131× 108
3．（3 分）在五张完全相同的卡片上，分别写有数字
卡片的概率是（
）
0，﹣ 1，﹣ 2， 1，3，现从中随机抽取一张，抽到写有负数的
A．
B．
C．
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 17．（ 5 分）如图，点 A、B、 C、 D 在同一条直线上， BE∥DF，∠ A=∠ F， AB=FD．求证： AE=FC．
18．（ 5 分）计算：
．
19．（ 5 分）解不等式组
．
20．（ 5 分）已知 x2﹣ 2x﹣7=0，求（ x﹣ 2） 2+（ x+3 ）（ x﹣ 3）的值．
D．
4．（3 分）在下面四个几何体中，俯视图是三角形的是（
）
A．① B．② C．③ D．④ 5．（ 3 分）已知反比例函数的表达式为
，它的图象在各自象限内具有 y 随 x 增大而减小的特点，那么 k 的取
值范围是（
）
A． k＞1 B． k＜ 1 C． k＞ 0 D． k＜ 0
6．（3 分）如图，直线 AB∥ CD， BE平分∠ ABC，交 CD 于 D，∠ CDB=30°，那么∠ C 的度数为（
．
13．（ 3 分）因式分解： ax2﹣ 10ax+25a=
．
14．（ 3 分）如图是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点
P 处水平放置一面平面镜，光线从点 A 出发
经平面镜反射后刚好射到城墙 CD的顶端 C 处，已知 AB⊥BD， CD⊥BD，AB=1.2 米， BP=1.8 米， PD=12 米，那么该
城墙高度 CD=
米．
15．（ 3 分）学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：
“已知一个等腰三角形的周长是 12，
其中一条边长为 3，求另两条边的长 ”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手讲：
“另两条边长为 3、6 或
4.5、 4.5 ”，你认为小明回答是否正确：
，理由是
．
16．（ 3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=﹣ x2﹣ 2x 图象位于 x 轴上方的部分记作 F1，与 x 轴交于
）
A．120 °B． 130 °C． 100 °D． 150 °
7．（3 分）小明同学在社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用水量，如下表所示：
月用水量（吨）
3
4
5
7
8
9
10
户数
4
2
3
6
3
1
1
则这 20 户家庭该月用水量的众数和中位数分别是（
）
A．5， 7 B． 7， 7 C． 7，8 D． 3， 7 8．（ 3 分） 如图， ⊙ O 的直径 AB 与弦 CD（不是直径） 交于点 E，且 CE=DE，∠A=30°，OC=4，那么 CD的长为 （ ）
2015 北京市门头沟区初三（一模）数
学
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（3 分）﹣ 5 的倒数是（
）
A．5 B．
C．﹣ 5 D．
2．（3 分） 2014 年 3 月 5 日，李克强总理在政府工作报告中指出： 2013 年全国城镇新增就业人数约 13100000 人，
，m=
（ 2）根据以上信息，补全条形统计图；
（ 3） 2014 年 1 月末，某市有机动车的私家车车主约
； 200 000 人，根据上述信息，请你估计一下持有 “影响不大 ”这
4 / 20
种态度的车主约有多少人？ 25．（ 5 分）如图，在△ ABC 中， AB=AC，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，过点 D 作⊙ O 的切线 EF，交 AB 和 AC 的延长线于 E、 F． （ 1）求证： FE⊥ AB； （ 2）当 AE=6，sin∠ CFD= 时，求 EB的长．
距上班地点 18 千米，他乘公交平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的
2 倍还多 9 千米，他从
家出发到达上班地点，乘公交所用时间是自驾车所用时间的
，问李明自驾车上班平均每小时行驶多少千米？
四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 23．（5 分） 如图，菱形 ABCD的对角线 AC和 BD 交于点 O，分别过点 C、D 作 CE∥ BD，DE∥ AC，CE和 DE 交于点 E． （ 1）求证：四边形 ODEC是矩形； （ 2）当∠ ADB=60°， AD=2 时，求 tan∠ EAD 的值．
x，
电子蜘蛛与记录仪之间的距离为 y，表示 y 与 x 函数关系的图象如图 2 所示，那么记录仪可能位于图 1 中的（
）
A．点 M B ．点 N C．点 P D．点 Q 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）
11．（ 3 分） 5 的算术平方根是
．
12．（ 3 分）当分式
的值为 0 时， x 的值为
2 / 20
点 P1 和 O；F2 与 F1 关于点 O 对称， 与 x 轴另一个交点为 P2；F3 与 F2 关于点 P2 对称， 与 x 轴另一个交点为 P3；…．这
样依次得到 F1，F2，F3 ，…，Fn，则其中 F1 的顶点坐标为
，F8 的顶点坐标为
，Fn 的顶点坐标为
（n
为正整数，用含 n 的代数式表示） ．
24．（ 5 分） 2014 年 1 月 10 日，国内成品油价格迎来了首次降低，某调查员就 有机动车的私家车车主进行了问卷调查，并制作了统计图表的一部分如下：
车主的态度
百分比
A．没有影响
4%
B．影响不大
p
C．有影响
52%
D．影响很大
m
E．不关心这个问题
10%
“汽油降价对用车的影响 ”这一问题向
（ 1）结合上述统计图表可得： p=
21．（ 5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k﹣ 2=0 有两个不相等的实数根． （ 1）求 k 的取值范围； （ 2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
3 / 20
22．（ 5 分）列方程或方程组解应用题：
北京快速公交 4 号线开通后，为响应 “绿色出行 ”的号召，家住门头沟的李明上班由自驾车改为乘公交．已知李明家
1 / 20
A．
B． 4 C．
D．8
9．（3 分）如图是某一正方体的展开图，那么该正方体是（
）A．B． NhomakorabeaC．
D．
10．（ 3 分）如图 1，一个电子蜘蛛从点 A 出发匀速爬行， 它先沿线段 AB 爬到点 B，再沿半圆经过点 M 爬到点 C．如
果准备在 M 、N、P、Q 四点中选定一点安装一台记录仪，记录电子蜘蛛爬行的全过程．设电子蜘蛛爬行的时间为