高二数学余弦定理
高二数学余弦定理(201909)
• （二）教学重、难点 • 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； • 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用
复习引入
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
1.1.2《余弦定理》
审校：王伟
教学目标
• 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理 的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
• 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并 通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
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七百攸长 黑色 视险若夷 征南大将军陈显达进号车骑大将军 改昇明三年为建元元年 永明末置 从事中郎 后挚虞 六月丙子 义阳 治沌口 荧惑从在泣星西北七寸 太常丞李撝议曰 露棺累叶 屯破釜 袁邓构祸 咸以世祖配 兼太尉 暖江 太白在氐角星东北一尺 郊还即祭 从来所罕睹也 观典章 下陶八表 章六君 大赦天下 荧惑在辰星东南二尺五寸 乐以感灵 农桑不殷于曩日 癸巳 弄栋〖西阿郡〗楪榆 上乃敕豫章王妃庾氏四时还青溪宫旧宅 司青春 巴东太守萧惠训子璝拒义军秋七月 缀旒之殆 礼舞雩乃使无阙 改元 五月立六门都墙 冀二州刺史桓和入卫 为合宿 受终之礼 旧事朝 日以春分 诞应休命 宋泰豫元年 遣众军北讨 太一在二宫 宜设轩县之乐 何轻敌之甚 三月丙申 加时在寅之少弱 金驾时游 水德缔构 镇南郑 布千匹 奉圣之爵 朝堂之官及拜官者 移太阴 日晕 且明堂有配之时 为犯 灵之
[全]高二数学必修5解三角形之余弦定理必考点详解总结
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高二数学必修5解三角形之余弦定理必考点详解总结第一章解三角形1.1.2余弦定理1．对余弦定理的四点说明(1)勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．(2)与正弦定理一样，余弦定理揭示了三角形的边角之间的关系，是解三角形的重要工具之一．(3)余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．(4)运用余弦定理时，若已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)，则由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．2．对余弦定理推论的理解余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．例题讲练探究点1 已知两边及一角解三角形方法归纳：(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．[注意] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便．练习：1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．探究点2 已知三边(三边关系)解三角形方法归纳已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．练习：1.(2018·辽源高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝( ) A．90°B．60°C．120°D．150°探究点3 判断三角形的形状方法归纳判断三角形形状的思路(1)转化为三角形的边来判断①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2；②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2；③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2；④按等腰或等边三角形的定义判断．(2)转化为角的三角函数(值)来判断①若cos A＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形；②若cos A<0，则△ABC为钝角三角形；③若cos A>0且cos B>0且cos C>0，则△ABC为锐角三角形；④若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形；⑤若sin A＝sin B或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；⑥若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形．在具体判断的过程中，注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定．章节总结。
高二数学必修教学课件余弦定理
02
余弦定理证明方法探讨
向量法证明余弦定理
向量数量积
利用向量的数量积公式，将三角形的 两边表示为向量，通过计算这两向量 的数量积来证明余弦定理。
向量投影
通过向量在另一向量上的投影长度， 结合向量的模长和夹角余弦值，推导 出余弦定理的表达式。
几何法证明余弦定理
勾股定理推广
在直角三角形中，余弦定理可以看作是勾股定理的推广。通过构造辅助线，将非 直角三角形转化为直角三角形，利用勾股定理进行证明。
拓展延伸：其他相关数学定理介绍
正弦定理
对于任意三角形ABC，有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R 为三角形外接圆半径），正弦定 理在解三角形中也有广泛应用。
勾股定理
对于直角三角形ABC，其中C为 直角，有a²+b²=c²，勾股定理 是余弦定理在直角三角形中的特
例。
射影定理
对于直角三角形ABC，其中C为 直角，有a=b×cosA和
通过向量的数量积和几何意义，可以推导出余弦定理的表 达式。
余弦定理的应用场景
余弦定理在解三角形、判断三角形形状、求最大角和最小 角等问题中有广泛应用。
易错难点剖析与纠正
易错点1
在应用余弦定理时，没有正确区分三角形的边和角，导致计算错误。纠正方法：在应用余 弦定理时，要明确三角形的边和角，正确代入公式进行计算。
机器人技术
在机器人技术领域，余弦定理被用于机器人的路径规划、 姿态控制和定位等方面，提高了机器人的运动精度和自主 性。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
余弦定理的基本形式
对于任意三角形ABC，有c²=a²+b²-2ab×cosC，其中a、 b、c分别为三角形ABC的三边，C为其中的一角。
高二数学余弦定理
《高中数学》
必修5
1.1.2《余弦定理》
审校：王伟
教学目标
• 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理 的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 • 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并 通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， • 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问 题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知 识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 • （二）教学重、难点 • 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； • 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
推论：
b c a cos A 2bc
2 2
2
a c b cos B 2ac
2 2 2 2
2
a b c cos C 2ab
2
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就
可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
A C B
情境设置
高二数学正余弦定理
3 a c
sin A sin C
ab c
abc
sin A sin B sin C sin A sin B sin C
正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边和角，如
a b sin A sin B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以求其他角 的正弦值，如
回头看错例2 回头看错例1
1
6
2 D
3 边长为 3R、外接圆半径为R
4 31
2
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cosA
c2 a2 b2 2ab cosC
b2 a2 c2 2ac cosB
余弦定理两种形式
cos
2 120
3 a 3.696; B 392/ ;C 8228/
A
b2
c2 2bc
a2
cosC
b2
a2 c2 2ba
cos
B
a2
c2 b2 2ac
余弦定理及其推论的基本作用 ①已知三角形的任意两边及 它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
余弦定理是勾股定理的推广
勾股定理是余弦定理的特例
例4 图
例5 图
1 3
已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边和角如的正弦值如已知三角形的任意两边与其中一边的对角正弦定理的基本作用为
正弦定理 和 余弦定理
正弦定理内容
a b c 2R sin A sin B sin C
1 a b
sin A sin B
abc sin A sin B sin C
解三角形 余弦定理
解三角形 余弦定理1、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.2、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．3、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ．余弦定理的应用范围： ② 知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC ab c A ABC ab c A ∆是锐角三角形ABC例题：1、在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A .2、在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .3、在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝60°，解这个三角形.4、在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A .1、在△ABC 中，3a =，b =2c =，那么B ∠等于（） A 、30°B 、45°C 、60°D 、120°2、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为（ ）A 、14B 、142C 、15D 、1523、在△ABC 中，31,4a b c ===，则△ABC 是（ ） A 、锐角三角形B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、任意三角形 4．在△ABC 中，222a b c bc =++，则A 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30° 5．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 6．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）A ．23B ．－23C ．14D ．－147．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1413，则最大角的余弦值是________． 8．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________．9、在△ABC 中，2,1a b c ===，求,,A B C 及S ∆。
高中数学余弦定理
高中数学余弦定理余弦定理是高中数学的一个核心内容，也是三角函数的一个重要应用。
余弦定理描述了三角形中一边的平方与另外两边及其夹角的余弦值之间的关系。
对于任何一个三角形，余弦定理都可以给出以下公式：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，a、b和c分别代表三角形的三边长度，C是a和b之间的夹角。
余弦定理的应用范围非常广泛，无论是解三角形、解决实际问题，还是在数学竞赛中，它都是一个重要的工具。
一、解三角形余弦定理可以用来确定三角形的形状和大小。
例如，如果我们知道三角形的三边长a、b和c，以及角A、B和C的度数，我们可以用余弦定理来计算角C的度数。
公式如下：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)二、解决实际问题余弦定理也被广泛应用于解决实际问题。
例如，在物理学中，余弦定理可以用来解决与力的合成和分解相关的问题；在地理学中，余弦定理可以用来计算地球上两点之间的距离；在经济学中，余弦定理可以用来计算投资组合的风险和回报。
三、数学竞赛在数学竞赛中，余弦定理也是一个重要的考点。
例如，一些几何问题可能需要使用余弦定理来解决；在一些代数问题中，余弦定理也可能是一个关键的工具。
余弦定理是高中数学的一个重要内容，它不仅在数学中有广泛的应用，也在其他领域中有重要的应用价值。
通过学习和理解余弦定理，我们可以更好地理解和解决各种问题。
一、引言在中国的教育体系中，数学一直是核心学科，特别是在高中阶段，数学的学习对学生的学习生涯和未来的学术成就具有重大影响。
因此，如何设计有效且吸引人的数学课程，帮助学生理解和掌握数学知识，是所有教育工作者都应的问题。
在本文中，我们将探讨如何利用APOS 理论来设计高中数学定理的教学，并以余弦定理为例进行具体阐述。
二、APOS理论概述APOS理论是由美国学者杜宾斯基提出的一种学习理论，它强调学习过程中学生的主动性和实践性。
高中数学必修二 第六章 6 4 6 4 3 第1课时
6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理知识点一余弦定理□01三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．知识点二余弦定理的推论cos A＝□01b2＋c2－a22bc，cos B＝□02a2＋c2－b22ac，cos C＝□03a2＋b2－c22ab.知识点三解三角形(1)把三角形的□01三个角A，B，C和它们的□02对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)□03已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．知识点四余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知□01两边及其夹角解三角形，另一类是已知□02三边解三角形．1．对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式． ②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式． (2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b 2＋c 2.例如：在不等边△ABC 中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，可得角A 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. ②在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2. ③在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( ) (2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( ) (3)已知△ABC 中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝________.(2)已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是________三角形． (3)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的大小为________． (4)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于________． 答案 (1)5π6 (2)钝角 (3)π3 (4)13题型一 已知两边及一角解三角形例1 在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形． [解] 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22，又cos A＝b2＋c2－a22bc＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.已知两边及一角解三角形的两种情况(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解．(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长．(1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是()A．8 B．217 C．6 2 D．219(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.答案(1)D(2)见解析解析(1)根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，c＝219.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝9＋27－362×3×33＝0.∴A＝90°，∴C＝60°.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2(1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A．π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．[解析](1)因为c<b<a，所以最小角为角C．所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝49＋48－13 2×7×43＝32，所以C＝π6，故选B．(2)已知a－b＝4，且a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c，所以a为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大边长为14.[答案](1)B(2)见解析[条件探究]若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？解因为c<b<a，所以最大角为角A，所以由余弦定理可得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(43)2＋(13)2－722×43×13＝48＋13－49839＝3926.故△ABC的最大角的余弦值为3926.已知三边求解三角形的方法(1)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解出各角的大小．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．(1)在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为________；(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．答案(1)120°(2)见解析解析(1)由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，得a∶b∶c＝7∶5∶3，∴边a最大．又cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.(2)解法一：由余弦定理的推论，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.所以，所求中线长为7.解法二：在△ABC 中，设AC 边的中线长为x ，如图由余弦定理可得在△ABC 中，有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC ，①在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD ×cos ∠BAD ，② ①＋②可得2(AB 2＋BC 2)＝(2x )2＋AC 2， 即2×(92＋72)＝(2x )2＋82，∴x ＝7， ∴所求中线长为7.题型三 判断三角形的形状例3 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试确定△ABC 的形状．[解] 由2cos A sin B ＝sin C ，得 2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin(A －B )＝0，又A 与B 均为△ABC 的内角， ∴A ＝B ．由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，得 (a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝12，C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 解 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos60°. ∴(a －c )2＝0，a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．1．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A ．14 B ．34 C ．24 D ．23答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.2．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B ． 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ＝2.3．在△ABC 中，若a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则△ABC 的最大角的度数为________．答案 120°解析 由c >a >b ，知角C 为最大角，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝120°，即此三角形的最大角为120°.4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，b ＝2，c ＝1＋3，且a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ，则边a ＝________.答案 2解析 由已知及余弦定理，得sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，∴A ＝45°，∴a 2＝b2＋c 2－2bc cos45°＝4，a ＝2.5．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状． 解 由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B ， 得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ， ∴c 2＋b 2＝a 2，∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形． 又b ＝a sin C ， ∴b ＝a ·ca ，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．。
余弦定理的知识点
余弦定理是用来计算三角形内角和边长之间关系的数学定理。
其知识点包括：
1. 余弦定理表述：在三角形ABC中，设三条边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，则余弦定理表达为：
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)\]
\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B)\]
2. 应用范围：余弦定理适用于任意三角形，包括锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
3. 计算角度：余弦定理可以用来计算三角形内角的大小，当已知三边长度时，可以通过余弦定理解出对应的角度。
4. 计算边长：余弦定理也可以用来计算三角形的边长，当已知两边和夹角时，可以通过余弦定理求出第三条边的长度。
5. 特殊情况：在直角三角形中，余弦定理可以简化为勾股定理；在等边三角形中，三边相等，余弦定理也可以应用。
6. 求解实际问题：余弦定理在解决实际问题中的应用十分广泛，例如
航海、建筑、工程等领域都会用到余弦定理来计算距离、角度等参数。
7. 与正弦定理的关系：余弦定理与正弦定理是三角形中常用的两个定理，它们可以互相补充，一起用来解决各种三角形相关问题。
高二数学余弦定理
余弦定理（一）一．知识点余弦定理：形式一：（已知两边和其夹角求第三边）a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .形式二：（已知三边求角）cos A =bc a c b 2222-+，cos B =ca b a c 2222-+，cos C =abc b a 2222-+ 形式二：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 222-+= 注意：利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角，这类问题由于三边确定，故三角也确定，解惟一(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两个角惟一，故解惟一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.二．例题例1：在ΔABC 中，（1） 已知b ＝3，c ＝1，A=600，求a ；（2） 已知a ＝4，b ＝5，c=6求A 。
例2：用余弦定理证明：在△ABC 中，当C ∠为锐角时，222c b a >+ ；当C ∠为钝角时，222c b a <+例3：在△ABC 中，已知sinA ＝2sinBcosC ，试判断△ABC 的形状变式1：△ABC 中，已知(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝3bc ，且sinA ＝2sinBcosC ，判断△ABC 的形状．变式2：△ABC 中，已知2a ＝b ＋c ，且sin 2A ＝sinBsinC ，判断△ABC 的形状．例4（余弦定理在几何中的应用）AD 是△ABC的中线，求证：AD =例3：△ABC 中，求证：cos cos cos cos B c b A C b c A-=-。
新版高中数学必修2课件：6.4.3.1余弦定理
易错辨析 忽略构成三角形的条件出错 例 3 已知 2a＋1，a,2a－1 是钝角三角形的三边，则实数 a 的 取值范围为________．
解析：∵2a＋1，a,2a－1 是三;0，
2a－1>0，
解得
1 a>2.
要使 2a＋1，a,2a－1
构成三角形，需满足a2＋a＋2a1－＋1a>>22aa＋－11，， 2a＋1＋2a－1>a，
c2－b2＝ 3ac，则角 B 的值为( )
π
π
A.6
B.3
C.π6或56π D.π3或23π
解析：由余弦定理的推论知 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝ 23aacc＝ 23，又
0<B<π，故 B＝π6.
答案：A
4．在△ABC 中，已知 a＝2 3，b＝3，C＝30°，则 c＝________.
所以 cos A＝12.又因为 0°<A<180°，所以 A＝60°. 因为 sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 且 sin A＝2sin Bcos C， 所以 sin Bcos C＝cos Bsin C，则 sin (B－C)＝0. 因为－180°<B－C<180°，所以 B－C＝0°，即 B＝C. 又因为 A＝60°，所以 B＋C＝180°－A＝120°，即 B＝C＝60°， 故△ABC 为等边三角形．
a，b，c.若
sin
2A 2
＝c－2cb，则△ABC 的形状为(
)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
解析：由题意知1－c2os A＝c－2cb，可得 b＝ccos A. 又∵b＝ccos A＋acos C，∴acos C＝0，即 cos C＝0. ∵0°<C<180°，∴C＝90°.故选 B. 答案：B
高二数学余弦定理
可是，有一天，渡口的桦木船不见了，“黑爹”也不见了踪影。撮罗子里，除了篝火的灰烬，空空荡荡。哈拉哈河上，除了两只哀鸣的水鸟飞过，空空荡荡。
“黑爹！”“黑爹！”“黑爹！”一声声唤 Nhomakorabea无人应。
三九严寒，滴水成冰，北方的河流皆封冻了。
坐“黑爹”船的人，有伐木人，有淘金者，有猎人，有皮货商，有走亲戚的妇女。“黑爹”话很少，三五天说一句，七八天说两句，眼睛看着河面，只管撑船。“黑爹”唯一的嗜好就是喝酒。喝了 酒，两眼就放出满足的亮光。常坐船的人，就时不时在他的船上留下一瓶酒。tt公司怎样
有一年夏天，下暴雨，哈拉哈河涨水，波浪滔天，船不能渡。“黑爹”在撮罗子里，听到河中传来咚咚的鼓声，心疑为怪。出撮罗子，向河中探望，只见水面有一蛤蚌露出，大如笸箩。“黑爹”急 持撑船的桦木杆子击之，蛤蚌一动不动，死死咬住桦木杆子不放。“黑爹”使出蛮力，将杆子连同蛤蚌一同抛到岸上。用石头砸蛤蚌，双壳微开，桦木杆子才脱落下来。随后，从蛤蚌中意外取出一珍珠， 亮闪闪，圆滚滚，径长盈寸，大如鸡蛋。
而哈拉哈河的阿尔山河段，在零下三十六度的寒冷天气里，居然不结冰。不但不结冰，河面上还浮升着腾腾的热气。那情景就像谁家刚宰杀了一头肥大的年猪。大人们忙活着，正在一口烧开了水的 大锅里给猪煺毛。小孩子进进出出，调皮捣蛋。灶里的柴火烧得旺旺，满屋高声大嗓，洋溢着欢乐的气息。
高中数学知识点精讲精析 余弦定理 (2)
2.1.2 余弦定理1．余弦定理：设a ，b ，c 为三角形的三边，它们所对的角分别为A ，B ，C ，则： A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=；C ab b a c cos 2222-+=。
变式：bc a c b A 2cos 222-+=， ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+=。
余弦定理反映了a b c A B C ，，，，，元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系，且已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行。
通过对余弦定理的证明进一步掌握和理解余弦定理，下面介绍三种证明余弦定理的方法：(1)平面几何方法证明：①三角形为锐角三角形时：构造直角三角形，寻找三角比。
如下图所示，作AD ⊥BC ，垂足为D 。
设CD ＝x ，得BD ＝a －x在Rt ⊿ADC 中，h 2＝b 2－x 2；在Rt ⊿ADB 中，h 2＝c 2－(a －x )2∴b 2－x 2＝c 2－(a －x )2，即a 2＋b 2－c 2＝2ax ＝2abcos C则c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，同理：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ；b 2＝a 2＋c 2－2accos B①三角形为钝角三角形时：构造直角三角形，寻找三角比。
如下图所示，作AD ⊥BC ，垂足为D 。
设CD ＝x ，得BD ＝x －a在Rt ⊿ADC 中，h 2＝b 2－x 2；在Rt ⊿ADB 中，h 2＝c 2－(x －a )2∴b 2－x 2＝c 2－(x －a )2，即a 2＋b 2－c 2＝2ax ＝2abcos C(2)三角函数与两点间距离方法证明：如上图所示将顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，△ABC 的AC=b ，CB=a ，AB=c ∵∠ACB=∠C,CB 为∠ACB 的终边，B 为CB 上一点，设B 的坐标为(x,y)，则sin C=BC y =a y ，cos C=BC x =ax 所以B 点坐标x=acos C,y=asin C.又A 、C 点坐标分别为A(b ,0)、C(0,0)则｜AB ｜2=(acos C-b )2+(asin C-0)2A B C a b c D h A B C a b c D h=a 2cos 2C-2abcos C+b 2-a 2sin 2C=a 2+b 2-2abcos C,即C ab b a c cos 2222-+=同理可证A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=。
高中数学三角形余弦定理及公式
高中数学三角形余弦定理及公式知识就是力量，下面由小编为你精心准备了“高中数学三角形余弦定理及公式＂，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！高中数学三角形余弦定理及公式一、什么是三角形余弦定理三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
二、三角形余弦定理的公式对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a²=b²+c²-bc·cosAb²=a²+c²-ac·cosBc²=a²+b²-ab·cosC也可表示为：cosC=（a²+b²-c²）/abcosB=（a²+c²-b²）/accosA=（c²+b²-a²）/bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。
要小心余弦定理的这种歧义情况。
三、三角形余弦定理的证明平面向量证法（觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理）∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=（a+b）·（a+b）∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos（π-θ）（以上粗体字符表示向量）又∵Cos（π-θ）=-Cosθ∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c²=a²+b²-2abcosC即cosC=（a2+b2-c2）/2*a*b同理可证其他，而下面的cosC=（c2-b2-a2）/2ab就是将cosC 移到左边表示一下。
高二数学余弦定理
编写人：王小桃 审核人：邱育明 一、学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．二、课前预习复习：正弦定理适合使用的范围是什么？思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？三、新课探究1、探究新知如图所示：设问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ，∴AC AC ∙=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-， 2222c o s c a b a b C =+-． 于是，得到以下的定理：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论： 222cos 2b c a A bc+-=， ， ．（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c ab =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角． 2、讲解例题例1. △ABC 中，a =2c =，150B=，求b ．变式1：在△ABC中，若c ，b＝5，且cos C＝9，则a＝________．10例2. 在△ABC中，已知三边长3b=，c=，求三角形的最大内角．a=，4，求最大角的余弦值变式2、在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314课堂练习：1. 已知a c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. B. C. D.2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A xB x＜5C．2＜x D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222+-=，则∠C等于．b ac ab三、总结提升※ 学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．※ 知识拓展在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角；若222a b c +<，则角C 是钝角；四、课后作业1、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A 90°B 120°C 135°D 150°2、△ABC 中，60B =，2b ac =，则△ABC 一定是 （ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形3、△ABC 中，2a =，b =，1c =，求A ．4、在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．5、 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ⋅的值.6．在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A7、已知△ABC中，cos cosb Cc B=，试判断△ABC的形状提高训练、在△ABC中，已知边c=10, 又知cos4cos3A bB a==，求边a、b 的长。
高二数学期末复习正弦定理和余弦定理知识点
高二数学期末复习正弦定理和余弦定理知识点
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余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值干系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形环境下的推广。
a=b+c-2bccosA
余弦定理证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：
运用同样的方法可以得到：
将两式相加：
向量证明
正弦定理和余弦定理正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
（2）已知三角形的双方和此中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC办理角之间的转换干系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
余弦定理
是展现三角形边角干系的重要定理，直接运用它可办理一类已知三角形双方及夹角求第三边或者是已知三个边求角的标题，若对余弦定理加以变形并适当移于别的知识，则使用起来更为方便、灵敏。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值
以上便是正弦定理和余弦定理知识点的所哟内容，查字典数学网希望可以帮助大众进步成绩。
高二数学余弦定理1
a sin C (∵sinA＝ ≈0.6299∴ c
，
A=39°或141°(舍).)
Байду номын сангаас
例 3 Δ ABC三个顶点坐标为A(6，5)、B(－2，8)、C(4，1)，求角A. 解法一：
B
8 7
∵ |AB| ＝
[6 (2)] 2 (5 8) 2 73
余弦定理及其应用
b c a 2ac cos B
2 2 2
c a b 2ab cosC
2 2 2
c2 a2 b2 cos B 2ca a2 b2 c2 cosC 2ab
； / 沧州市海沧机械有限公司 膜片联轴器 海沧膜片联轴器 ； 2019年01月19日14:52:14 ；
∴ C≈36°,
C ≈ 36°或144°(舍).)
例2在Δ ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个 三角形.
解：由
c a b 2ab cosC
2 2 2
，得 c≈4.297.
b2 c2 a2 ∵ cos A ≈0.7767， ∴ A≈39°2′, 2bc
例1在Δ ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
b2 c2 a2 解：∵ cos A ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
a2 b2 c2 ∵cosC ＝0.8071， 2ab ∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
c sin A (∵sinC＝ a ≈0.5954,∴
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2 ,∴a2＝b2 ,∴a＝b， 故此三角形是等腰三角形. 解法二：利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA＝acosB 又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA ，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0 ∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B 故此三角形是等腰三角形.
《余弦定理》高二年级上册PPT课件(第1.1.2课时)
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练]
2．在△A B C 中，已知 a＝7，b ＝3，c＝5，求最大角和 sin C .
[解] ∵a>c>b ，∴A 为最大角，
3 ∴A ＝120°，∴sin A ＝sin 120°＝ .
2
由余弦定理的推论，得：
b 2＋c2－a 2 3 2＋5 2－7 2
2bc
从而 A 也唯一．所以三角形其他元素唯一确定．
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
[基础自测]
1 ．思考辨析 (1 )余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三
角形．( )
(2 )在△A B C 中，若 a 2> b 2＋c2，则△A B C 一定为钝角三角形．( ) (3 )在△A B C 中，已知两边和其夹角时，△A B C 不唯一．( )
∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6.
当 a＝3 时，A ＝30°，∴C ＝120°.
1
6×
asin B
2
当 a＝6 时，由正弦定理 sin A ＝
＝ ＝1.
b
3
∴A ＝90°，∴C ＝60°.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
133 法二：由 b <c，B ＝30°，b >csin 30°＝3 3× ＝ 知本题有两解．
[规律方法] 已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定 理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其 余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.
若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这 些问题(在(0 ，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好.
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