虚位移原理(一)剖析
虚位移原理1.pdf
f (ri ) 0, i 1, 2, , n； 1, 2, , s
以积分的约束
y
非完整约束 — 约束方程包含质点速度、且约束方程不可
i ) 0, i 1, 2, , n； 1, 2, , s f ( ri , r
3n-s 6n-s
2n-s 3n-s
双摆
单摆
(约束: xo=0, yo=0)
按质点系(A , B): 2×2 - 2 = 2 按刚体系(OA, AB): 3×2 - 4 = 2
(约束: xol1=0, yol1=0; xAl1=xAl2, yAl1=yAl2)
判断自由度数的 实用方法:
① 固定质点系中任意质点 或刚体的任一方向的运动， 若其他质点和刚体都不会运 动，则自由度为1，如图；
双面约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。 单面约束 —— 约束方程可以写成不等式的约束。
O l A A0 y x O x
单面约束还是双面约束？ 约束方程？ l
A A0 y
x y l (双面约束)
2 2 2
x 2 y 2 l 2 (单面约束)
完整约束与非完整约
完整约束 — 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速
虚位移(功)原理
Principle of Virtual Work
自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等 等）只取决于作用力和运动的起始条件 ——其运动称为自由运动 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预 先给定的限制（运动的起始条件也要满足这些 限制条件） ——其运动称为非自由运动
约束(Kinematic Constraints) 的运动学分类
虚位移与虚位移原理
虚位移与虚位移原理虚位移与虚位移原理2010-04-22 10：528.2.1虚位移为了便于理解虚位移的概念，现把虚位移和实位移进行对比阐述。
1实位移--位置函数的微分实位移是质点系在微小的时间间隔内实际发生的位移，可用位置函数的微分表示。
设由n个质点组成的完整约束系统，其自由度为k，选取一组广义坐标，则每个点的位置可用其位置矢径表示。
满足该质点系的约束方程，取其微分(8-4)式(8-4)中，是满足约束条件的增量，是系统受不平衡力系作用而实际发生的微小位移，由动力学方程和运动初始条件确定。
由上式得到的不但是约束许可的，而且其大小和方向还满足运动的初始条件，并有一组惟一的值，称为质点系的一组实位移，而称为质点系的一组广义实位移。
2虚位移--位置函数的变分虚位移是质点系在某瞬时发生的一切为约束允许的微小位移，可用位置函数的变分表示。
(8-5)与实位移不同，虚位移是约束许可的，与主动力和运动初始条件无关的，不需要经历时间的假想微小位移。
在某一时刻，质点的虚位移可以有多个。
系统静平衡时，实位移不可能发生，而虚位移则只要约束允许即可发生。
是质点系的一组虚位移，而称为质点系的一组广义虚位移。
在定常约束下，实位移一定是虚位移中的一个。
如图8.6所示单摆，虚位移可为和，而实位移仅为其一。
但在非定常约束下，实位移一般不可能是虚位移中的一个，如图8.2中所示小球，其实位移中，摆长随时间变化，而虚位移是在固定时刻，摆长不变时的位移，二者显然不同。
思考8-3①试画出思考8-1图(a)中质点B以及图(b)中套筒D的实位移和虚位移。
②试画出图8.5中双摆的虚位移。
3虚位移的计算计算质点系中各点的虚位移以及确定这些虚位移之间的关系涉及质点系的位形变化，内容十分广泛。
这里主要针对定常完整约束的刚体系统，介绍通常采用的几何法与解析法。
例8.1试确定图所示曲柄连杆机构中，A，B两点虚位移之间的关系。
解①几何法。
此处可用求实位移的方法来确定各点虚位移之间的关系。
理论力学教学材料-10虚位移原理
弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述 虚位移原理的基本理论 虚位移原理的推论与结论 虚位移原理的实例分析 虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。
15.虚位移原理
§15 – 1 约束 . 虚位移 . 虚功
1. 约束及分类 约束: 限制物体运动的条件 约束的分类: ( 1 ) 几何约束 – 约束方程 表示为空间坐标的函数. 运动约束 – 约束方程中含有空间坐标对时间的导数 y B r A B、C 点的约束方程:
L
xB yB r
2 2
2
C x
(xC x B ) y B L
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
l 4
Q q l 4 800 N
设E 处有一向上的虚位移rE ,
F E rE M
2 l 1 4
F
rE
l 2
i
r i 0
0
Q
rE 4
FE M
Q
0
F E 250 N
例五.( 例15 – 4 ) 图示机构, 不计各构件自重和各处摩擦, 求机构在图示位置平衡 时, 主动力偶 矩M 与主动力F之间的关系. 图中 和h为已知. A 解: 设B 点有一虚位移rB, 则B 点的牵连虚位移为
re rB sin
re
rB
90º B C h
F
M
O
rr
而AB 杆绕O 点的虚角位移
re OB r B sin
2
h
由虚位移原理:
M
M F rB 0
r B sin
2
h
F rB 0
2
F
M h
2 2
2
yC 0
y
A点的约束方程: A
yA r xA r
关于虚位移与虚位移原理──分析力学扎记之一
关于虚位移与虚位移原理──分析力学扎记之一
虚位移是分析力学中的一个非常有用的概念，它是一种现有的变形模型，可以帮助我们确定结构或体系在受力时的变形情况。
这种模型不仅在工程结构方面，还在许多行业中都用于解决实际应用中的问题。
下面我们就先详细来讲一讲虚位移的原理以及如何使用它。
虚位移的原理很简单，实质上就是计算受力情况下的位移的一种方法。
它的基本原理是，当给结构施加一个力时，每一点将受到一个同等的位移，但这个位移的方向会受到受力的方向的影响而不同。
虚位移的优点是它可以简化计算过程，减少计算量，并可以保证生成的数据准确可靠。
虚位移的具体使用方法首先要明确以下三点：一是确定施加力的方向；二是确定施加力的大小；三是确定每一点体系的位置。
接下来，我们就可以定义每一点在该力作用下的位移。
从定义上来看，虚位移是一个矢量，它由三个分量构成，包括弯杆方向的位移，即径向、轴向和切向位移三个方向。
比如一个弯杆受拉力，应用虚位移的话，拉力的方向已经确定，只需根据方向乘以施加的力的大小定义弯杆上每个点的位移，最终就可以定义出结构的变形情况。
总而言之，可以说虚位移的运用可以大大提高工程结构分析时的计算效率，并可以更好地解决实际应用中的问题。
根据虚位
移原理，我们可以通过求解和分析，正确准确地得出结构在受力情况下的变形情况。
虚位移法的原理与应用
虚位移法的原理与应用1. 简介虚位移法（Virtual Displacement Method）是一种经典的结构力学分析方法。
它基于平衡原理和位移相容性原理，用虚位移原理来求解结构受力和变形问题。
本文将介绍虚位移法的原理以及其在实际工程中的应用。
2. 虚位移法的原理虚位移法的基本思想是，一个静力学问题可以通过最小化系统总势能来得到结构的相应。
虚位移法假设结构的位移场可以通过一个虚位移函数来表达，在满足边界条件的情况下，构建系统的虚功原理，可以得到结构的平衡方程。
具体来说，虚位移法的原理包括以下几个步骤：2.1 建立虚位移函数首先，建立一个虚位移函数，其满足边界条件以及位移相容性。
虚位移函数通常是一个多项式或三角函数形式。
2.2 计算系统总势能利用虚位移函数和受力情况，计算系统的总势能，可以通过对虚功原理的应用来得到。
2.3 最小化总势能将系统总势能对虚位移函数的系数进行变分，并令其为0，得到一组代数方程。
解这组方程可以得到结构的平衡方程。
2.4 求解结构响应由平衡方程，可以求解结构的受力分布和位移场分布。
3. 虚位移法的应用虚位移法广泛应用于各种结构的力学分析和设计中。
以下列举了一些虚位移法的应用领域：3.1 静力学分析虚位移法可以用于求解各种静力学问题，如梁、柱、桁架等结构的受力分析。
通过建立适当的虚位移函数，可以得到结构的内力分布和位移场。
3.2 动力学分析虚位移法也可以扩展到动力学分析中。
通过将虚位移函数与时间相关联，并结合动力学方程，可以求解结构的动态响应。
3.3 结构优化设计虚位移法可以用于结构的优化设计。
通过变分原理和虚功原理，可以最小化系统总势能，得到最优的结构形状和尺寸。
3.4 轴对称问题对于轴对称问题，虚位移法是一种非常有效的分析方法。
通过在径向和周向方向上引入合适的虚位移函数，可以求解轴对称结构的受力和位移问题。
4. 总结虚位移法是一种基于虚功原理的结构力学分析方法。
通过建立虚位移函数和最小化系统总势能，可以得到结构的平衡方程和响应。
虚位移原理
1 1 3 2 Q Q M 0 2 2 4 l
FA 850 N
P
Q
Q
M
rE
A B C D
若求 E处支座反力, 则 系统的虚位移分析如 图示.
FE
l 4
E
q=400N/m , P = 200N .
M = 200 m.N . l = 8m
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
第十五章 虚位移原理
虚位移的英文名词是 virtual displacement . 意 思是‘ 可能的位移’. 不管是‘ 虚’ 也好, 还 是‘ 可能 ’ 也好, 它的力学含义是: 仅为约束 条件所允许的位移.
引言
质点被约束在某一平面上, 其 上有力的作用.
显然, 在此平面上有无限多为 约束所允许的 位移.
FBx B F1'yC F1yG FyG 0
式中 F1 = F1'= kδ0
2 FB l sin k 0 l cos 3k 0 l cos 3 Fl cos 0 FB 3 Fctg k 0 ctg 2
F1
y
在图示坐标下 E
D
F1'
k
yG 3l sin yC l sin x B 2 l cos
ix
·C A θ θ B
( F
FB
x
x i Fiy yi ) 0
yG 3l cos yC l cos x B 2l sin
f ( xi , yi , zi ) 0 或
f ( x, y, z ) 0
2. 虚位移
定义: 在给定瞬时, 质点系在约束条件允许下所能实现的任意假想 的无限小的位移.
如何理解理论力学中的虚位移原理？
如何理解理论力学中的虚位移原理？在理论力学的广阔领域中，虚位移原理是一个极其重要的概念，它为解决力学问题提供了一种独特而有效的方法。
然而，对于许多初学者来说，理解虚位移原理可能会感到有些困惑。
那么，让我们一起来揭开它神秘的面纱，深入探讨如何理解这一重要原理。
首先，我们来明确一下什么是虚位移。
虚位移并不是实际发生的位移，而是在某一瞬时，质点或质点系在约束许可的条件下，设想的无限小位移。
它是一种假想的、符合约束条件的位移。
为了更好地理解，我们可以想象一个被绳子悬挂着的小球。
在某一时刻，如果我们假设小球可以在不破坏绳子约束的情况下有一个微小的位移，这个微小的位移就是虚位移。
那么，虚位移原理到底说了什么呢？简单来说，虚位移原理指出：对于一个受理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是，作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。
这听起来可能有点抽象，让我们通过一个具体的例子来解释。
假设我们有一个由两个质点通过一根轻质刚性杆连接的系统，放在光滑的水平面上。
质点 A 受到一个水平向右的力 F₁，质点 B 受到一个水平向左的力 F₂。
如果这个系统处于平衡状态，根据虚位移原理，我们可以假设质点 A 有一个向右的虚位移δr₁，质点 B 有一个向左的虚位移δr₂。
由于杆是刚性的，所以两个质点的虚位移之间存在一定的关系。
那么，主动力 F₁和 F₂在相应的虚位移上所做的虚功之和F₁·δr₁ F₂·δr₂就等于零。
虚位移原理的重要性在于它为解决静力学问题提供了一种统一的方法，避免了分别对每个物体进行受力分析和列平衡方程的繁琐过程。
通过虚位移原理，我们可以直接从系统的整体出发，找到力与虚位移之间的关系，从而快速确定系统是否平衡以及未知力的大小。
理解虚位移原理还需要注意一些关键的要点。
首先是理想约束的概念。
理想约束是指约束力在虚位移上所做的虚功之和为零的约束。
常见的理想约束包括光滑接触面、光滑铰链、不可伸长的绳索等。
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
虚位移原理1
问题：系统独立的虚位移数目是多少？
一、虚功
虚位移原理
w F r
作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功。 主动力的虚功：计算方法与力的元功计算一样。 理想约束反力的虚功： 约束反力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零。 n FNi ri 0
i 1 (a) ri 0 即约束处无虚位移，如固定端约束，铰支座等； (b) FNi ri即约束力与虚位移相垂直，如光滑接触面约束等；
(c) FNi 0即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；
n i 1
(d) FNi ri 0即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。
二、虚位移原理（虚功原理）
具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要 条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。 n w Fi ri 0
平衡条件：
M
假定系统运动了微小角度 则：
C
(F ) 0
（a）
F1a F2b 0
s1 atg s2 btg
则可以计算力在 微小位移上的“功”：
F1a F2b 0
s1 atg
（a）
s2 btg
（b）
F1与F2在相应位移上的功之和：
F1S1 F2 S2 0
1、基本概念 自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数
空间质点: k 3n s, 平面质点:
k 2n s ,
广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量
自由度为k， 取广义坐标： q1 , q2 qk 一般地： n个质点，
xi xi (q1 , q2 qk , t )
虚位移原理 哈工大理论力学课件
B
M2
D
M
A
解：
3
C
M 3 rC
3
Fs B 2 M 2
rC
M
r
A
虚功方程
－Fs rC cos 45 M M 22 M33 0
虚位移之间的关系 2 R＝ 2R rC＝ 4R
rC r 3 R 3R 3 R
Fs
2 4R
(M
M2)
虚位移原理习题课
一、求主动力之间的关系
FBx(2l sin k0l cos k03l cos F3l cos 0
解得
FBx
3 2
F
cot
k 0
cot
例15-3
已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块Ａ,Ｂ与杆
重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.
求：主动力FA与FB 之间的关系。
解:
(1)
给虚位移
rA, rB ,
Fi ri 0
由
FA rA
FBrB
0
rB cos rA sin ( rA, rB 在
A
,B
连线上投影相等)
代入虚功方程,有
FA rB cot FB rB
即 FA FB tan
——直接法（几何法）
(2) 用解析法. 建立坐标系如图.
Fxi xi Fyi yi Fzi zi 0
WN WNi FNi ri 0
光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长 的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束.
§ 15-2 虚位移原理
设质点系处于平衡,有
Fi FNi 0
即
Fi
ri
FNi
ri
虚位移的概念与分析方法
（4）在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一 ，
在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。
δr2
W
dr
δr1
δr2
W
dr W
δr1
二、虚位移的分析方法 1、几何法 （虚速度法） 自由度： k＝3×2－2－2－1＝1
δrA OAδ
δ δrA
δ
n
δw Fi δri 0
i1
n
δw (F xδ ixiF yδ i yiF zδ i zi)0 —解析式
i 1
证明：
（1）必要性
F iF N i 0
命题：如质点系平衡，则上式成立。
（ F i F N i） δr i 0
n n n
(F i F N i)δ r iF iδ r iF N iδ r i 0
A
O
δrB
I B
δδrA OAδ
AI AI
δrBBδIB AO II δA B AδIIrA
在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关 系等同于各点之间的虚速度的关系。
2、解析法
n个质点 自由度为k
取广义坐标： q1,q2qk
r i r i( q 1 ,q 2 q k )
δ r i q r i1δ q 1 q r i2δ q 2 q r ikδ q k
(b)
FNi
δri即约束力与虚位移相垂直，如光滑接触面约束等.
(c)FNi 0即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；
n
(d) FNi
δri
0即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。
i1
二、虚位移原理（虚功原理）
具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要 条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。
理论力学13虚位移原理
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
感谢您的观看。
理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
第9章-虚位移原理资料
2. 虚位移关系分析
在非自由质点系中，不同点的虚位移不是完全独立的。独立虚位移的数目与系统的自由度相等。分析不同点的虚位移之间的关系，用独立的虚位移表示各点的虚位移，是运用虚位移原理的关键环节。 常用的方法有几何法、虚速度法与解析法。
解： （1）主动力与相应虚位移的确定：主动力为操纵杆的拉力F与被夹持物体的对夹钳的压力FN与FN′,二者大小相等，方向相反，如图所示。其余皆为理想约束力。
由于操纵杆EO只能水平平移，所以F的作用点O的虚位移为与F的力线一致的dr。由于夹板AD只能绕点D定轴转动，所以FN的作用点的虚位移为与AD垂直的drN。同理可定drN′ 。由对称性可知
物理坐标： x1,y1,z1 ; x2,y2,z2 ; 约束方程： x12+y12 = a2 z1 = 0 z2 = 0 (x2－x1)2+(y2－y1)2 = b2
广义坐标： a , b 坐标变换： x1 = asina , y1 = acosb , x2 = asina+bsinb , y2 = acosa+bcosb
例9-3 图示机构，在力F和力偶M作用下在图示位置平衡，求力F和力偶M对应的虚位移的关系。
解：此机构是一个自由度的系统，所以只有一个独立的虚位移。
dra、dre、drr分别视为点B的va、ve、vr。由速度合成定理，有
即为
而有
所以所求的虚位移关系为
（2）使用虚位移原理：由虚位移原理，有
系统只有一个独立的虚位移，需分析虚位移的关系。
(a)
（3）虚位移关系的分析： 操纵杆EO只能水平平移，所以铰C的虚位移
夹板AD只能绕点D定轴转动，所以夹板上铰B的虚位移
第四章 虚位移原理解剖
因为： ΣFNi·δri=0，所以有： ΣFi·δri = 0 证毕
23
二、虚位移原理的应用
解题步骤： 1.确定系统的自由度，选取适当的广义坐标； 2.画作虚功的力； 3.画虚位移图，确定各虚位移之间的关系； 4.建立虚功方程； 5.求解未知量。
5
第二节 约束和约束方程
一、约束 限制非自由质点系运动的条件。 二、约束方程 约束的数学表达式。 三、完整、稳定（定常）、几何约束的约束方程 1、完整约束：约束方程中不含微分或微分可积。
2、稳定约束：约束方程中不显含时间t。
3、几何约束：只限制质点、质点系的空间位置的约束。
6
( ,)
x2+ y2=l2
各质点的位移受约束的限制，坐标不独立，各 δri 之间存在
确定的关系。系统独立虚位移的数目和自由度相同。
1、几何法 （1）由几何关系直接判断 例：螺旋机构。
（2）虚速度法
取 dr δr
dr vi dt
dr vi dt δr
各 δri和vi对应； 各 δi 和ωi对应 。
15
例13-1 求图示曲柄连杆机构P 中A、B两点的虚位移之间的关系。
yB=0
12
一般，由n个质点组成的质点系，具有N个自由度，取N个广 义坐标，质点系任一个质点的矢径可表为：
ri= ri(q1，q2，…，qN) i=1，2，3，…，n
取直 ,, qn )
yi yi (q1, q2 ,, qn )
zi
18
例 12-3 用变分法求A、D两点的虚位移之间的关系。
解：取 标
为广义坐
y
D
yA=ltan
A
δy A
l cos 2
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■ 虚位移 在定常约束的情况下, 可能位移就是虚位移
定
常
约
δr
束
δr'
注意:
(1) 可能位移和虚位移是纯碎的几何概念,它们不涉 及系统的实际运动,与运动方程和初始条件无关。 实位移是系统真实运动产生的位移,是可能位移 中的一个。
沿水平直线纯
滚的圆盘
A
vA
x
dxA r d
dt dt
上述约束为运动约束,但其约束方程可积分为 有限形式,从而转化为几何约束。几何约束和可 积分的运动约束称为完整约束(holonomic constraint)。这里‘可积分’的意思是不依赖于
运动方程而单独积分成有限形式。不可积分的运 动约束称为非完整约束(nonholonomic constraint) 。
l1 θ1
A
○
l2
θ2
B
x
○
双数学摆
xA2 + yA2 = l12 (xB－xA )2 +(yB－yA)2 = l22
系统的自由度为2, 可在xA、yA 、 xB 和 yB 中任选2个能唯一确定
系统位形的变量作为广义坐标,
当然也可以选取θ1和θ2 。
广义坐标不一定是直角坐标,也可以是球坐标、 柱坐标、角度、距离、面积等等,只要它是一组能 唯一确定系统位形的独立变量就行。
u
非定常约
O
x
束的例子
l
m y
约束方程:
(ut－x)2 + y2 = l2
R=at2
约束方程:
x2 + y2 + z2 ≥ a2t4
■ 完整约束与非完整约束
只限制系统中各质点的 位置的约束称为几何约束 (geometrical constraint),其 约束方由度
适当选取的唯一确定质点系位置的的一组独立 变量称为广义坐标。对于完整系统(仅受完整约 束的系统),其广义坐标数即为系统的自由度。
z z=b
θ r (x,y)
y
x
小球在三维空间的运 动,自由度为3, 广义坐标
可选直角坐标x,y,z。
当它被限制在平面
z=b上运动时, 自由度
为2, 广义坐标可选直角
的柔
单绳
摆连
l
接
m
单面约束
约束方程:
x2 + y2 + z2 ≤ l2
的摆 单长 摆可
变
u
l
约束方程:
x2 + y2 + z2 ≤ [l(t)]2
m
■ 定常约束与非定常约束
约束方程不显含时间t的约束称为定常约束或 稳定约束(scleronomic constraint); 反之, 如果约束 方程显含时间t, 则称为非定常约束或不稳定约束 (rheonomic constraint) 。
y ○B
l
xA2 + yA2 = r2
xB = 0 xA2 +(yB－yA)2 = l2
○A r
x O
O
y
双数学摆
l1
A
○
l2
约束方程:
xA2 + yA2 = l12 (xB－xA )2 +(yB－yA)2 = l22
B
x
○
与几何约束相对应的是运动约束(constraint of motion), 即限制质点运动速度的约束,其约束方程 是含有坐标和时间以及坐标对时间的导数的微分 方程。
坐标x,y;或极坐标r,θ。
曲柄连杆机构
xA2 + yA2 = r2 xB = 0 xA2 +(yB－yA)2 = l2
确定质点系位置所需的 独立变量数为1, 即系统的 自由度为1, 可在 xA、yA和 yB 中任选一个作为广义坐 标, 但是选取角θ有时会更 方便。
y ○B
l
○A r
Oθ
x
y O
理论力学
虚位移原理(一)
13 虚位移原理
13.1 约束及其分类
对质点系运动的限制条件称为约束(constraint),约 束条件的数学表达式称为约束方程或约束不等式。
球
面
摆
l
m
约束方程:
x2 + y2 + z2 = l2
■ 单面约束与双面约束
在约束方程中用严格的等号表示的约束称为 双面约束(bilateral constraint),含有不等号表示的 约束称为单面约束(ulilateral constraint) 。例如在 球面上运动的质点,如果规定质点不能离开球面, 则约束是双面的;否则,约束就是单面的。
虚位移的计算：几何法、解析法
例1 图示曲柄连杆机构,
已知θ和φ,OA=AD,试确定
A、B和D的虚位移之间的
D
关系。
解: 系统的自由度为 1,独立的虚位移只有
一个。A、B和D的虚
位移如图示。根据相 应的速度关系可得
B θ
δrB
○
○
δrD δrA
θ+φ A
φ O
δrD = 2δrA
δrB cos θ = δrA sin(θ+φ)
13.3 虚位移
本节将引入可能位移、实位移和虚位移的概念,研究它 们之间的关系,以及它们要满足的条件。
■ 可能位移(possible displacement) ——是指约束 所允许的系统的任何一组无限小位移。
○
○
dr
drA
A
dr'
B
drA'
drB'
drB
O
■ 实位移
在无限小时间间隔dt内,系统的真实运动所产生 的位移称为实位移(actual displacement)。
■ 几何法 在定常约束的情况下,实位移是虚位移中的一
个, 而质点的实位移是与其速度成正比的, 故可 用求速度的几何法来分析各质点的虚位移之间 的关系, 这就是几何法的主要思路。
■ 解析法 解析法是将各质点的坐标表示为广义坐标的
函数,然后再求变分,得到用广义坐标的独立变分 表示的虚位移。
总结：
1.概念： 约束、双面约束与单面约束、定常与非定常约束、 几何约束与运动约束、完整约束与非完整约束 可能位移、真实位移与虚位移 2.研究对象：双面定常完整约束 （1）双面：约束方程为严格的等式 （2）定常：约束方程中不显含时间 （3）完整：几何约束或可积分的运动约束
(2) 一般说,系统的可能位移和虚位移都不是唯一的, 在不破坏约束的前提下, 具有一定的任意性; 但 实位移却是唯一的。
(3) 在定常约束的情况下,虚位移与可能位移相一致, 实位移是虚位移中的一个。
13.4 虚位移原理
13.4.1 虚位移的计算
本节讨论如何确定非自由质点系的虚位移之间的关系, 仅研究定常的完整系统, 常用的方法有几何法和解析法。
δrB = δrA sin(θ+φ)/ cos θ δrD = 2δrA