对数函数·换底公式·例题
对数的运算及换底公式2012.10.27
关系： １．关系： a b = N
指数式
b = log a N
对数式
a
指数式 a b = N 对数式 log a N = b 底数 对数的底数
N
幂 真数
b
指数 对数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N 特殊对数： ） 为底的对数； 特殊对数 为底的对数 2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N ）自然对数 为底的对数； 3.重要结论：1）log a a = 1；2）log a 1 = 0 重要结论： ） 重要结论 ； ） 4.对数恒等式：a log a N = N 对数恒等式： 对数恒等式
n N = log a N m
n
(a, c ∈ (0,1) U (1,+∞), N > 0) a, b ∈ (0,1) U (1,+∞)
1、计算： (1) log 5 35 －2log 5 、计算：
7 + log 5 7 －log 5 1. 8 3
(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2
解法一： 解法一： 解法二： 解法二：
7 7 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 3 3 7 7 2 = lg 14 − lg( ) + lg 7 − lg 18 = lg(2 × 7) − 2 lg 3 3 2 + lg 7 − lg(2 × 3 ) 14 × 7 = lg 7 2 = lg 2 + lg 7 − 2(lg 7 − lg 3) ( ) × 18 3 + lg 7 − (lg 2 + 2 lg 3) = lg 1 = 0 =0
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
高一数学典型例题分析 指数函数、对数函数、换底公式 试题
指数函数和对数函数·换底公式·例题制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
例1-6-38log34·log48·log8m=log416，那么m 为 [ ]解 B 由有[ ] A．b＞a＞1B．1＞a＞b＞0C．a＞b＞1D．1＞b＞a＞0解 A 由不等式得应选A．[ ] 应选A．[ ] A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2)2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，[ ] A．m＞p＞n＞qB．n＞p＞m＞qC．m＞n＞p＞qD．m＞q＞p＞n例1-6-43 (1)假设log a c+log b c=0(c≠0)，那么ab+c-abc=____；(2)log89=a，log35=b，那么log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，那么函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45 log1227=a，求log616的值．例1-6-46比拟以下各组中两个式子的大小：例1-6-47常数a＞0且a≠1，变数x，y满足3log x a+log a x-log x y=3(1)假设x=a t(t≠0)，试以a，t表示y；(2)假设t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解 (1)由换底公式，得即 log a y=(log a x)2-3log a x+3当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3(2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a 值不存在．制卷人：打自企；成别使；而都那。
对数函数·换底公式·例题
指数函数和对数函数·换底公式·例题例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m 为[]解B由已知有A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0解A由已知不等式得故选A．[]故选A．[]A．[1，+∞]B．(-∞，1]C．(0，2)D．[1，2)2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，[]A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞qC．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n例1-6-43(1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____；(2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值．例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足3log x a+log a x-log x y=3(1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y；(2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解(1)由换底公式，得即log a y=(log a x)2-3log a x+3当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3 (2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
换底公式练习题
换底公式练习题换底公式练习题换底公式是数学中一个重要的概念，常用于解决对数运算中底数不同的情况。
通过换底公式，我们可以将一个对数的底数变换为另一个底数，从而简化计算。
在本文中，我们将通过一些实际的练习题来加深对换底公式的理解和应用。
练习题一：已知log2 3 ≈ 1.585和log2 5 ≈ 2.322，请计算log3 5。
解析：我们需要将底数为2的对数转换为底数为3的对数。
根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log2 3转换为底数为3的对数：log3 3 = log2 3 / log2 3 ≈ 1.585 / 0.631 ≈ 2.511练习题二：已知log5 2 ≈ 0.431和log5 3 ≈ 0.682，请计算log2 3。
解析：我们需要将底数为5的对数转换为底数为2的对数。
根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log5 3转换为底数为2的对数：log2 3 = log5 3 / log5 2 ≈ 0.682 / 0.431 ≈ 1.583练习题三：已知log10 2 ≈ 0.301和log10 3 ≈ 0.477，请计算log2 3。
解析：我们需要将底数为10的对数转换为底数为2的对数。
根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log10 3转换为底数为2的对数：log2 3 = log10 3 / log10 2 ≈ 0.477 / 0.301 ≈ 1.584通过以上练习题，我们可以看到换底公式的应用。
它可以帮助我们在不同底数的对数运算中进行转换，从而简化计算过程。
换底公式的理解和掌握对于解决复杂的对数问题非常重要。
除了上述练习题，我们还可以通过实际生活中的例子来进一步理解换底公式的应用。
例如，假设我们需要计算某个物质的半衰期，而我们只知道以10为底的对数。
如果我们想要以2为底进行计算，就可以利用换底公式将底数为10的对数转换为底数为2的对数，从而得到准确的半衰期。
对数换底公式例题
对数换底公式例题《对数换底公式例题》对数换底公式是数学中的重要公式之一，用于计算不同底数的对数之间的关系。
它在解决一些复杂的对数问题时起到了关键的作用。
在本文中，我们将探讨一些关于对数换底公式的例题。
例题1：已知 log₅12 ≈ 1.929，求 log₆12 的值。
解析：根据对数换底公式，我们可以将 log₆12 转化为以底数为 5 的对数。
换底公式可以表示为：logₐb = logₙb / logₙa其中，a 和 n 是底数，b 是真数。
根据题目的要求，我们可以将 log₆12 转化为以底数为 5 的对数：log₆12 = log₅12 / log₅6代入已知的 log₅12 的值：log₆12 ≈ 1.929 / log₅6此时，我们需要计算 log₅6 的值。
通过换底公式，我们可以计算出：log₅6 = logₙ6 / logₙ5选择一个适当的底数 n（例如，n=10），我们可以计算出 log₅6 的值：log₅6 ≈ log₁₀6 / log₁₀5 ≈ 0.778将 log₅6 的值代入原式，可以得出：log₆12 ≈ 1.929 / 0.778 ≈ 2.480因此，log₆12 的值约等于 2.480。
例题2：已知 log₂3 ≈ 1.585，求 log₄3 的值。
解析：类似于例题1，我们可以使用对数换底公式来计算 log₄3。
换底公式可以表示为：logₐb = logₙb / logₙa根据题目要求，我们需要计算 log₄3 的值，将其转化为以底数为 2 的对数：log₄3 = log₂3 / log₂4我们已知 log₂3 的值为 1.585，将其代入原式：log₄3 = 1.585 / log₂4此时，我们需要计算 log₂4 的值。
通过换底公式，我们可以计算出：log₂4 = logₙ4 / logₙ2选择一个适当的底数 n（例如，n=10），我们可以计算出 log₂4 的值：log₂4 = log₁₀4 / log₁₀2 ≈ 2 / 0.301 ≈ 6.644将 log₂4 的值代入原式，可以得出：log₄3 = 1.585 / 6.644 ≈ 0.238因此，log₄3 的值约等于 0.238。
高一数学换底公式练习题
指数函数和对数函数·换底公式·例题例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m]为 [[ ]A．b＞a＞1B．1＞a＞b＞0C．a＞b＞1D．1＞b＞a＞0解 A 由已知不等式得故选A．知识改变命运][故选A．[ ]A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2)知识改变命运2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，[ ]A．m＞p＞n＞qB．n＞p＞m＞qC．m＞n＞p＞qnD．m＞q＞p＞例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____；(2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．知识改变命运例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值．例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：知识改变命运例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足3log x a+log a x-log x y=3(1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y；(2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解 (1)由换底公式，得即 log a y=(log a x)2-3log a x+3当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3(2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．知识改变命运知识改变命运。
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。
/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
对数换底公式例题
对数换底公式例题
摘要：
1.对数换底公式的定义与意义
2.例题分析
3.解题步骤与方法
4.公式的应用场景
正文：
【1.对数换底公式的定义与意义】
对数换底公式，是数学中一种重要的公式，主要用于将对数的底数进行转换。
其公式为：loga(N) = logc(N) / logc(a)。
在这个公式中，a 和c 是两个不同的底数，N 是一个正数。
对数换底公式的应用，可以简化对数的计算过程，使计算更加方便。
【2.例题分析】
例题：如果log2(8) = 3，那么log16(8) 等于多少？
在这个例题中，我们需要用到对数换底公式，将log2(8) 转换为
log16(8)。
首先，我们知道log2(8) = 3，那么我们可以将这个对数转换为以16 为底的对数，即log16(8) = log2(8) * log16(2)。
因为log16(2) = 1/4，所以log16(8) = 3 * 1/4 = 3/4。
所以，log16(8)等于3/4。
【3.解题步骤与方法】
(1) 确定题目中给出的对数，以及需要转换的底数。
(2) 使用对数换底公式，将对数转换为新的底数。
(3) 将转换后的对数进行计算，得出结果。
【4.公式的应用场景】
对数换底公式在实际应用中非常广泛，特别是在计算机科学和工程领域。
例如，在编程中，常常需要对大数据进行处理，对数换底公式可以帮助我们更快地计算出数据的对数，从而提高计算效率。
高一数学对数函数换底公式(解析版)
强化专题一 换底公式【题型目录】一、换底公式的正用二、换底公式的逆用 三、换底公式的基本变形一：log a b ＝1log b a四、换底公式的基本变形二：log n m a b ＝m nlog a b 五、解对数方程六、证明对数恒等式【例题详解】一、换底公式的正用1．已知2log 3a =，则下列能化简为12a a 的是（ ） A ．8log 3B ．18log 3C ．18log 6D ．12log 3 【答案】B【分析】由对数运算法则和换底公式依次化简各个选项即可. 【详解】对于A ，382211log 3log 3log 333a ===，A 错误； 对于B ，222182222log 3log 3log 3log 3log 18log 22log 312log 312a a====+++，B 正确； 对于C ，2222182222log 6log 2log 31log 31log 6log 18log 22log 312log 312a a +++====+++，C 错误； 对于D ，222122222log 3log 3log 3log 3log 122log 2log 32log 32a a====+++，D 错误. 故选：B.2．()()2839log 3log 3log 2log 2-+=______．（用数字作答）【答案】1【分析】利用对数换底公式及性质计算作答.【详解】()()3228392323log 2log 3log 3log 3log 2log 2(log 3)(log 2)log 8log 9-+=-+ 2233231123(log 3log 3)(log 2log 2)log 3log 213232=-+=⨯=. 故答案为：13．若log 86x =，则2log x =___________.【答案】12 【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算可得.【详解】解：因为log 86x =，所以22log 86log x =，即223log 26log x =，即236log x =， 所以21log 2x =； 故答案为：124．计算：ln 259elog 3log 25-等于___________. 【答案】1【分析】由对数的定义、对数的换底公式计算． 【详解】ln259ln32ln5e log 3log 252211ln52ln3-=-⋅=-=. 故答案为：1．二、换底公式的逆用1．计算：log 52×log 727log 513×log 74＝________. 【答案】－34【详解】原式＝log 52log 513×log 727log 74 ＝13log 2log 427＝lg 2lg 13×lg 27lg 4 ＝12lg 2－lg 3×3lg 32lg 2＝－34.200.557357log 2log 93(2)(0.01)15log log 43-⋅-⋅= ________ 【答案】212- 【分析】根据对数函数换底公式及运算法则，指数运算法则进行计算.【详解】()00.557233573212log 2log 92log 5log 7320.011101125log log 43log 53log 7-⋅⋅⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭⋅-⋅ 32323log 5log 7132199log 5log 7222⋅⎛⎫⋅--=--=- ⎪⋅⎝⎭故答案为：212-三、换底公式的基本变形一：log a b ＝1log b a 1．若43m =，则3log 12=（ ）A ．1m m +B ．21m m +C ．2m m +D ．212m m+ 【答案】A【分析】指数式化为对数式，进而利用换底公式及对数运算公式进行求解.【详解】由43m =得：4log 3m =，则334111log 121log 411log 3m m m+=+=+=+= 故选：A2．已知182,1.52x y ==，则x y-=______; 【答案】3【分析】由指对数关系可得1832log 2,log 2x y ==，再应用对数的运算性质化简求目标式的值. 【详解】由题设，1832log 2,log 2x y ==， 则2221832121234log 182log log (18)3log 2log 229x y -=-=-=⨯=. 故答案为：33．已知35a b A ==，则122a b+=，则A 等于__________． 【答案】53【分析】将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得A 的值.【详解】∵35a b A ==,∴3log a A =，5log ,0=>b A A .∴1log 3=A a ，1log 5=A b. 又∵122a b+=,log 32log 52log 3log 522∴+=⇒+=A A A A ,即log 752=A ，∴275=A ，053>∴=A A .故答案为：53四、换底公式的基本变形二：log n m a b ＝m nlog a b 1．化简4839(2log 3log 3)(log 2log 2)=++____________【答案】2【分析】结合log log m n a a n b b m=、换底公式化简计算即可 【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++ 2343log 3log 2232=⨯=. 故答案为：2.2．已知log 1627＝a ，则log 916＝________.【答案】32a【详解】∵log 1627＝a ，∴432log 3＝a ，∴34log 23＝a ，∴log 23＝43a ， ∴log 916＝243log 2＝42log 32＝2log 32＝2·1log 23＝2×34a ＝32a.五、解对数方程1．方程222log log 1x x +=的解为x =___________．32【分析】利用对数的运算性质有32log 1x =，进而求解即可.【详解】由22223log log log 1x x x ==+且0x >，则3x 2=，故3x 2=.故答案为：322．方程()233log 12log (1)x x -=+-的解为x =___________.【答案】8【分析】由对数运算法则化方程为233log (1)log [9(1)]x x -=-．再根据对数函数的性质求解．【详解】由()233log 12log (1)x x -=+-得233log (1)log [9(1)]x x -=-，所以219(1)10x x x ⎧-=-⎨->⎩，解得8x =． 故答案为：8．3．求下列各式中x 的值：(1)()3log lg 1=x ；(2)()345log log log 0x =⎡⎤⎣⎦.【答案】(1)1000x =；(2)625x =【分析】（1）结合对数运算求得x 的值.（2）结合对数运算求得x 的值.【详解】（1）()3log lg 1=x ，3lg 3,101000x x ===. （2）()345log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，()4455log log 1,log 4,5625x x x ====.4．解方程：(1)2555log log 1x x x+=. (2)()1331log 31log 323x x -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭ 【答案】(1)5x =或1或125；(2)3log 10x =或34log 3x = 【分析】（1）利用换底公式将原方程化为55551log (1log )(1log )1log x x x x -=-++，然后移项通分即可解得方程的根. （2）由()1331log 31log 323x x -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，可得()()33log 31log 3112x x ⎡⎤-⋅--=⎣⎦，令()3log 31x t =-，化为220t t --=，解得t 从而求出x .【详解】(1)因为555555log 51log log log 51log x x x x x x -==+，所以原方程可化为55551log (1log )(1log )1log x x x x -=-++， 即5551(1log )(1log )01log x x x -+-=+，2555(1log )1(1log )01log x x x+--=+， 所以5log 1x =或51log 1x +=±，解得5x =或1或125.(2)()1331log 31log 323x x -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，()()133log 31log 3312x x -⎡⎤∴-⋅-=⎣⎦，()()1333log 31log 31log 32x x -⎡⎤∴-⋅-+=⎣⎦， ()()33log 31log 3112x x ⎡⎤∴-⋅--=⎣⎦，令()3log 31x t =-，化为220t t --=解得2t =或1t =-，所以()3log 312x -=或()3log 311x -=-，解得3log 10x =或34log 3x =. 六、证明对数恒等式1．利用换底公式证明：log log log 1a b c b c a ⋅⋅=．【答案】证明见解析【分析】将已知条件中的对数都转化为以10为底的对数，然后通过约分证得结论.【详解】证明：lg lg lg log log log 1lg lg lg b a c b c a b c a a b c⋅⋅=⋅⋅= 即log log log 1a b c b c a ⋅⋅= 2．设==a b c x y z ，且111a b c+=，求证：z xy = 【答案】证明见解析.【分析】首先设===a b c x y z k ，得到log =x a k ，log =y b k ，log =z c k ，根据111a b c+=得到111log log log +=x y z k k k ，再利用换底公式即可证明.【详解】设===a b c x y z k ，0k >，则log =x a k ，log =y b k ，log =z c k .因为111a b c+=，所以111log log log +=x y z k k k ， 即log log log +=k k k x y z .所以()log log =k k xy z ，即z xy =.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于简单题.。
对数函数·换底公式·例题
指数函数和对数函数·换底公式·例题例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m 为 [ ]解 B 由已知有A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0解 A 由已知不等式得故选A．[ ]故选A．[ ]A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2)2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，[ ]A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞qC．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____；(2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值．例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足3log x a+log a x-log x y=3(1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y；(2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解 (1)由换底公式，得即 log a y=(log a x)2-3log a x+3当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3(2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
换底公式解方程练习题
换底公式解方程练习题在学习代数方程解法时，我们经常会遇到涉及对数函数的方程。
对数函数的换底公式是解决这类方程的重要工具之一。
本文将通过一些列练习题来帮助读者掌握换底公式在解方程中的应用。
练习题1:解方程log2x + log2(x-1) = 2的解。
解答：根据换底公式，我们可以将对数函数转换为以任意底为底的对数。
公式如下：logab = logcb / logca将方程log2x + log2(x-1) = 2转换为：log2x + log2(x-1) = log22利用对数的性质，我们可以将加法转换为乘法：log2(x(x-1)) = log22化简得：x(x-1) = 2展开方程，得到二次方程：x^2 - x - 2 = 0将方程进行因式分解，得到：(x-2)(x+1) = 0解得x的两个解为x = 2和x = -1。
但要注意，对数函数的定义域要求x > 0，所以舍去x = -1。
因此，方程log2x + log2(x-1) = 2的解为x = 2。
练习题2:解方程ln(x+2) - ln2(x-1) = 1的解。
解答：同样地，根据换底公式和对数性质，我们可以将方程转换为以相同底的对数方程。
公式如下：logab - logac = loga(b/c)将方程ln(x+2) - ln2(x-1) = 1转换为：ln(x+2) - ln2(x-1) = ln(e)利用对数性质，我们可以将减法转换为除法：ln((x+2)/(2(x-1))) = ln(e)因为ln(e) = 1，所以简化为：(x+2)/(2(x-1)) = e分子分母同时乘以2(x-1)，得到：x+2 = 2e(x-1)展开方程，得到：x + 2 = 2ex - 2e移项，整理得到：2 - 2e = (2e - 1)x将方程进行化简，得到：x = (2 - 2e) / (2e - 1)这样，我们得到了方程ln(x+2) - ln2(x-1) = 1的解。
对数运算的换底公式
对数运算的换底公式好嘞，以下是为您生成的关于“对数运算的换底公式”的文章：在数学的奇妙世界里，对数运算的换底公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
咱们先来说说什么是对数。
想象一下，你有一堆苹果，要知道这堆苹果数量是 2 的几次方才能得到，这就是对数的概念。
比如说，8 是 2 的 3 次方，那 3 就是以 2 为底 8 的对数。
而换底公式呢，就是logₐb = logₓb / logₓa 。
这看起来有点复杂，是吧？别担心，我给您举个例子。
有一次我去超市买水果，苹果 5 元一斤，香蕉 8 元一斤。
我心里就琢磨，要是用苹果的价格作为基准，那香蕉的价格相当于多少“苹果价”呢？这就好像是在做对数的换底运算。
假设我们把苹果的价格当作底数，那么香蕉价格的对数就是log₅8 。
但直接算这个不太容易，这时候换底公式就派上用场啦。
我们可以换成以 10 为底，那就变成了 log₁₀8 / log₁₀5 。
通过查常用对数表或者用计算器，就能算出这个值啦。
在学习数学的过程中，很多同学一开始看到这个换底公式就头疼，觉得太抽象，不好理解。
其实啊，只要多做几道题，多琢磨琢磨，就会发现它其实没那么可怕。
比如说在求解一些复杂的对数方程时，换底公式就能大显身手。
就像上次我辅导一个学生做作业，有道题是这样的：log₂(x + 1) =log₄(2x + 3) 。
这要是不懂得用换底公式，还真不好办。
我们把等式两边都换成以 2 为底，那右边就变成了 log₂(2x + 3) / log₂4 ，而 log₂4等于 2 ，所以等式就变成了 2log₂(x + 1) = log₂(2x + 3) ，然后再去求解，是不是就清晰多啦？再比如说在比较两个对数的大小时，换底公式也能发挥作用。
假设要比较 log₃5 和 log₅7 的大小，直接看很难判断。
但用换底公式把它们都换成以 10 为底，就能计算出具体的值，然后轻松比较大小。
总之，对数运算的换底公式虽然看起来有点复杂，但它真的是我们解决对数问题的得力工具。
对数函数的换底公式
log₁₀2 = logₑ2 / logₑ10
由于 logₑ10 的值可以用常用的对数来表示，即 logₑ10 ≈ 0.4343，我们可以使用这个近似值进行计算。
因此，log₁₀2 ≈ logₑ2 / 0.4343
换底公式使得我们可以在不同底数之间进行对数运算，方便进行计算和比较。
对数函数的换底公式是指将对数的底数进行转换的公式，常用的换底公式如下：
对数函数的换底公式： logₐb = logₓb / logₓa
其中，logₐb 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓb 表示以任意底数 x 的 b 的对数，logₓa 表示以任意底数 x 的 a 的对数。
换底公式的使用可以将对数的底数转换为其他常用的底数，例如将以 10 为底数的对数转换为以 e（自然对数