数学建模实验答案 离散模型讲解

实验09 离散模型（2学时）

（第8章离散模型）

1. 层次分析模型

1.1（验证，编程）正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264

已知正互反阵

261????1/21A?4????1/461/1??

注：[263]定理2 n阶正互反阵A的最大特征根≥n。

★(1) 用MATLAB函数求A的最大特征根和特征向量。

调用及运行结果（见[264]）：

1 3.0092

k =

1

>> w=V(:,k)/sum(V(:,k))

w =

0.5876

0.3234

0.0890

[263]）(2) 幂法（见n正互反矩阵，算法步骤如下：A为n×(0)w 1）；a. 任取n 维非负归一化初始列向量（分量之和为)k?1)((k2,0,1,?Aww,k?；计算b.

1)?(k w

1)k?(?w1)k?(w归一化，即令c. ；n

?1)?(k w i

1i?)(1)k(k?1)k?(?)n|?|w,(i?w?1,2,w即，当d. 对于预先给定的精度ε时，ii

b；为所求的特征向

量；否则返回到步骤1)?(kn w1??i?。e. 计算最大特征根

)(k wn1i?i 注：)k(k?1)(((k)k)???wAw??ww?

1)(k? w?i n,i?1,2,??

)k(w i

文件如下：函数式m [lambda w]=p263MI(A,d)

function——求正互反阵最大特征根和特征向量%幂法% A 正互反方阵% d 精度 2 % lambda 最大特征根归一化特征列向量% w

0.000001，则d取if(nargin==1) %若只输入一个变量（即A）d=1e-6;

end

的阶数取方阵A n=length(A); %任取归一化初始列向量

w0=w0/sum(w0);%w0=rand(n,1);

1

while ww=A*w0;

%归一化w=ww/sum(ww);

all(abs(w-w0)

; break

end

w0=w;

end

lambda=sum(ww./w0)/n;

的最大特征根和特征向量。用幂法函数求A☆(2)

：）调用及运行结果（[264]

）和法（见(3) [264]3

A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下：

a~ij w?a. 将A的每一列向量归一化得；ijn?a iji?1n~~~?w?w w b. 对；按行求和得iijij1j?~w~Ti)ww,,ww,w(,???w即为近似特征向量；归一化 c. 将

?w i1?in(Aw)1??i?，作为最大特征根的近似值。d. 计算nw1?ii函数n2i1ni~

式m文件如下：

function [lambda w]=p264HE (A)

%和法——求正互反阵最大特征根和特征向量

% A

正互反方阵

% lambda最大特征

% w

归一化特征列向

AA=A/diag(sum(A));%a.的每一列向量归一

ww=sum(AA,2);%b.A按行求和w为列向

w=ww./sum(ww);%c.归一化，为近似特征列向

lambda=sum(A*w./w)/ length(A) %d.计算最大特征根的近似

☆(3) 用和法函数求A的最大特征根和特征向量。

调用及运行结果（[264]）：

4

[264]）(4) 根法（见n正互反矩阵，算法步骤如下：A为n×a~ij?w 将A的每一列向量归一化得；a. ijn?a ij1?i1n~~~?ww)?(n w对次方得按行求积并开nb. ；ijiij1?j~w~w T归一化c. 将即为近似特征向量；i),wwww,(,w,???i

?w i1i?n)Aw(1?计算，作为最大特征根的近似值。d. ?i?wn1?ii的最ni21n~

大特征根和特征向量。★(4) 编写根法函数，用该函数求A sum, prod, diag]

[提示：sum(A, 2)。对矩阵A按行求和的调用为按行求积的调用为Aprod(A, 2)。对矩阵Vdiag(V)，用向量构造对角矩阵。 5

nargin，存放函数输入自变量的数目。

编写的程序和调用及运行结果（见[264]）：

function [lambda w]=p264GEN (A)

%根法——求正互反阵最大特征根和特征向量

% A

正互反方阵

% lambda 最大特征根

%w 归一化特征列向量

n=length(A);

AA=A/diag(sum(A)); %a. 将A的每一列向量归一化

ww=(prod(AA,2)).^(1/n); %b. 对AA按行求积并开n次方，ww为列向量

w=ww./sum(ww); %c. 归一化，得w为近似特征列向量

lambda=sum(A*w./w)/n; %d. 计算最大特征根的近似值λ

1.2（验证，编程）旅游决策问题p250~256

在下面程序中，脚本式m文件p250.m调用函数式m文件p250fun.m（求A的最大特征根及归一化特征列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR）， 6

p250fun.m中调用另一个函数式m文件p264HE.m（求A的最大特征根及归一化特征列向量）。

(1) 脚本式m文件如下：