(完整版)华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A卷)矩阵论答案

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华北电力大学硕士研究生课程考试试题

(A卷)(2013-2014)

一、判断题(每小题2分,共10分)

1. 方阵A的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。(X)

见书52页,代数重数指特征多项式中特征值的重数,几何重数指不变子空间的维数,前者加起来为n,后

者小于等于n

2. 设12

,,,m ααα是线性无关的向量,则 12dim(span{,,,})m m ααα=.

正确,线性无关的向量张成一组基

3.如果12,V V 是V 的线性

子空间,则1

2V V ⋃也是V

的线性子空间.

错误,按照线性子空间的定

义进行验证。

Aλ是可逆4. n阶λ-矩阵()

Aλ的充分必要条件是()

的秩是n .

见书60页,需要要求矩阵的行列式是一个非零的数5. n阶实矩阵A是单纯矩阵的充分且必要条件是A

的最小多项式没有重根. 见书90页。

二、填空题(每小题3分,共27分)

(6)210021,

003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A

e 的Jordan 标准型为223e 100e 0,00e ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭。

首先写出

A

e

然后对于

若当标准型要求非对角元部分为1.

(7)

301

002

030λ

λ

λ

-

⎛⎫ ⎪

+ ⎪ ⎪

-

⎝⎭

的Smith标准型为

10003000(3)(2)λλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+⎝⎭

见书61-63页,将矩阵做变换即得

(8)设

1000.10.30.200.40.5A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

则100lim 000000n n A →+∞⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

。 见书109页,可将A 对角化

再计算即得。

(9)2345⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 在基 11120000,,,00001321⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

下的坐标为(1,1,2,1)T

见书12页,自然基下坐标为(2,3,4,-5)T ,再写出过渡矩阵A,坐标即A 的逆

乘以自然基下坐标。对于本题来说。由于第一行实际上只和前两个基有关,第二行只和后两个基有关。因此不用那么麻烦,只需要计算(1,1)x+(1,2)y=(2,3)就可得解为1,1.再解(1,-3)x+(2,1)y=(4,-5)就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。

(10)设

423243537A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭,则A ∞= 15。

见书100页,计算每行的绝对值的和。

(11)

20211123x x x x x e x x →-⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪+⎝

sin cos ln()lim sin =2003⎛⎫ ⎪⎝

⎭。 对矩阵中的每个元素求极限。

12设

,,m n p q m q A R B R C R ⨯⨯⨯∈∈∈是已知矩阵,则矩阵方程AXB C =的极小范数最小二乘解是+()T X A B C =⊗ 见书113-115页,将矩阵方程拉直,再用广义逆的定义去算。

(12)若n 阶方阵A 满足

30A =,则

cos A = 212E A - 。 见书121页,30A =,所以后面的项都为零。

(13)方阵A 的特征多项式是33(2)(3)(5)λλλ---,最小多项式是 2(2)(3)(5)λλλ---,则

A 的Jordan 标准形是 3((2,1),(2,2),3,5)diag J J E 特征多项式决定了A 的阶数以及各个特征值的重根数,即有3个2,3个3,1个5.最小多项式决定了若当块的大小,如2有1个1阶和1个2阶,3和5都只有1阶的若当块。 三(7分)、设

1213200102171,012225018202140A B C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,

证明AX XB C +=有唯一解。

见书114页,本题需要验证A 和-B 没有相同的特征值,具体解法如下。

证明:

33+T A E E B ⊗⊗非奇异。

-的特征值为显然,B

--,下证明:2,1,2

--不是A的特征值:2,1,2

(1)方法1:用圆盘定理。A的三个行圆盘分别是

(12,4),(7,2),(8,1) B B B-

,

--都不在

2,1,2

⋃⋃-

B B B (12,4)(7,2)(8,1)

中,因此A 与B -没有相同的特征值,从而0不是33+T

A E E

B ⊗⊗的特征值,故33+T

A E E

B ⊗⊗可逆,从而 AX XB

C +=有唯一解。

(2) 方法2:求出A 的特征多项式,再证明2,1,2--不是A 的

特征值。

方法3:直接写出33+T

A E E

B ⊗⊗,再证明它非奇异。

四(8分)、设3维内积空间在基123,,ααα下的矩阵

211150103A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 。求 123{++}span ααα 的正交补空间。

见书28页,内积空间在基下的矩阵是指度量矩阵。按照内积定义给出正交补空间中元素应该满足的条件。

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