拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

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拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

物理系0801班学生岳艳林

指导老师韩新华

摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；

其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边

函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程值问题、常系数与变系数常微分方程、含

特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界

与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解

引言

傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 拉普拉斯变换的定义

设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分

()st f t e dt +∞

-⎰

(s 是一个复参量)在s 的某一区域内收

敛，则此积分所确定的函数可写为0

()()st F s f t e dt +∞

-=

⎰

.我们称上式为函数()f t 的Laplace 变换

式.记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）.

若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=[2].

Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件:

1︒在0t ≥的任一有限区间上分段连续；

2︒当t →+∞时，()f t 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数0M >及0c ≥，使得c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数）.

则()f t 的Laplace 变换0

()st F

f t e dt +∞

-⎰（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在，右端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内,()F s 为解析函数[2].

拉普拉斯变换的性质

⑴线性性质 若αβ，是常数，11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =,

则有1212[()()][(t)]+[()]L f t f t L f L f t αβαβ+=,

1111212[()()][(s)]+[()]L F s F s L F L F s αβαβ---+=.

⑵微分性质 若[()]()L f t F s =,则有'[()]()(0)L f t sF s f =-. 高阶推广 若[()]()L f t F s =,则有2'[()]()(0)(0)L f t s F s sf f ''=--.

一般，12'(2)(1)[()]()(0)(0)(0)(0)n n n n n n L f t s F s s f s f sf f ----=---⋅⋅⋅--.

⑶积分性质 若[()]()L f t F s =,则0

1

[()][()]t

L f t dt L F s s

=

⎰. ⑷位移性质 若[()]()L f t F s =，则[()]()(Re())at L e f t F s a s a c =-->. ⑸延迟性质 若[()]()L f t F s =,又0t <时()=0f t ,

则对于任一非负实数τ，

有[()]()s L f t e F s ττ--=,或1[()]()s L e F s f t ττ--=-[2].

⑹相似性性质 若[()]()L f t F s =,则1[()]()s L f at F a a

=

. ⑺卷积性质 若11[()]()L f t F s =,22[()]()L f t F s =，

则11212[()()]()()L f t f t F s F s *=，

其中112120()()()()t

f t f t f f t d τττ*≡-⎰称为)(1t f 与)(2t f 的卷积[3].

由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂，在控制工程中，常常通过查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。拉氏变换对照表列出了工程上常用的时间函数及其对应的拉氏变换，可以根据该表查找原函数的象函数，或者从象函数查找原函数。对于表中不能找到的形式，可以把它展开成部分分式，再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换。以下是本文将用到的几种常用的拉普拉斯变换函数对[3]:

表一：拉普拉斯变换函数表

2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤

像其他方法求解微分方程一样，应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范的步骤，其一般步骤[4]

如下： 1、根据自变量的变化范围和方程及其定解条件的具体情况来决定对哪一个自变量进行拉

普拉斯变换，然后对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换，使微分方程变为s 的代数方

程；

2、解象函数的代数方程，得到有关变量的拉普拉斯变换表达式，即象函数；

3、对象函数取拉普拉斯逆变换，得到微分方程的时域解。

流程图法[5]

如下：

图一：拉普拉斯变换求解微分方程的流程图

拉普拉斯变换在物理和工程等领域有着广泛的应用，通过拉普拉斯变换，可以方便地对线性控制系统进行分析、研究，可以对一些级数进行求和，还可以求解微分方程[1]。接下来重点讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 初值问题与边值问题

例：求解初值问题''''43,(0)(0)1t y y y e y y -++===[2]. 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有

2'1

[()(0)(0)]4[()(0)]3()1

s Y s sy y sY s y Y s s --+-+=

+, 结合初始条件，有21[()1]4[()1]3()1

s Y s s sY s Y s s --+-+=

+, 整理展开成部分分式，有222

66711131

()(1)(3)412(1)43

s s Y s s s s s s ++==⋅+⋅-⋅+++++. 由拉普拉斯变换函数表1

1[

]t L e s λλ-=-,可知11[]1t L e s --=+,131

[]3t L e s --=+. 由拉普拉斯变换函数表11!

[]n n n L t s

-+=,并结合位移性质[()]()t L e f t F s λλ-=+，

可知1

2

1

[

](1)

t L te s --=+， 微分方程的解

取拉普拉斯逆变换

取拉普拉斯变换 解代数

方

原函数

象函数

微分方程 象函数的代数方程