二维离散傅立叶变换
二维矩阵的快速傅里叶变换
二维矩阵的快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。
以下是使用Python和NumPy库进行二维矩阵FFT的步骤：
1. 导入必要的库：
```python
import numpy as np
```
2. 创建一个二维矩阵：
```python
matrix = np.array([[1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16]])
```
3. 执行快速傅里叶变换：
```python
fft_result = np.fft.fft2(matrix)
```
这将返回一个与原始矩阵大小相同的复数矩阵，表示该矩阵的频域表示。
4. 如果需要，可以执行逆快速傅里叶变换以获取原始矩阵的频
域表示：
```python
ifft_result = np.fft.ifft2(fft_result)
```
这将返回一个与原始矩阵大小相同的实数矩阵，表示该矩阵的时域表示。
需要注意的是，在执行FFT之前，您需要确保输入的二维矩阵是复数矩阵或实数矩阵。
另外，您还可以通过设置`fft.fft2`和`fft.ifft2`函数的参数来控制FFT的行为，例如指定输出的大小或截断输入矩阵等。
二维离散傅里叶变换计算过程
二维离散傅里叶变换计算过程傅里叶变换是信号处理中非常重要的数学工具，可以将一个时域信号转换为频域表示。
而二维离散傅里叶变换（2D DFT）则是将二维离散信号转换为二维频域表示。
本文将介绍二维离散傅里叶变换的计算过程。
1. 二维离散傅里叶变换的定义二维离散傅里叶变换是将一个二维离散信号（图像）转换为二维频域表示的数学变换。
假设有一个大小为M×N的二维离散信号f(x, y)，其中x和y分别表示信号的行和列，那么二维离散傅里叶变换的定义可以表示为：F(u, v) = ΣΣf(x, y) * exp(-j2π(ux/M + vy/N))其中F(u, v)表示变换后的频域信号，u和v分别表示频域的行和列，j表示虚数单位，M和N分别表示信号的行数和列数。
2. 二维离散傅里叶变换的计算过程二维离散傅里叶变换的计算过程可以分为两个步骤：首先进行行变换，然后进行列变换。
2.1 行变换对于给定的二维离散信号f(x, y)，我们首先对每一行进行变换。
对于第i行，我们可以将其看作一个一维离散信号，然后对其进行一维离散傅里叶变换。
假设第i行的变换结果为F(i, v)，其中v 表示频域的列，那么F(i, v)的计算公式为：F(i, v) = Σf(i, y) * exp(-j2πvy/N)其中y表示该行的列索引。
2.2 列变换在完成行变换后，我们继续对每一列进行变换。
对于每一列，我们可以将其看作一个一维离散信号，然后对其进行一维离散傅里叶变换。
假设第j列的变换结果为F(u, j)，其中u表示频域的行，那么F(u, j)的计算公式为：F(u, j) = ΣF(i, j) * exp(-j2πiu/M)其中i表示该列的行索引。
3. 二维离散傅里叶变换的计算复杂度二维离散傅里叶变换的计算复杂度较高，为O(MN(M+N))。
其中M和N分别表示信号的行数和列数。
由于计算复杂度较高，通常会采用快速傅里叶变换（FFT）算法来加速计算过程。
二维离散傅里叶变换
二维离散傅里叶变换介绍：二维离散傅里叶变换是数字信号处理中的一种重要算法，它可以将一个二维的离散信号转换为频域表示。
频域表示可以帮助我们更好地理解信号的性质和特征，也为信号处理提供了更多的可能性。
下面将详细介绍二维离散傅里叶变换的原理和应用。
原理：二维离散傅里叶变换的数学表达式为：$$F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)e^{-i2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$$其中，$f(x, y)$是一个$M\times N$的二维离散信号，$F(u, v)$是对应的频域表示，$u$和$v$是频域空间的坐标。
通过这个变换，我们可以得到频域上每个点的振幅和相位信息。
应用：1. 图像处理。
二维离散傅里叶变换在图像处理中具有广泛应用。
通过对图像进行二维离散傅里叶变换，可以将图像分解为不同频率的信号分量，并且可以通过修改分量的振幅和相位信息实现图像的滤波、增强、压缩等操作。
2. 语音处理。
二维离散傅里叶变换在语音处理中也有应用。
通过对语音信号进行二维离散傅里叶变换，可以将语音信号分解为不同频率的分量，从而实现语音识别、降噪、压缩等操作。
3. 信号处理。
二维离散傅里叶变换在信号处理中也有应用。
通过对信号进行二维离散傅里叶变换，可以得到信号的频域表示，进而实现信号滤波、增强、压缩等应用。
总结：二维离散傅里叶变换是数字信号处理中的一种重要算法，它可以将二维离散信号转换为频域表示，为信号处理提供更多的可能性。
它在图像处理、语音处理、信号处理等领域都有广泛的应用。
掌握二维离散傅里叶变换可以为我们开拓更多的信号处理思路，提高信号处理的效率和精度。
傅里叶变换、离散余弦变换与小波变换
二维离散傅里叶、余弦、小波变换专业班级：10 信息安全学生姓名：***学生学号：_ ************** _指导教师：***完成时间：2022年4月28日数字图像处理实验三：二维离散傅里叶、余弦、小波变换一、实验目的1. 了解图像正变换和逆变换的原理。
2. 了解图像变换系数的特点。
3. 掌握常用图像变换的实现过程。
4. 掌握图像的频谱分析方法。
5. 了解图像变换在图像数据压缩等方面的应用。
二、实验主要仪器设备1. 微型计算机：Intel Pentium 及更高。
2. MATLAB 软件。
三、实验原理二维离散傅里叶变换、余弦变换、小波变换的正逆变换公式，MATLAB 中的上述变换的实现函数以及讨论正交变换的应用。
1. 二维离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform ，DFT ）对于二维傅立叶变换，其离散形式如式（1）所示；逆变换公式如式（2）所示：∑∑-=-=+-=101)//(2),(1),(M x N y N vy M ux j e y x f MN v u F π （1） ∑∑-=-=+=1010)//(2),(),(M u N v N vy M ux j e v u F y x f π （2）频谱公式如式（3）所示：),(),(|),(|),(),(|),(|),(22),(v u I v u R v u F v u jI v u R e v u F v u F v u j +=+==ϕ （3） 由可傅立叶变换的分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行， 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。
先对f(x, y)按列进行傅立叶变换得到F(x, v)，再对F(x, v)按行进行傅立叶变换，便可得到f(x, y)的傅立叶变换结果。
显然对f(x, y)先按行进行离散傅立叶变换， 再按列进行离散傅立叶变换也是可行的，这里不再一一赘述。
此外，在实际工程应用中分析幅度谱较多，习惯上也常把幅度谱称为频谱。
【数字图像处理】傅里叶变换在图像处理中的应用
【数字图像处理】傅⾥叶变换在图像处理中的应⽤1.理解⼆维傅⾥叶变换的定义1.1⼆维傅⾥叶变换1.2⼆维离散傅⾥叶变换1.3⽤FFT计算⼆维离散傅⾥叶变换1.3图像傅⾥叶变换的物理意义2.⼆维傅⾥叶变换有哪些性质？2.1⼆维离散傅⾥叶变换的性质2.2⼆维离散傅⾥叶变换图像性质3.任给⼀幅图像，对其进⾏⼆维傅⾥叶变换和逆变换4.附录 94.1matlab代码4.2参考⽂献⽬录1.理解⼆维傅⾥叶变换的定义1.1⼆维傅⾥叶变换⼆维Fourier变换:逆变换：1.2⼆维离散傅⾥叶变换⼀个图像尺⼨为M×N的函数的离散傅⾥叶变换由以下等式给出：其中和。
其中变量u和v⽤于确定它们的频率，频域系统是由所张成的坐标系，其中和⽤做（频率）变量。
空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。
可以得到频谱系统在频谱图四⾓处沿和⽅向的频谱分量均为0。
离散傅⾥叶逆变换由下式给出：令R和I分别表⽰F的实部和需部，则傅⾥叶频谱，相位⾓，功率谱（幅度）定义如下：1.3⽤FFT计算⼆维离散傅⾥叶变换⼆维离散傅⾥叶变换的定义为：⼆维离散傅⾥叶变换可通过两次⼀维离散傅⾥叶变换来实现:1）作⼀维N点DFT（对每个m做⼀次，共M次）2）作M点的DFT（对每个k做⼀次，共N次）这两次离散傅⾥叶变换都可以⽤快速算法求得,若M和N都是2的幂,则可使⽤基⼆FFT算法,所需要乘法次数为⽽直接计算⼆维离散傅⾥叶变换所需的乘法次数为（M+N）MN，当M和N⽐较⼤时⽤⽤FFT运算，可节约很多运算量。
1.3图像傅⾥叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平⾯空间上的梯度。
如：⼤⾯积的沙漠在图像中是⼀⽚灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；⽽对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是⼀⽚灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较⾼。
傅⾥叶变换在实际中有⾮常明显的物理意义，设f是⼀个能量有限的模拟信号，则其傅⾥叶变换就表⽰f的频谱。
从纯粹的数学意义上看，傅⾥叶变换是将⼀个函数转换为⼀系列周期函数来处理的。
二维fft原理
二维fft原理
二维FFT（快速傅里叶变换）是一种数学算法，可用于将二维空
间中的离散数据序列转换为频域表示。
它基于傅里叶变换的性质，通
过将二维数据分别在水平和垂直方向上进行一维FFT来实现。
在二维FFT中，数据被表示为一个矩阵，矩阵的每个元素代表了
二维空间中的一个数据点。
首先，在水平方向上对每一行应用一维FFT，并得到一组频域系数。
然后，在垂直方向上对每一列应用一维FFT，并再次得到一组频域系数。
这样，通过将这两组频域系数相乘，可以得
到原始数据的二维频域表示。
二维FFT的主要优点是在数据量大且计算复杂度高的情况下，能
够有效地加速频域分析。
它广泛应用于图像处理、信号处理和通信等
领域中，例如图像滤波、图像增强、图像压缩和频谱分析等。
在实际应用中，需要注意对输入数据进行预处理，使其满足FFT
的要求。
常见的预处理包括对数据进行零填充、数据长度取2的幂次
方等操作，以确保算法的正确性和性能。
综上所述，二维FFT是一种基于傅里叶变换原理的算法，通过对
二维空间中的数据应用一维FFT来实现频域分析。
它在图像和信号处
理领域中有广泛应用，能够加速频域分析并提供更好的分析结果。
实验一 图像的二维离散傅立叶变换
实验一图像的二维离散傅立叶变换一、实验目的掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质二、实验要求1) 建立输入图像,在6464的黑色图像矩阵的中心建立1616的白色矩形图像点阵,形成图像文件。
对输入图像进行二维傅立叶变换,将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上。
2) 调整输入图像中白色矩形的位置,再进行变换,将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上,比较变换结果。
3) 调整输入图像中白色矩形的尺寸(4040,44),再进行变换,将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上,比较变换结果。
三、 实验仪器设备及软件HP D538、MATLAB四、 实验原理在二维情况下,定义 f(x,y)的傅立叶变换Ｆ(u,v) :2()2()(,)(,)(,)(,)j ux vy j ux vy F u v f x y e dxdy f x y F u v e dudv ππ∞∞-+-∞-∞∞∞+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰它表明了空间频率成分与二维图像信号之间的相互关系对于我们要处理的实际二维图像,其傅氏变换一般就是在频率域上有界的,亦即有用成分总就是落在一定的频率域范围之内上述的频率域性质的依据在于:一就是图像中景物的复杂性具有一定的限度,其中大部分内容就是变化不大的区域完全像“雪花”点似的图像没有任何实际意义。
二就是人眼对空间复杂性(频率)的分辨率以及显示器的分辨能力都就是具有一定限度。
若实变量函数f(x)就是绝对可积的,即:且F(u)就是可积的,则傅立叶变换对一定存在。
(){}()()[](){}()()[]du ux j u F x f u F dx ux j x f u F ππ2exp 2exp ⎰⎰∞∞-∞∞-==-==1-F xf F如果f(x)考虑为实函数,它的傅立叶变换通常就是复数形式,即:()()()u jI u R u F +=也可表为:()()()u j e u F u F φ=若二变量函数f(x,y) 就是绝对可积的,即:且F(u,v)就是可积的,则傅立叶变换对一定存在。
二维dft变换编程
二维dft变换编程1.引言1.1 概述概述部分的内容引言部分将介绍二维DFT变换的基本概念和其在图像处理中的重要性。
随着数字图像处理的广泛应用，对图像进行频谱分析已经变得不可或缺。
二维快速傅里叶变换（DFT）是一种常用的技术，用于将图像从空域转换到频域，并可用于各种图像处理任务，例如滤波、图像增强和图像压缩等。
在数字图像中，图像的像素被组织成一个二维矩阵，其中每个元素代表图像的亮度或颜色信息。
通过对这个二维矩阵进行二维DFT变换，我们可以将图像的信息从空间域转换到频率域。
频率域表示了图像中各种频率成分的存在和强度，因此可以通过分析频域图像来获取有关原始图像的信息。
二维DFT变换的应用广泛。
在图像滤波方面，通过在频率域对图像进行滤波，可以实现各种滤波效果，例如去除噪声、增强轮廓和边缘检测等。
此外，二维DFT变换还可以用于图像增强，通过调整频域图像的幅度谱和相位谱，可以改善图像的质量和视觉效果。
另外，二维DFT变换在图像压缩和数据压缩领域也有重要作用，通过把图像信息从空域转换到频域并利用频域的特性，可以实现对图像的高效压缩和储存。
本文将详细介绍二维DFT变换的原理和应用。
首先，我们将解释二维DFT变换的基本原理，包括其数学定义和计算方法。
然后，我们将探讨二维DFT变换在图像处理中的应用，包括滤波、增强和压缩等方面。
最后，我们将对本文进行总结，并展望未来关于二维DFT变换的研究方向。
本文旨在为读者提供关于二维DFT变换的全面概述，并希望能够帮助读者理解和应用二维DFT变换在图像处理中的重要性和实际意义。
通过掌握二维DFT变换的原理和应用，读者将能够更好地使用和开发基于频域的图像处理算法，从而提高图像处理的效果和质量。
1.2 文章结构文章结构部分应该包括以下内容：文章结构部分旨在介绍本文的组织结构和主要内容。
本文将按照以下顺序来进行叙述。
首先，引言部分将概述本文的目标和重要性，并简要介绍文章的结构。
接着，正文部分将详细讨论二维DFT变换的原理和应用。
付立叶变换及其性质
傅里叶变换的性质这里主要介绍二维离散傅里叶变换（DFT ，discrete FT ）中的几个常用性质（可分离线、周期性和共轭对称性、平移性、旋转性质、卷积与相关定理）：可分离性二维离散傅立叶变换DFT 可分离性的基本思想是二维DFT 可分离为两次一维DFT 。
因此可以用通过计算两次一维的FFT 来得到二维快速傅立叶变换FFT 算法 。
根据快速傅里叶变换的计算要求，需要图像的行列数均满足2的n 次，如果不满足，在计算FFT 之前先要对图像补零以满足2的n 次。
一个M 行N 列的二维图像f(x,y)，先按行对列变量y 做一次长度为N 的一维离散傅里叶变换，再将计算结果按列向对变量x 做一次长度为M 傅里叶变换就可以得到该图像的傅里叶变换结果，如下式所示：()()()()∑∑-=-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=10102exp 2exp ,1,M x N y M ux j N vy j y x f MN v u F ππ 将上式分解开来就是如下两部分，首先得到F(x,v)再由F(x,v)得到F(u,v)：∑-=-=-=101...10]/2exp[),(1),(N y N v N vy j y x f N v x F ，，，π∑-=-=-=101,...,1,0,]/2exp[),(1),(N x M v u M ux j v x F M v u F πu=0,1,2,…M-1；v=0,1,2,...N-1计算过程如下图所示：每一行有N 个点，对每一行的一维N 点序列进行离散傅里叶变换得到F(x,u)，再对得到F(x,u)按列向对每一列做M 点的离散傅里叶变换，就可以得到二维图像f(x,y)的离散傅里叶变换F(u,v)同样，做傅里叶逆变换时，先对列向做一维傅里叶逆变换，再对行做一维逆傅里叶变换，如下式所示：()()()()∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10102exp 2exp ,,M u N v M ux j N vy j v u F y x f ππ x=0,1,2,…M-1；y=0,1,2,...N-1周期性和共轭对称性由傅里叶变换的基本性质可以知道，离散信号的频谱具有周期性。
傅里叶变换及其在图像处理中的应用
傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用王家硕 学号：1252015一、 Fourier 变换1. 一维连续傅里叶变换设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。
（2）具有有限个极点。
（3）绝对可积。
则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ⎰+∞∞--==ωω)()]([)(；Fourier 逆变换：ωωπωd e f t F f t f t j ⎰∞+∞---==)(21)]([)(1，式中：1-=j ，ω 为频域变量。
f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。
由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1)式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。
公式1可表示为指数形式：式中：F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。
2. 二维连续傅里叶变换如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞<⎰⎰+∞∞-dxdy y x f |),(，且F (u , v )是可积的，则二维连续傅里叶变换对可表示为：dt e y x f v u F t j ⎰⎰+∞∞--+∞∞-=ω),(),(dt e v u F y x F t j ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=ω),(),(对于图像 f (x, y)，F(u, v)是它的频谱。
变量u 是对应于x 轴的空间频率，变量v 是对应于y 轴的空间频率，与在一维的情况类似，可定义二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱为：3.一维离散傅里叶变换对一个连续函数f (x)等间隔采样可得到一个离散序列。
设共采样N个，则这个离散序列可表示为{ f (0), f (1), f (2), , f (N -1)}。
关于二维离散傅里叶变换的总结
前段时何看了很多的概念和知识，发现因为肚走马观花的过了一遍，所以看得稀里糊涂的，然后许多地方混淆了概念，特别足关丁•图像频率域的部分的理解(包括图像频率域:虑波Z类的)，所以下而总结一下这段时间重新看《数字图像处理》(电子工业出版社，Matlab木科教学版)第三帝垂新收获的关于频率域的理解.首先，我们要明确的概念定空间域和频率域，我们通过unread慚数得到的一幅图像(基本上也出我们平时说的图像)，足处任空间域的，也就於说用f(x,y)衣征的某一点的灰度值(或者出单色图像中某一点的亮度)的这种形式，就兄在空间域里而.那么什么是图像的频率域呢？理解了图像的频率的概念，就不难理解频率域。
我个人理解足这么类比的，图像町以看成足一个特殊的二维的信号，然后某一点的灰嗖级，其实就是图像信号上这一点的"幅度“，那么根据信号的概念.频率就是信弓变化的快慢.这样就好理解了，所谓的频率也就於这个图空间上的灰度变换的快慢•或者於叫图像的梯度变化，什么地方梯度频率比较大呢？这在图像中1‘1然於“边界"比较大. 举个例子来讲，如果一幅图蔡体变化不大(比如说足一面墙的图)，那么他在频率域下低频成分就很多，而高频成分就极少。
而显然如果是一幅国际象棋棋盘，他的高频成分相对刚才那幅墙的图片来说，肯定参得然后从图像域变换到频率域.我们用的函数就足大名抽时的二维离散傅里叶变换了：令f(x,y)表示一幅大小为MXN像素的数字图像，其中，x=0,仁2……M-1, y=0, 1. 2……N-1,由F(u, v)表示的f(x, y)的二维离散傅里叶变换(DFT)由下式给出：Af —1 N_1 F(u,v) = 乂工皿刃严咛刊x=0 y=0 式子当中，u也足属于0到M-1.VW于0到N-仁频率域就足属于u, v作为频率变呈.由F(u, v)构成的坐标系，这块MXN的区域我们通常称为频率矩形，很明显频率矩形的大小和输入图像的大小柑同。
离散傅里叶变换及其性质
离散傅⾥叶变换及其性质1 ⼀维与⼆维离散傅⾥叶变换以周期对函数 f(t) 采样可表⽰为，对采样函数进⾏傅⾥叶变换得，整理得。
由于对函数 f(t) 的采样周期为，采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期为，同样的，也是采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期，只是这个周期不是以原点对称的。
在区间中取 M 个点，则第 m 个点的频率为，带⼊公式得，其中，为连续函数 f(t) 对应的 M 个离散值，为取样函数的傅⾥叶变换对应的 M 个离散值，整理公式得（由于函数仅在 [0,M-1] 上有⾮零值，故真实求和区间为 [0,M-1]）。
因此，⼀维离散傅⾥叶变换对为，。
类似的，⼆维离散傅⾥叶变换对为，。
2 傅⾥叶变换的性质1）傅⾥叶变换平移特性，⽤指数项乘以 f(t) 使得傅⾥叶变换后原点移动到处，使⽤负指数乘以使得反傅⾥叶变换后原点移动到处，证明如下：，使⽤替换得，因此有，类似推导可得。
将平移特性扩展到⼆维离散变量上有。
2）离散傅⾥叶变换⼀定具有周期特性，因为离散傅⾥叶变换的频率取值在区间内，有限频率导致必然具有周期性，连续傅⾥叶变换频率取值为⽆穷⼤，所以连续傅⾥叶变换⼀般不具有周期性（但也有所有频率都⼀样的函数）。
离散傅⾥叶变换周期性可表⽰为。
观察公式 或，发现频率取值在之间，⽽⼀个完整的频率应该在之间，如下图：如果直接应⽤公式进⾏傅⾥叶变换，得到的频率为 [0,M-1]区间，这是两个半周期组成的⼀个周期。
在图像中则表现为低频信号分布在4个⾓落，这显然不便于观察频率信息。
结合傅⾥叶变换的平移特性，可以将原函数乘以⼀个正指数项，使得平移后傅⾥叶变换再 [0,M-1]区间正好是⼀个完整的周期。
将原函数平移 M/2 可以实现该⽬标，具体分析如下： 原函数平移 M/2 得 ，由于 x 为⾮负整数，,最终得到。
对于⼆维离散变量有相似结论 。
3）原函数（⼆维及以上）旋转⼀定⾓度，其傅⾥叶变换也旋转对应⾓度。
令 为原函数变量的列向量， 为傅⾥叶变换函数变量的列向量，对的傅⾥叶变换可表⽰为，对 旋转⼀定⾓度可表⽰为，其中 R 为旋转矩阵，对 的傅⾥叶变换可表⽰为 ，由 得 ，并将其带⼊上式得，由于，因此 ，使得傅⾥叶变换旋转相应⾓度。
二维傅里叶变换
主要内容：由离散周期信号的傅里叶级数DFS 离散时间非周期信号的傅里叶变换 离散时间周期信号的傅里叶变换
一 非周期序列的DTFT
X x ne jn
n
1 2 jn x n X e d 2 0
物理含义： （1） x(n)可以表示成无穷多个复指数序列的线性组合； （2) X()表示了x(n)中各个频率分量的相对大小。
n x 2 ( n) x ( ) 1 2 cos 2 2 cos 4 2 sin 5 X 2 sin
-4
-2
0
2
4
n
x3 ( n) x( 2n) 1
-1 0 1
n
x3 ( n) x ( 2n) 1 2 cos X 2
X 2 X1
例
n 信号 x n a u( n), | a | 1的DTFT。
DTFT[a n u( n)]
1 1 ae
j
， a 1
例： 求单位样值信号 x( n) ( n) DTFT。
DTFT[ ( n)] 1
例：求矩形脉冲序列的DTFT，并画出N1=2时的频谱图。
累加
m
x m x n * un
1 1 e
j
n
1 1 e
j
X X 0
其中，un
k
2k
k 可以参考：徐守时《信号与系统－理论 方法和应用》中国科技大学出版社P207
1 ae
j 2
( n) 1
( n n0 ) e jn0
二维傅里叶变换与逆变换
二维傅里叶变换与逆变换二维傅里叶变换和逆变换是信号处理中最重要的技术之一，是将时域信号转化为频域信号的过程。
本文将对二维傅里叶变换和逆变换进行详细介绍，包括定义、性质、计算方法等内容。
二维傅里叶变换是将二维信号（如图像）从时域转换到频域的数学方法。
它将一个以二维数组表示的时域信号转换成一个以复数二维数组表示的频域信号，该频域信号表示了该信号的频率分量和其强度。
二维傅里叶变换的基本定义为：$F(u,v)=\iint_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-i2\pi(ux+vy)}dxdy$$f(x,y)$为二维时域信号，$F(u,v)$为二维频域信号，$u$和$v$为频率变量，$i$为虚数单位。
二维傅里叶变换具有很多重要的性质，这些性质对于理解和应用二维傅里叶变换非常重要。
下面列举了二维傅里叶变换的一些重要性质：1. 线性：二维傅里叶变换是线性的，也就是说，如果$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$是两个二维函数，$a$和$b$是常数，则有$F(a f_1(x,y)+b f_2(x,y)) = aF(f_1(x,y)) +bF(f_2(x,y))$。
3. 对称性：如果$f(x,y)$是一个实函数，则$F(u,v)$是关于$u=0$和$v=0$对称的，即$F(u,v)=F(-u,-v)$。
4. 拉普拉斯变换：二维傅里叶变换是拉普拉斯变换在两个变量上的推广。
当$f(x,y)$是一个实函数时，$F(u,v)$可以表示为$f(x,y)$的拉普拉斯变换，即$F(u,v)=\mathcal{L}\{f(x,y)\}$。
三、二维傅里叶变换的计算方法计算二维傅里叶变换需要进行积分，这往往比较麻烦和复杂。
通常使用离散傅里叶变换（DFT）方法进行计算。
DFT方法是通过将二维信号离散化为一个有限的二维数组，并计算该数组的离散傅里叶变换来实现的。
通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来计算DFT。
FFT算法可以在$O(Nlog_{2}N)$的时间复杂度内计算一个$N*N$矩阵的离散傅里叶变换，其中$N$通常是$2$的幂次。
二维离散傅里叶变换公式及参数意义
二维离散傅里叶变换公式及参数意义傅里叶变换是信号处理中的重要工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。
而二维离散傅里叶变换则是将二维离散信号转换为二维频域信号的工具。
本文将介绍二维离散傅里叶变换的公式及其参数意义。
一、二维离散傅里叶变换公式二维离散傅里叶变换的公式如下：$$F(u,v)=\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{N}+\frac{vy}{N})}$$其中，$F(u,v)$表示二维频域信号，$f(x,y)$表示二维离散信号，$N$表示信号的长度和宽度，$u$和$v$表示频域的坐标。
二、参数意义1. $F(u,v)$$F(u,v)$表示二维频域信号，它是由二维离散信号通过傅里叶变换得到的。
在频域中，$F(u,v)$的值表示了信号在该频率下的强度和相位信息。
2. $f(x,y)$$f(x,y)$表示二维离散信号，它是由二维连续信号通过采样得到的。
在时域中，$f(x,y)$的值表示了信号在该时刻下的强度。
3. $N$$N$表示信号的长度和宽度，它决定了信号的采样率和频率分辨率。
信号的长度和宽度越大，采样率越高，频率分辨率越精细。
4. $u$和$v$$u$和$v$表示频域的坐标，它们决定了信号在频域中的位置。
在频域中，$u$和$v$的值越大，表示信号的频率越高。
三、总结二维离散傅里叶变换是信号处理中的重要工具，它可以将二维离散信号转换为二维频域信号，从而更好地分析和处理信号。
二维离散傅里叶变换的公式包括了频域信号、离散信号、信号长度和宽度以及频域坐标等参数，这些参数的意义对于理解和应用二维离散傅里叶变换都非常重要。
二维傅里叶变换sinc
二维傅里叶变换是一种在图像处理中常见的变换方式，它将图像从空间域转换到频率域。
这个过程中，图像中的每个像素都与一组复平面波进行内积（先点乘后求和），这可以被视为在不同基函数上做投影。
而sinc函数在傅里叶变换中扮演了重要的角色，原因在于其独特的性质。
矩形函数的傅里叶变换是sinc函数。
这是因为在频域，矩形函数被离散化为sinc函数。
换句话说，当你对一个具有特定占空比的连续周期方波信号（这是矩形函数在时域的表达）进行傅里叶变换时，你将在频域得到一个离散的sinc信号。
需要注意的是，sinc函数不是绝对可积的，但是其绝对平方是可积的。
此外，当以角频率w 为自变量时，sinc函数的表达式将变为Tsinc(wT/2pi)。
这种特性使得sinc函数在许多物理和工程问题中都有应用，例如在信号处理、图像处理等领域。
ifft2原理 -回复
ifft2原理-回复IFFT2是离散时间二维傅里叶变换（Discrete-time two-dimensional Fourier Transform）的逆变换，它将频域信号转换回时域信号。
本文将逐步回答IFFT2的原理、公式推导、算法实现以及应用。
一、IFFT2原理IFFT2基于傅里叶分析的原理，通过将频域信号转换回时域信号，恢复信号的空域特性。
在二维信号处理中，IFFT2主要用于将图像从频域转换回空域。
二、公式推导假设输入信号为F(k1, k2)，k1和k2分别代表频域的两个维度。
则IFFT2的公式为：f(n1, n2) = (1/N1*N2) Σ Σ F(k1, k2) e^(j2π(k1n1/N1 + k2n2/N2))其中，N1和N2分别表示图像的宽度和高度。
IFFT2的公式表示了在频域中每个频率分量对应的时域表示。
通过对所有频率分量进行求和，我们可以得到返回时域的图像。
三、算法实现实现IFFT2通常有两种方法：基于时间域的算法和基于频域的算法。
这里我们将重点介绍基于频域的算法。
1. 对输入信号F(k1, k2)应用傅里叶变换，得到频域信号G(k1, k2)。
2. 对频域信号G(k1, k2)进行共轭操作，得到共轭频域信号G*(k1, k2)。
3. 对共轭频域信号G*(k1, k2)应用傅里叶变换，得到时域信号g(n1,n2)。
4. 对时域信号g(n1, n2)进行缩放和归一化操作，得到最终的时域结果f(n1, n2)。
这个算法可以通过快速傅里叶变换（FFT）实现，以提高计算效率。
四、应用IFFT2在许多领域都有广泛的应用，特别是在图像处理和信号处理中。
1. 图像恢复：在图像压缩和传输过程中，可以使用IFFT2来重新构建丢失的图像信息，以实现图像的恢复。
2. 滤波器设计：可以使用IFFT2来设计并实现各种频率域滤波器，如低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器。
3. 频域分析：通过使用IFFT2，可以将频域信号转换为时域信号，以分析信号的时域特性。
第六章_图像变换
6.1.3 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 5、共轭对称性
设f(x,y)为实函数，则其傅里叶变换F(u,v)具有共 轭对称性：
F (u, v) F (u,v)
| F (u, v) || F (u,v) |
(6.23)
(6.24)
6.1.3 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 6、平移性
F (u) | R(u) | exp[ j (u)]
2 2
（6.7）
I (u ) 且 | F (u ) | R (u ) I (u ) ， (u ) arctan[ ] (6.8) R(u )
其中，|F(u)|称为f(x)的傅里叶频谱，反映了f(x)的幅 频特性；Φ(u)称为相位角，反映了f(x)的相频特性。
根据欧拉公式
exp( j 2xu) cos 2ux j sin 2ux
所以，F(u)一般是复数，并可以写成
e
ix
cos x i sin x
有：
（6.5）
F (u ) R(u ) jI (u )
（6.6）
其中，R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部，指数形式为
0 A M/2 M C
N/2 B D
(M/2,N/2)
N
v
(M/2,N)
(M,N/2) (M,N)
u
6.1.4 图像的傅里叶频谱特性分析 1、图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性
图6.1和图6.2是原点坐标位于(0,0)的图像的傅 里叶变换频谱关于(M/2,N/2)对称的两个例子。
1 N 1 N 1 如果将u=v=0代入式(6.18)： (u, v) f ( x, y) exp[ j 2 ( xu yv) ] F N x 0 y 0 N
2dfft运算出的数的频率排列顺序
2DFFT是一种用于计算二维离散傅里叶变换的算法，在信号处理和图像处理等领域具有广泛的应用。
在进行2DFFT运算时，得到的数的频率排列顺序对于后续数据处理和分析具有重要意义。
本文将就2DFFT 运算出的数的频率排列顺序进行详细的探讨和分析。
1. 2DFFT是什么？在介绍2DFFT运算出的数的频率排列顺序之前，首先要了解2DFFT 是什么。
2DFFT是二维离散傅里叶变换的缩写，它是一种对二维数据进行频域变换的方法。
通过2DFFT，我们可以将空间域中的二维数据转换为频率域中的频谱信息，从而实现对图像、信号等二维数据的频域分析与处理。
2. 2DFFT运算出的数的频率排列顺序是什么样的？在进行2DFFT运算后，得到的数的频率排列顺序通常是按照频率从低到高的顺序排列的。
具体来说，对于一个N×N大小的二维数据，其频率域中的频率分布情况如下：- 频率为0对应于数据的直流分量，即图像的平均亮度或信号的直流分量。
- 其余频率点则按照距离原点的距离逐渐增大，呈放射状分布。
3. 频率排列顺序的作用及意义得到2DFFT运算结果后，对频率排列顺序进行进一步的分析和理解，可以帮助我们更好地理解数据在频率域中的分布情况，对后续的数据处理和分析工作有着重要的指导意义。
- 通过频率排列顺序，我们可以直观地了解频域中频率分量的分布情况，从而对处理后的频谱信息进行合理的解释和分析。
- 频率排列顺序也直接影响着后续的滤波、去噪等数据处理工作。
了解频率排列顺序可以帮助我们更好地选择合适的滤波器、去噪算法，从而实现对频率域中信号的高效处理。
4. 如何理解2DFFT运算出的数的频率排列顺序？要想更好地理解2DFFT运算出的数的频率排列顺序，首先需要理解2DFFT所基于的傅里叶变换的原理。
- 傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将一个信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
在二维情况下，傅里叶变换同样可以将二维数据分解为不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
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图像的二维离散傅立叶变换
一、实验目的
掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质
二、实验要求
1) 建立输入图像，在64⨯64的黑色图像矩阵的中心建立16⨯16的白色矩形图像点阵，
形成图像文件。
对输入图像进行二维傅立叶变换，将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上。
2) 调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，将原始图像及变换图像（三维、中
心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。
3) 调整输入图像中白色矩形的尺寸（40⨯40，4⨯4），再进行变换，将原始图像及变
换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。
三、实验仪器设备及软件
HP D538、MATLAB
四、实验原理
设),(y x f 是在空间域上等间隔采样得到的M ×N 的二维离散信号，x 和y 是离散实变量，u 和v 为离散频率变量，则二维离散傅里叶变换对一般地定义为
∑∑-=-=+-=1010)],(2ex p[),(1),(M x N y N yu M xu j y x f MN
v u F π,1,0=u …，M-1；y=0，1，…N-1 ∑∑-=-=+=101
0)],(2ex p[),(),(M x N y N
uy M ux j v u F y x f π ,1,0=x …，M-1；y=0，1，…N-1 在图像处理中，有事为了讨论上的方便，取M=N ，这样二维离散傅里叶变换对就定义为,])(2ex p[),(1),(1010∑∑-=-=+-=N x N y N
yu xu j y x f N v u F π 1,0,=v u …，N-1 ,])(2ex p[
),(1),(1010∑∑-=-=+=N u N v N
vy ux j v u F N y x f π 1,0,=y x ，…，N-1 其中，]/)(2exp[N yv xu j +-π是正变换核，]/)(2exp[N vy ux j +π是反变换核。
将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为),(y x f 的功率谱，记为
),(),(|),(|),(222v u I v u R v u F v u P +==
功率谱反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。
五、实验步骤及程序
（1）实验步骤
1、建立一个64×64的原始图像，在矩阵的中心建立16⨯16的白色矩形图像点阵，形成图像文件。
2、对输入图像进行二维傅立叶变换
3、进行频谱中心化，得到中心化傅立叶频谱图
4、将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。
5、调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，输出图像
6、调整输入图像中白色矩形的尺寸（40⨯40，4⨯4），再进行变换，输出图像
（2）图像的二维离散傅立叶变换实验流程图
图1.1图像的二维离散傅立叶变换实验流程图
（3）实验源程序
1、将原始图像及变换图像都显示于屏幕上的程序
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(25:40,25:40)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
2、调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换后的程序
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(47:63,47:63)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
subplot(232)
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
3、整输入图像中白色矩形的尺寸（40⨯40，4⨯4），再进行变换的程序
40×40
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(13:52,13:52)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
4×4
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(13:52,13:52)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
subplot(232)
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
六、实验结果与分析
图1.2将原始图像及变换图像都显示的实验图像
图1.3调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换后的实验图像
图1.4调整输入图像中白色矩形的尺寸（40⨯40），再进行变换的实验图像图1.5整输入图像中白色矩形的尺寸（4⨯4），再进行变换的实验图像
1、傅里叶频谱的低频主要决定图像的平坦区域中灰度的总体分布，而高频主要决定于图像的边缘和噪声等细节。
按照图像空间域和频率域的对应关系，空域中的强相关性，即由于图像中存在大量的平坦区域，使得图像中的相邻或相近像素一般趋向于取相同的灰度值，反映在频率域中，就是图像的能量主要集中于低频部分。
因此在三维频谱图中可以清楚地看出原图像的频谱中的较大值集中于四个角的低频部分。
原图像的频谱图不能明显地反映图像的完整频谱。
经过中心化后可以看出频谱中的较大值集中在中心。
可以很好地反映出图像的完整频谱。
2、基于傅里叶变换的周期性及平移特性，图1.2是经过平移后的图像，通过图1.2和图1.3对比可以证明傅里叶变换的周期性及平移特性。
3、通过图1.4和图1.5的对比可以看出图1.4的较大值更加集中。
图1.5在最大值旁还有较大值伴随。
七、实验心得
通过本次实验是我对于图像的二维傅里叶变换有了更好地理解，对于傅里叶变换的周期性和平移特性更加直观的学习到了。
傅里叶变换后图像的优点和不足也有了深刻地了解，通过图像的中心化可以更好地反映出图像的完整频谱。