第六章集合代数
集合代数
1/11/2020 1:46 AM
Discrete Math. , Yanxiu Sheng
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集合的表示方法
集合的表示方法 列元素法 A={a,b,c,d},B={1,2,3,4},
D={桌子，灯泡，自然数，老虎}, C={2,4,6,…,2m},S={a,a2, a3, …, an} 仅适用于有限集合。 谓词表示法 B={ x | P(x) } B 由使得 P(x) 为真的 x 构成 如， P(x) 表示x是正奇数，则B是所有正奇数的集合.
{1,2,4}={1,4,2} 集合中的元素不一定同类。
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幂集
定义 (A) = { x | xA }，或记为(A),2A 实例 () = {}， ({}) = {,{}} ({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数：如果 |A| = n，则 | (A)| = 2n
xA和 xA 两者成立其一，且仅成立其一.
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隶属关系的层次结构
例1 A={ a, {b,c}, d, {{d}} } {b,c}A bA {{d}}A {d}A dA
注意：集合的元素也可以是集合.
证明 设A={a1,a2,…,an},把a1a2…an与一个n位二进制数b对应, ai对应于b的第i位。定义二进制数b所对应A的子集B ：与b 中的1对应的A中元素组成的集合。这样B与该二进制一一 对应，有多少个不同n位二进制就有多少个不同的子集。
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高等代数第六章
数域P上的线性空间．
例5 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为： a, b R , k R
a b log
b a
k a ak
a , b R , k R 2) 加法与数量乘法定义为：
a b ab
k aa
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
为数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添上 零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法
构成数域 P上的一个线性空间。
例3 线性空间 P mn
数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵的乘法 和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间。
例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个
3）如果 σ 、τ都是双射，那么 g 也是双射，并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向 量的加法和数量乘法： (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
定义：集合是一些事物汇集到一起组成的一个整
体；组成集合的这些事物称为集合的元素。
集合用大写字母A、B、C 等表示； 集合的元素用小写字母a、b、c 等表示．
Note “集合”概念没有一个严谨的数学定义，只是有一个 描述性的说明． 集合论的创始人－－19世纪中期德国数学家康托尔 （Cantor）把集合描述为：所谓集合是指我们直觉 中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为 一个整体来考虑的结果. 集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.
第6章代数
第六章 代 数 例3 (a) 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 (1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a
那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 和〈R, min, +∞〉(这里R是
包含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。
而每一非0元素 x 的逆元是（k - x） 。
第六章 代 数
(g) 设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:
x×ky = z
这里z∈Nk, 且对某一n, xy – z = nk。
即 xy/k = n …… z （余 )
（ --------用于计算）
结论：
① 1是幺元 。
② 有逆元仅当x和k互质。
第六章 代 数
③ （G除去幺元ｂ，剩下a与c ) 经考察发现：
运算表中a所在行与c 所在列的交叉元素，
以及c所在行与a所在列 的交叉元素都是幺元b。
故a与c互 逆 。
*a b c aa a b ba b c cbc c
第六章 代 数
(e) 考虑在函数的合成运算下,集合A上的所有函数的集合F。
那么恒等函数IA 是幺元，每一双射函数有一逆元。 (f) 设 Nk 是前k 个自然数的集合, 这里 k ﹥ 0 ,
在运算表中， x0所在行与列的元素，分别与表头的行与
列的元素一一对应相同 。 结论２： 在运算表中，某元素 y0 ∈ A是运算*的零元
在运算表中， y0所在行与列的元素都是y0
结论３： 运算*满足交换律
运算表中的元素 关于主对角线对称
初中知识代数——集合
代数部分集合1.集合把某种共同性质的一些事物看作一个整体，就是一个集合。
集合里的各个事物叫做这个集合的元素。
集合一般用大写字母A，B，C......表示，集合的元数一般用小写字母a，b，c......表示。
自然数记作N；整数集记作Z;有理数集记作Q；实数集记作R。
不含任何元素的合集叫作空集。
空集通常记作∅。
如果a是合集A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果b不是合集A的元素，就说b不属于集合A，记作b∉A。
关于合集的概念，要注意以下几点：①确定性：对于一个给定的集合，它的元素是确定的。
这就是说，任何一个对象或者是这个合集的元素，或者不是它的元素，二者必具其一。
②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的。
这就是说集合中任何两个元素都是不同对象。
因此，集合中的元素没有重复现象。
③无序性：集合只与组成它的元素有关，而与它的元素顺序无关。
2.集合的表示法集合表示方法，常用的有以下三种：①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在一个大括号内。
例如：小于10的正偶数组成的集合可表示为｛2468｝。
②描述法：把合集中元素的公共属性描述出来，写在一个大括号内。
例如：所有直角三角形组成的集合可表示为｛直角三角形｝；不等式x-5＞2的解的集合可表示为｛x | x-5＞2｝.③文氏图法：把集合中的全部元素用一条封闭的曲线圈起来（其实就是写在圆圈内），或用曲线内的平面表示集合。
如下图：二、集合之间的关系1.子集如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫作集合B的子集，记作：A⊆B，或B⊇A它们分别读作：“A包含于B““B包含A“。
如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A就叫做集合B的真子集，表示为：A⊂B、B⊃ A空集是任何集合的子集对于两个集合A与B，如果A⊆B，同时B⊇A，我们就说这两个集合相等，记作：A＝B2.交集对于给定的集合A，B，有同时属于A与B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作：A∩B，读作：“A交B”。
关系代数 集合代数
关系代数集合代数嘿，朋友！咱们今天来聊聊关系代数和集合代数这俩神秘又有趣的家伙。
你知道吗？关系代数就像是个神奇的魔法盒子，里面装满了各种处理数据关系的奇妙工具。
它能帮我们从错综复杂的数据网中找出我们想要的宝贝。
比如说，选择运算就像是一个超级挑剔的筛选器，只把符合特定条件的数据挑出来。
这不就像咱们在一堆水果里，只挑出又大又甜的苹果一样吗？而投影运算呢，则像是个会变魔术的手，把数据中的某些列给单独拎出来展示，就像从一大束花里只拿出自己喜欢的那几种颜色的花朵。
再来说说集合代数，它就像是个数据的大派对！交运算就好比是两个朋友圈的共同好友，把大家都认识的那部分给找出来。
并运算呢，就像是把两个朋友圈的所有人都凑到一起，不管之前认不认识，都放在一块儿。
差运算呢，就像是从一个朋友圈里去掉另一个朋友圈里的人，只留下独特的那些。
想象一下，如果没有关系代数和集合代数，我们在数据的海洋里是不是就像没头的苍蝇，到处乱撞？在实际应用中，这两者可帮了大忙啦！比如在数据库管理中，要找出同时满足几个条件的数据，这时候关系代数的选择运算就派上用场啦。
而在整合不同来源的数据时，集合代数的并运算能让我们快速把数据汇总起来。
就拿电商平台来说吧，通过关系代数和集合代数的运算，可以轻松找出哪些用户既买了衣服又买了鞋子，哪些商品是最受欢迎的，哪些商品很少有人问津。
这不就像给商家开了个天眼，能清楚看到用户的喜好和市场的走向吗？你看，关系代数和集合代数虽然听起来有点复杂，但其实就像我们日常生活中的各种分类整理一样。
只要我们掌握了它们的窍门，就能在数据的世界里游刃有余，轻松搞定各种难题。
所以啊，别再对关系代数和集合代数感到头疼啦，用心去理解它们，你会发现它们就是我们在数据世界里的得力助手，能帮我们创造出更多的可能！。
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
离散数学第六章集合代数
集合算律
6.3 集合恒等式
1．只涉及一个运算的算律：
交换律、结合律、幂等律
交换 结合
幂等
AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A
AB=BA (AB)C= A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C =A(BC)
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2．涉及两个不同运算的算集律合：算 律 分配律、吸收律
与
分配
A(BC)=
(AB)(AC)
A(BC)=
(AB)(AC)
吸收
A(AB)=A
A(AB)=A
与
A(BC) =(AB)(AC)
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3．涉及补运算的算律： 集合算律 DM律，双重否定律
D.M律
双重否定
A(BC)=(AB)(A C)
A(BC)=(AB)(A C)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
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4．涉及全集和空集的算律集：合 算 律 补元律、零律、同一律、否定律
解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.
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(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法：
把 #2022 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可
能是集合表达式.
(2) 判断AB的四种方法
若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否 在B中出现.
（交换律）
八． = A E
（零律）
九． = A
（同一律）
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例6 证明AB AB=B AB=A AB=
#2022
①
②
③
④
证明思路：
确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④
集合代数
集合代数对事物进行分类是科学研究的一项基本工作。
在数学上通常把分类的结果称为集合。
因此，“集合”是数学中最常用的概念。
事实上，现代数学中所有对象都可以视为集合，所有数学概念都可以用集合进行定义。
数理逻辑学家们正努力用集合及其若干公理重新构造整个数学体系。
我们学习集合论的意义有两点：（1）集合论是数学的基础，学习集合论有助于理解现代数学的公理化方法。
（2）集合论为应用领域提供建模和分析工具。
本讲学习集合论的基础知识，包括如下4个部分：1.集合代数：若干基本概念和集合运算及其运算定律。
2.二元关系：用集合定义二元关系，二元关系的分类和性质。
3.函数：用二元关系定义函数，函数的分类和性质。
4.ZFC公理系统：学习由Zermelo和Frankel等人所设计的10组集合论公理，并用以证明某些对象的分类是集合。
1.集合的概念和表达式我们所能感知的客观事物和思想中产生的观念，是我们的认知对象（object，entity）。
我们根据对象的各种共同性质把对象划分为不同的类（class）。
在数学中，我们通常把一个类称为集合（set），其中的对象称为该集合的成员（member）或者元素（element）。
通常用大写字母表示某集合，小写字母表示该集合中的元表示x是A的成员，读作“x属于A”。
这个素。
对于任何集合A，我们用x A成员隶属关系是集合论中的一个基本关系，可以定义其它的关系，包括两个集合相等、包含，等等。
在现代数学中，“集合”被选作为一个基础性概念，用以定义其它数学概念。
作为整个数学体系的第一概念，它自身是没有定义的，也是不可能被定义的。
尽管集合概念没有通用的定义，每个集合实例都是有严格定义的。
我们有两种定义集合实例的方法，即枚举法和概括法。
ZFC公理系统严格地描述了这两种定义集合的方法。
这里我们先对两种定义方法做直观的描述。
枚举法：也称列举法，明确地将一个集合的所有元素（的名字）排列在花括号内，元素之间用逗号分隔。
集合的代数闭包与代数方程
集合的代数闭包与代数方程代数闭包是代数数论中的一个重要概念。
集合的代数闭包是指在某个域中，所有代数方程都有解的最小域。
定义设K是一个域，S是K的一个子集。
如果在K中，对于任何系数在S中的多项式f(x)，如果f(x)=0有解，那么称S是代数闭合的，或者说S是K的代数闭包。
性质集合的代数闭包具有以下性质：•每个域都有一个代数闭包。
•代数闭包是唯一的。
•代数闭包是一个代数扩张。
•代数闭包是一个无限域。
•代数闭包是代数封锁的。
构造集合的代数闭包可以通过以下方法构造：•代数扩张：给定一个域K ，可以构造一个代数扩张K(a)，其中a 是K 中的一个代数元素。
K(a)是K 的一个代数闭包。
•超越扩张：给定一个域K ，可以构造一个超越扩张K(x)，其中x 是K 中的一个超越元素。
K(x)不是K 的一个代数闭包，但可以将K(x)代数闭合得到K(x,a)，其中a是K(x)中的一个代数元素。
K(x,a)是K的一个代数闭包。
应用集合的代数闭包在代数数论和代数几何中有广泛的应用。
在代数数论中，代数闭包可以用来研究代数数的性质。
在代数几何中，代数闭包可以用来研究代数曲线的性质。
代数方程代数方程是指形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个多项式。
如果f(x)的系数在一个域K中，那么这个方程称为K上的代数方程。
代数方程的解代数方程的解是指满足方程f(x)=0的元素x。
代数方程的解可以是代数数，也可以是超越数。
代数方程的根代数方程的根是指方程的解中，位于该方程系数域的元素。
代数方程的根是代数数。
代数方程的根的存在性代数方程的根的存在性是代数数论中的一个重要问题。
代数方程的根的存在性可以通过以下方法证明：•代数闭包：如果一个域K是代数闭合的，那么对于任何K上的代数方程，都存在一个解在K中。
•代数扩张：如果一个域K不是代数闭合的，那么可以构造一个代数扩张K(a)，其中a是K中的一个代数元素。
K(a)是K的一个代数闭包，因此对于任何K上的代数方程，都存在一个解在K(a)中。
6-4 布尔代数
第六章 格和布尔代数
a≼a1∨a2∨…∨ak 于是有 a≼(a1∨a2∨…∨ak)∧(a1∨a2∨…∨ak)′=0 即 a≼0 这与a是原子相矛盾。所以b∧(a1∨a2∨…∨ak)′＝0，根 据引理6-4.2有 b≼a1∨a2∨…∨ak 由≼的反对称性知 b＝a1∨a2∨…∨ak
第六章 格和布尔代数
引理6-4.3
设X,∨,∧,′是有限布尔代数，如果
bX且b≠0，a1,a2,…,ak是X中满足aj≼b(j=1,…,k)的 所有原子。则b=a1∨a2∨…∨ak是将b表示为原子的 唯一形式。 说明：这里唯一性的含义分为两个方面，式中任一原子
aj 都有aj≼b；所有aj≼b的原子都在式中，所以可用反
设a≼b，由于b′≼b′，根据定理有a∧b′≼b∧b′，而 b∧b′=0，所以a∧b′≼0。又因为0≼a且0≼b′，故有 0≼a∧b′。由≼的反对称性知a∧b′=0。
第六章 格和布尔代数
引理6-4.2设X,∨,∧,′是有限布尔代数，0是全下界， 如果bX且b≠0，a1,a2,…,ak 是X中满足aj≼b(j=1,…,k)的所 有原子，则b=a1∨a2∨…∨ak 证明：因为aj≼b(j=1,…,k)，所以a1∨a2∨…∨ak≼b 再证b≼a1∨a2∨…∨ak，根据引理6-4.1，只需证明 b∧(a1∨a2∨…∨ak)′=0。 用反证法。设b∧(a1∨a2∨…∨ak)′≠0 由定理6-4.2，至少存在一个原子a，使得 a≼b∧(a1∨a2∨…∨ak)′ 又因为b∧(a1∨a2∨…∨ak)′≼b和 b∧(a1∨a2∨…∨ak)′≼(a1∨a2∨…∨ak)′ 由≼的传递性可得a≼b和a≼(a1∨a2∨…∨ak)′ 因为a是原子且满足a≼b，所以a必是原子a1,a2,…, ak中 的一个，因此
高等代数 集合与映射
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换
§6.1 集合·映射
一、集合 二、映射
§6.1 集合 映射
一、集合(set)
1、定义
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 组成集合的这些事物称为集合的元素（element）． ☆ 常用大写字母A、B、C 等表示集合；
（8）M=Z，M´＝2Z，
σ：σ(n)＝2n, n Z
（双射） （双射）
§6.1 集合 映射
4、可逆映射
定义 设映射 : M M ', 若有映射 : M ' M , 使得 IM , IM
则称σ为可逆映射（invertible mapping），τ为σ的 逆映射，记作σ－1．
§6.1 集合 映射
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法
描述法（description）： 给出这个集合的元素所具有的特征性质. M＝｛x | x具有性质P｝
列举法（enumeration）： 把构成集合的全部元素一一列举出来. M＝｛a1，a2，…，an｝
§6.1 集合 映射
例1 M {( x, y) x2 y2 4, x, y R}
用小写字母a、b、c 等表示集合的元素．
当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作 a A ； 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作 a A .
§6.1 集合 映射
注意
关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一 个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德 国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为： 所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此有 明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果； 集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中 的元素具有：确定性、互异性、无序性.
高等代数教案 北大版 第六章
,V 中加法的定构成K 上的线性空向量组的线性相关与线性无关向量组的线性等价；极大线性无关组.,s α,又给定数域,s k ,称s s k k α+为向量组12,,,s ααα的一个4(线性表出内一个向量组,s α,设β是V 内的一个向如果存在K 内s ,s k ,使得122s s k k ααα+++,,,s α线性表出.向量组的线性相关与线性无关) 内一个向量组12,,αα,s k ,使得s s k α+=,s α线性相关；若由方程s s k α+=0s k ===则称向量组,s α线性无关.命题3 设12,,s V ααα∈,则下述两条等价:12,,s ααα线性相关；某个i α可被其余向量线性表示证明同向量空间.线性等价) 给定,r α (,s β (Ⅰ)中任一向量都能被线性表示,则称两向量组(极大线性无关部分组,s α,如果它有一个部分组,,,r i ααα满足如下条件,r i α线性无关；、原向量组中任一向量都能被,r i α线性表示,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没于是那些命题在线性空间中依然成立一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同,,n ε和1,,n ηη是两组基2121212122221122,,.n n n nn n n nn n t t t t t t t εεεεηεεε++++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 11121212221212,)(,,,)n n n n n n nn t t t t t t tt t ηεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 我们称矩阵111212122212n n n n nn t t t t t t T tt t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎭,,n ε到1,,n ηη的过渡矩阵.6 设在n 维线性空间V/K 中给定一组基12,,,n εεε.T 是212,,,)(,,,).n n T ηηεεε=,n η是V/K 若12,,,n ηηη是线性空间,n η线性无关考察同构映射nK V ασ,:→,构造方程122)()(n k k ησηση+++1,2,,)n ,22)n n k k ηη++0n n k η+=,0n k ==⇒,()n σση线性无关.,()n ση构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；若过渡矩阵可逆,则构造方程122n n k k ηηη+++=,(1,2,,)K i n =,作用,得到112()((n k k k σησηση++,120n k k k ⇒====.证毕向量的坐标变换公式；nK 中的两组基的过渡矩阵,n ε和12,,,n ηηη,又设,n ε下的),n a ,即1212(,,,)n n a a a εεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,,,n η下的坐标为,,)n b ,即1212,,,)n n b b b ηη⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=2n a ⎪⎪⎪⎪⎭,2n Y b ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12[(,,)]n Y T Y εεε=.122122212,),,,),(,,,).n n n n n nn a a a a a ε= 和122122212,),,,),(,,,).n n n n n nn b b b b b η=1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=的第i 个列向量分别是i η在基12,,,n εεε下的坐标.,n ε和1,,,n ηηη看作列向量分别排成矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；111212122212n n n n nn b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, AT =,将A 和B 拼成2n n ⨯分块矩阵()|A B ,利用初等行变换将左边矩化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:)|()|(T E B A −−−→−行初等变换.ε为W ,r1,,r r εε+的一个子空间假设即可.二、子空间的交与和定义13 设,t V α∈}22|,1,2,,t t i k k k K i t αα+++∈=称为由12,,,t ααα生成的子空间,记为12(,,,)t L ααα生成的子空间的维数等于12,,,t ααα的秩.) 设12,V V 为线性空间V/K 的子空间,定义2{V v =∈称为子空间的交； 21{V v +=+称为子空间的命题9 12V V 和1V +证明:由命题4.7,只需要证明2V 和1V +12,V V αβ∈,则1,V αβ∈,,αβ12,V V αβ+∈,于是12V V αβ+∈,12V V 关于加法封闭；2V ,k ∈12,kv V kv V ∈∈,于是12kv V V ∈,12V V 关于数乘封1,V V β∈+111222,,,V V αβαβ∃∈∈,21,αββ=2V ,则,,m V 是2m V V 和m V +均为的子空间.维数公式.1 设V 为有限维线性空间,2dim()V .,12dim()V V r =,2V 的一组基,r ε(若2V V =0,则基为空集),将此基分别扩充为12,V V 的基1212,,,,,,,r s r εεεααα-, 1212,,,,,,,r t r εεεβββ-,1212,,,,,,,,,r s r t r εαααβββ--是12V V +见12V V +中的任一向量都可1212,,,,,,,,,r s r t r εαααβββ--线性表出.事实上,V γ∀∈12γ+,其中1122,V V γγ∈∈,而111221122,r r r r s s r k k k k k k γεεεααα++-=+++++++ 211221122.r r r r t t r l l l l l l γεεεααα++-=+++++++,i j k l K ∈被121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--线性表21212,,,,,,,,,,r l r t r εεαααβββ--线性无关即2211220s r s r t r t r a a b b b ααβββ----++++++=,11221r r s r s r k a a a V εααα--+++++∈,11222t r t r b b b V βββ------∈,112212r r s r s r a a a V V εααα--++++∈,记为,r ε线性表示,设22r r h h αεε++,12211220r r t r t r h h b b b εεβββ--+++++++=,12,,,,,r t r εβββ-是2V 的一组基,所以线性无关,则12120r t r h h h b b b -========,12120r s r k k a a a -========,21212,,,,,,,,,,r s r t r εεαααβββ--线性无关12,,,t V V 都是有限为线性空间V 的子空间,则:1212)dim dim dim t t V V V V V V +++≤+++.作归纳.,m V 是V ,,1,2,,m i i V i m αα+∈=.记为2m V V ⊕⊕⊕或1mi i V =⊕.,,m V 为数域K 上的线性空间V 上的有限为子空间,则下述四m V +是直和；零向量表示法唯一；1ˆ(){0},1,2,,im V V V i m ++++=∀=；1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++.: 1)2)⇒显然.1)⇒设1212,m m ααααβββ=+++=+++则(m α+-1,2,,m ,21m V V V +++是直和个,1i i ≤≤1ˆ(){0}im V V V ++++≠存在向1ˆ()i im V V V V ∈++++,于是存在j V ,使得1ˆi m αααα=++++.由线性空间的定义,1ˆ()iim V V V V α-∈++++,()()0m αααα+-++=+-=,与零向量的表示法唯一矛盾1ˆ(){0},1,2,,i im V V V V i m ++++=∀=.2)⇒若2)不真,则有10i m ααα=++++,1,2,,)m 且0i α∃≠.于是1ˆˆ()i m i im V V V V αα+++∈++++,成立.作归纳.由维数公式得到121212dim dim dim()dim dim V V V V V V =+-=+.11)dim(),m m m V V ---+111垐()(){0}i m i i m V V V V V V V -++++⊆++++=由归纳假设,可以得到1212dim()dim dim dim m V V V V V +++=+++3)⇒,1i i m ∀≤≤,都有1112垐())dim()dim()dim(i m i i m V V V V V V V V V ++++=+++++-++1ˆ(){0},1,2,,im V V V i m ++++=∀=.证毕.推论 设12,V V 为V 的有限维子空间,则下述四条等价: 12V V +是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)2{0}V V =；12dim()V V +=二、直和因子的基与直和的基设1m V V V V =⊕⊕,则,m V 的基的并集为,r ii ε是i V 的组基,则V 121{,,,}r im i i i i εεε=线性表出.又1dim dim i m V r r =+,由命题4.5,它们线性无关,于是它们是V 的一组基. 证毕. 三、补空间的定义及存在性定义 设1V 为V 则称为1V 的补空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间证明: 设V ,r ε,将,,)n ε,则有12V V =+,且,即2V 是1V.s n AX ⨯的线性映射.上连续函数的全体,它是R 上的线性空间,sin 2,,sin ),x nx,cos).nx,AX.单线性映射(monomorphism)满线性映射(endmorphism)fα().α∈U'/kerγ.于是=,fα)('),t V α∈22()(t k k ϕαϕα+++,1122()t t k k k ϕααα+++t t k α+=则120t k k k ====,ii)成立；iii)若取组基12,,,n εεε,则,()n ϕε而im ϕ中任意向,()n ϕε线性表出12(),(),,()n εϕεϕε构成成立；⇒i)由/ker im U ϕ≅dimker dimim ϕ=即有ker ϕ=。
06集合代数
引言 集合论
集合论是现代数学的基础，几乎与现代数学的各个 分支都有着密切联系，并且渗透到所有科技领域，是不 可缺少的数学工具和表达语言。
集合论的起源可以追溯到16世纪末期，为了追寻微 积分的坚实基础，开始时，人们仅进行了有关数集的研 究。1976～1983年，康托尔(Georg Cantor)发表了一系 列有关集合论研究的文章，奠定了集合论的深厚基础， 以后策墨罗(Zermelo)在1904～1908年列出了第一个集合 论的公理系统，并逐步形成公理化集合论。
在本书所采用的体系中规定：集合的元素都是集合。
元素和集合之间的关系
元素和集合之间的关系是隶属关系，即属 于或不属于，属于记作∈，不属于记作。
A
例如：A＝{a，{b，c}，d，{{d}}} a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，
a {b,c} d
bA，{d}A。 b和{d}是A的元素的元素。
A x(x∈ → x∈A) 右边的蕴涵式因前件假而为真命题， 所以 A也为真。
推论 空集是唯一的。 证明：假设存在空集1和2，由定理6.1有
1 2 ， 2 1。 根据集合相等的定义，有 1＝ 2。
有限集和无限集
▪ 集 合 A 中 元 素 的 数 目 称 为 集 合 A 的 基 数 （ base
n元集
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元 素的子集叫做它的m元子集。
例6.1 A＝{1,2,3}，将A的子集分类：
0元子集（空集） 1元子集（单元集） 2元子集 3元子集
{1}，{2}，{3} {1,2}，{1,3}，{2,3} {1,2,3}
幂集 ( power set )
一般地说，对于n元集A，它的0元子集有 Cn0个，1元子集有 C1n 个，…，m元子集有 Cnm个，…，n元子集有 Cnn个。子集总数为
第六章 代数系统(复习)
二. 域 (Field)
定义： 定义：设<F,+, ·>是个代数系统， >是个代数系统， K[F]≥2，如果F上二元运算+ 满足： K[F]≥2，如果F上二元运算+和 ·满足： 满足 F,+>是交换群 是交换群。 ⑴ <F,+>是交换群。 ⑵ <F-{0}, ·>是交换群。 >是交换群。 可分配。 ⑶ · 对+可分配。 F,+,·>是个域。 称<F,+, >是个域。 定理： 定理：6-9.2 设<F,+, ·>是域，则F中无 > 零因子。 零因子。
定理6 5.1设 是半群，如果S 定理6-5.1设<S, >是半群，如果S是有 限集合，则必存在a∈S,使得 a=a。 使得a 限集合，则必存在a∈S,使得a a=a。 定理6 5.2设 是交换独异点, 定理6-5.2设<M, >是交换独异点,A是M 中所有幂等元构成的集合， 中所有幂等元构成的集合，则<A, > 的子独异点。 是<M, >的子独异点。
同构关系≌ 同构关系≌是等价关系
1.≌有自反性：任何代数系统<X, > , .≌有自反性：任何代数系统< 有自反性 X≌X。 有X≌X。 2.≌有对称性：任何代数系统<X, > <Y, .≌有对称性：任何代数系统< 有对称性 如果有X≌Y 则必有Y≌X。 则必有Y≌X Y≌X。 ⊕>, 如果有X≌Y .≌有传递性 任何代数系统< 有传递性： 3.≌有传递性：任何代数系统<X, > <Y,⊕>,<Z,♦ 如果有X≌Y Y≌Z， <Y,⊕>,<Z,♦> 如果有X≌Y 和 Y≌Z， 则必有 X≌Z 。
集合论,图论总结
2
第七章 二元关系
主要内容 有序对与笛卡儿积的定义与性质 二元关系、从A到B的关系、A上的关系 关系的表示法：关系表达式、关系矩阵、关系图 关系的运算：定义域、值域、域、逆、合成、限制、像、 幂 关系运算的性质: A上关系的自反、反自反、对称、反对 称、传递的性质 A上关系的自反、对称、传递闭包 A上的等价关系、等价类、商集与A的划分 A上的偏序关系与偏序集
9
第十六章 树
主要内容 无向树及其性质 生成树、最小生成树、基本回路系统、基本割集系统 根树及其分类、最优树、最佳前缀码、波兰符号法、逆波 兰符号法
Байду номын сангаас
基本要求 深刻理解无向树的定义及性质 熟练地求解无向树 准确地求出给定带权连通图的最小生成树 深刻理解基本回路、基本割集的概念，并会计算 理解根树及其分类等概念 会画n阶（n较小）非同构的无向树及根树（1n6） 熟练掌握求最优树及最佳前缀码的方法 掌握波兰符号法与逆波兰符号法
5
基本要求
给定 f, A, B, 判别 f 是否为从A到B的函数 判别函数 f:AB的性质（单射、满射、双射） 熟练计算函数的值、像、复合以及反函数 证明函数 f:AB的性质（单射、满射、双射） 给定集合A, B，构造双射函数 f:AB 能够证明两个集合等势 能够证明一个集合优势于另一个集合 知道什么是可数集与不可数集 会求一个简单集合的基数
10
第十七章 平面图
主要内容 平面图的基本概念 欧拉公式 平面图的判断 平面图的对偶图
基本要求 深刻理解本部分的基本概念：平面图、平面嵌入、面、 次数、极大平面图、极小非平面图、对偶图 牢记极大平面图的主要性质和判别方法 熟记欧拉公式及推广形式，并能用欧拉公式及推广形式 证明有关定理与命题 会用库拉图斯基定理证明某些图不是平面图 记住平面图与它的对偶图阶数、边数、面数之间的关系
集代数和半集代数
集代数和半集代数集代数和半集代数是数学中的一个概念，主要用于描述集合的性质和集合操作的性质。
在集合论中，集合是指一组无序的元素，而集代数和半集代数则是对集合操作的一种抽象和推广。
集代数是指一个非空集合A，满足以下条件：1. A的任意有限交集仍然属于A，即对于A中的任意子集B1，B2，...，Bn，其交集B1∩B2∩...∩Bn仍然属于A。
2. A的有限并集仍然属于A，即对于A中的任意子集B1，B2，...，Bn，其并集B1∪B2∪...∪Bn仍然属于A。
集代数不要求对于A中的任意子集B，B的补集也属于A，因此集代数中的集合可能并不是完全互斥的。
举个例子，假设A是一个集代数，A中包含了三个集合{1, 2}, {2, 3}和{1, 2, 3}，可以观察到对于这三个集合，它们的交集为{2}，仍然属于A；它们的并集为{1, 2, 3}，也仍然属于A。
因此，这个集合A满足集代数的定义。
半集代数是集代数的一个推广概念，一个集合B是一个半集代数，如果满足以下条件：1. 有限交集仍然属于B，即对于B中的任意两个子集B1和B2，其交集B1∩B2仍然属于B。
2. B的补集可以表示为B中有限个集合的并集，即对于B中的任意子集B和它的补集B^c，存在B1，B2，...，Bn∈B，使得B^c=B1∪B2∪...∪Bn。
举个例子，假设B是一个半集代数，B中包含了两个集合{1, 2}和{2, 3}，可以观察到对于这两个集合，它们的交集为{2}，仍然属于B；它们的并集为{1, 2, 3}，也仍然属于B。
而B的补集为{4, 5}，可以表示为B中的两个集合的并集{1, 2}∪{2, 3}的补集。
因此，这个集合B满足半集代数的定义。
集代数和半集代数具有许多重要的性质和应用。
其中一些重要的性质有：1. 集代数和半集代数的有限交集仍然属于集代数和半集代数。
这一性质使得集代数和半集代数在进行集合操作时更加灵活和方便。
2. 集代数和半集代数的有限并集仍然属于集代数和半集代数。
几个典型的代数系统
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例5、证明 G 是阿贝尔群当且仅当对a,bG， (ab)2 a2b2。
证明：设 G 为阿贝尔群，
则 a,bG，有 abba ，
故 (ab)2(ab)(ab)a(ba)b a (a b )b(a a )(b b )a 2 b 2
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例5、证明 G 是阿贝尔群当且仅当对a,bG， (ab)2 a2b2。
x y(xy)m o dn， x y(xy)m odn。
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二、域。
定义：环 F , , 满足：
(1) F 至少两个元素，
(2) F , 含有幺元， (3) F , 是可交换的， (4) F , 除加法幺元外，其余元素均有逆元， 则称 F , , 为域。
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例2、 Q , , ， R , , 都是域，但 Z , , 不是域，
证明：反之，设 a,bG，(ab)2 a2b2 ， 即 (ab)(ab)(aa)(bb)， 即 a(ba)ba(ab)b， 由消去律，得 ba ab ，
故G 为阿贝尔群。
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例6、如果 G 中的每一个元素 a 都满足 a 2 e ，
则 G 是阿贝尔群。
证明：a,bG ， 由题设知，a 1 a ，b1 b，(ab)1 ab 从而 ab(ab) 1b 1a 1ba，
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41
下图给出了格 S 8 , D ， S 6 , D ，S30 , D ，S36 , D
6 8
4
2
3
2
1
1
S 8,D
S6,D
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42
下图给出了格 S 8 , D ， S 6 , D ，S30 , D ，S36 , D
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数集 表示自然数集, 表示整数集, 表示有理数集, 用N表示自然数集, 用Z 表示整数集, 用Q表示有理数集, 用R表 示实数集, 示实数集, 用C表示复数集
®
§6.1 集合的基本概念
集合间的包含与相等关系
定义6.1 设A, B为两个集合 如果 的每一个元素都属于 则称 为两个集合, 的每一个元素都属于A 定义 为两个集合 如果B的每一个元素都属于 则称B 是A的子集 记为B ⊆A 或 A ⊇ B, 也称 A包含 。 的子集, 记为 包含B。 的子集 包含 如果B不被 包含, 则记作 B ⊈ A 如果 不被A包含 不被 包含 包含的符号化表示为 B ⊆A ⇔ (∀x) ( x∈B ∀ ∈ x ∈A ) 对任何集合A都有 A ⊆ A 对任何集合A都有 例如: N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C 例如 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系,对某些集合可以同时成 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系 对某些集合可以同时成 立这两种关系 例如: 例如 A={ a, {a} } ,则 {a} ∈A 并且 {a} ⊆ A 则
®
§6.1 集合的基本概念
为两个集合, 则称A与 相等 相等, 定义 6.2 设A, B为两个集合 若B ⊆ A且 A⊆ B, 则称 与B相等 为两个集合 且 ⊆ 记作 A = B
相等的符号化表示为 A ⊆B ⇔ (B ⊆ A) ∧ ( A ⊆ B )
为集合,如果 则称B为 的真子集或 的真子集或A 定义 6.3 设A,B为集合 如果 B ⊆ A 且B≠A 则称 为A的真子集或 为集合 真包含B, 记为B 真包含 记为 ⊂ A
定义6.11 A为非空集合 的所有元素的公共元素构成的集合称为A 为非空集合,A的所有元素的公共元素构成的集合称为 定义6.11 设A为非空集合,A的所有元素的公共元素构成的集合称为A 的广义交
A的广义交记为∩A 的广义交记为∩ 的广义交记为 A的广义交符号化表示为 的广义交符号化表示为 ∩A={x| ∀z (x∈A ∈ x ∈z)}
为集合,把 的全体子集构成的集合叫做 的全体子集构成的集合叫做A的幂集 定义 6.5 设A为集合 把A的全体子集构成的集合叫做 的幂集 为集合 记作P(A)或2A 或 记作
例如: 例如 设A={a, b, c}, 则P(A)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A} ∅
§6.2 集合的运算
定义6.10 设A为集合 的元素的元素构成的集合称为 的广义并 为集合,A的元素的元素构成的集合称为 定义 为集合 的元素的元素构成的集合称为A的广义并
A的广义并记为∪A 的广义并记为∪ 的广义并记为 A的广义并符号化表示为 的广义并符号化表示为 ∪ ∅= ∅ 例如: 例如 A={ {a,b,c},{a,c,d},{a,e,f} } ,则 ∪A={a,b,c,d,e,f } 则 ∪A={x| ∃z ( z∈A ∧ x∈z ) } ∈ ∈
§6.1 集合的基本概念
集合: 把一些事物汇集到一起组成的整体称为集合, 集合 把一些事物汇集到一起组成的整体称为集合 组成集合的那些 事物称为该集合的元素或成员. 事物称为该集合的元素或成员 集合一般有两种表示法: 集合一般有两种表示法 列举法: 列举法 把属于集合的元素以某种方式列举出来, 写在花括号{ 里 把属于集合的元素以某种方式列举出来 写在花括号 }里 例: 由四个数 -1, 2, 3, -4 构成的集合表示为 构成的集合表示为{-1, 2, 3,-4} 描述法 描述出来, 把属于某个集合的元素所具有的特定性质P 描述出来 写在花 括号{ 里记为 括号 }里记为 { x | P(x) } 例: { x | 3x+1< 2 } 集合由其元素完全确定, 集合中的元素是不考虑次序的, 集合由其元素完全确定 集合中的元素是不考虑次序的 而且也应是 互不相同的。 互不相同的。
在集合论中没有意义,不是集合 ∩ ∅在集合论中没有意义 不是集合 例如: 例如 A={ {a,b,c},{a,c,d},{a,e,f} } ,则 ∩ A={a} 则
®
§6.2 集合的运算
集合运算的优先次序
广义并,广义交 幂集 广义并 广义交,幂集 绝对补运算为一类运算 广义交 幂集,绝对补运算为一类运算 相对补,对称差运算为二类运算 并,交,相对补 对称差运算为二类运算 交 相对补 一类运算优先于二类运算 一类运算之间由右向左顺序进行 二类运算之间由括号决定先后顺序
在一个具体的问题中， 定义 6.6 在一个具体的问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子 则称这个集合为全集,记作 集,则称这个集合为全集 记作 。全集是相对的。 则称这个集合为全集 记作E。全集是相对的。
®
§6.2 集合的运算
定义6.7 设A,B为集合 与B的并 交,差(相对补 运算定义如下 为集合,A与 的并 的并,交 差 相对补 运算定义如下: 相对补)运算定义如下 定义 为集合 的并集记为A∪ 并: A与B的并集记为 ∪B , A∪B＝{x|x∈A∨x∈B } 与 的并集记为 ∪ ＝ ∈ ∨ ∈ 的交集, 交: A与B的交集 记为 ∩B ,A∩B＝{x|x∈A∧x∈B } 与 的交集 记为A∩ ∩ ＝ ∈ ∧ ∈ 的差集, 的差称为B 关于A 的相对补. 差: A与B的差集 记为 与 的差集 记为A–B , A 与 B 的差称为 关于 的相对补 A–B＝{ x|x∈A∧x ∉ B } ＝ ∈ ∧ 定义6.8 定义 为集合, 设A, B为集合 A与B 的对称差集 A⊕B,定义为 为集合 与 ⊕ 定义为
§6.3 有穷集的计数
使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。 使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。
首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。 首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。 一般地说，每一条性质决定一个集合。有多少条性质，就有多少个集合。 一般地说，每一条性质决定一个集合。有多少条性质，就有多少个集合。 如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的， 如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的，然后将已知集合的元素 数填入表示该集合的区域内。 数填入表示该集合的区域内。 通常从n个集合的交集填起，根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白 通常从 个集合的交集填起， 个集合的交集填起 区域。 区域。 如果交集的数字是未知的，可以设为 。 如果交集的数字是未知的，可以设为x。 根据题目中的条件，列出一次方程或方程组， 根据题目中的条件，列出一次方程或方程组， 就可以求得所需要的结果。 就可以求得所需要的结果。
第六章
集合代数
漳州师范学院计算机科学与工程系
第六章
集合代数
集合的基本概念 集合的运算 有穷集的计数 集合恒等式 集合的概念与表示、集合的运算、 知 识 点：集合的概念与表示、集合的运算、包含排斥原理 、集合恒 等式 教学要求： 教学要求：深刻理解和掌握有关集合的基本概念和基本运算 教学重点： 教学重点：集合的基本概念和基本运算 学时: 学时 2
五种运算的文氏图
E A B A B
E A
E B
并 E A 补
交
差 E A B 对称差
§6.2 集合的运算
两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： 两个集合的并和交运算可以推广成 个集合的并和交： 个集合的并和交 A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} ∪ ∈ ∈ ∨ ∈ A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} ∩ ∈ ∈ ∧ ∈
上述的并和交可以推广成n个集合的并和交： 上述的并和交可以推广成 个集合的并和交： 个集合的并和交 ＝A1∪A2∪…∪An ＝A1∩A2∩…∩An ∪ ∩
并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况： 并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况： ＝A1∪A2∪… ＝A1∩A2∩…
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§6.3 有穷集的计数
名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。 例6.4 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。其统计结果如下： 名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查 其统计结果如下： 会英、 德和法语的人分别为13， ， 和 人 会英、日、德和法语的人分别为 ，5，10和9人，其中同时会英语和日语的 有2人，会英、德和法语中任两种语言的都是 人。已知会日语的人既不懂法 人 会英、德和法语中任两种语言的都是4人 语也不懂德语，分别求只会一种语言(英 语也不懂德语，分别求只会一种语言 英、德、法、日)的人数和会三种语言的 的人数和会三种语言的 人数。 人数。 分别表示会英、 日语的人的集合。 解: 令A，B，C，D分别表示会英、法、德、日语的人的集合。根据题意画出 ， ， ， 分别表示会英 文氏图如图6.3所示。设同时会三种语言的有x人 只会英、 文氏图如图6.3所示。设同时会三种语言的有x人，只会英、法或德语一种语 所示 言的分别为y 填入图中相应的区域， 言的分别为 1，y2和y3人。将x和y1，y2，y3填入图中相应的区域，然后依次 和 填入其它区域的人数。 填入其它区域的人数。 根据已知条件列出方程组如下： 根据已知条件列出方程组如下：
§6.4 集合恒等式
基本集合恒等式 , A,B,C代表任意集合 代表任意集合
解得x＝1，y1＝4，y2＝2，y3＝3 解得 ＝ ， ， ，
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§6.3 有穷集的计数
定理6.2 (包含排斥原理 设S为有穷集 1,P2,…,Pn是n个性质 中的 包含排斥原理) 为有穷集,P 个性质.A中的 定理 包含排斥原理 为有穷集 个性质 任何元素x或者具有性质 或者不具有性质P 两种情况必居其一 两种情况必居其一.令 任何元素 或者具有性质Pi或者不具有性质 i,两种情况必居其一 令Ai 或者具有性质 表示A中具有性质 的元素构成的子集,则 中不具有性质 中不具有性质P 表示 中具有性质Pi的元素构成的子集 则A中不具有性质 1,P2,…,Pn 中具有性质 的元素数为
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§6.1 集合的基本概念
至少有一个元素的集合称为非空集. 至少有一个元素的集合称为非空集 由无限多个元素构成的集合称为无限集. 由无限多个元素构成的集合称为无限集 由有限个元素构成的集合称为有限集. 由有限个元素构成的集合称为有限集