2 奇函数与偶函数的傅里叶级数
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
而奇函数在对称区间上的积分为零 ， 所以
1 an f ( x )cos nxdx 0 (n 0 , 1 , 2,) . 又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，
故有
2 bn f ( x ) sinnxdx (n 1 , 2 , 3 ,) . 0 同理可以推出，当函数 f(x) 是偶函数时， 其 展开式为余弦级数， 即
a0 an cosnx. 2 n 1 此时傅里叶系数为
2 an f ( x )cos nxdx( n 0 , 1 , 2,) . 0 bn 0 (n 1 , 2, 3 ,) . (12.6.6)
例 4 设周期函数 f (x) 在其一个周期上的表 达式
x , ≤ x 0 , f ( x) 0≤ x . x ,
8.4 正弦级数与余弦级数
8.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数
8.4.3
函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开为正
弦级数与余弦级数
8.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数
展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数， 称为
正弦函数，只含有余弦函数包括常数项的称为余弦 级数. 假设以 2 为周期的周期函数 f(x) 在 [ , ]内
2 x 2 [( )cos nx ]0 n 2
1 1 3 [sin nx ]0 2 n n
2
( n 1 , 2, 3 , ) .
2
2 x a0 ( x )dx . 0 4 3
x = 0， 由于 f ( x )在 (0, 上连续 , 且延拓的函数在 处连续， 因此
2
o
2
2
x
(x) 称为f(x) 即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数，
的周期延拓函数.
在理论上或实际工作中， 下面的周期延拓是 最为常用: 将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ，使延拓后
的函数成为奇函数 ，然后再延拓为以 2 为周期
的函数 . 这种延拓称为周期奇延拓;
y
2
那么傅里叶级数一定是正弦级数. 即 是奇函数，
b
n 1
n
sinnx .
此时傅氏系数
an 0
2 bn
(n 0 , 1 , 2,) .
(n 1 , 2 , 3 ,) .
0
f ( x ) sinnxdx
1 这是因为 an f ( x )cos nxdx 中 cos nx是 偶 函 数 . 于是在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，
我们设想有一 设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上，
个函数 (x)，它是定义在 ( ) 上 且以 2 为
周期的函数，而在 [0 , ] 上， (x) = f(x). 如果
(x) 满足收敛定理的条件，那么 (x) 在 ( )
上就可展开为傅里叶级数， 取其 [0 , ] 上一段，
( 因在 [0 , ] 上， (x) = f(x) ). 周期偶延拓的结果为余弦级数，其傅里叶系 数公式为
bn 0 2 an
( n 1 , 2,)
(12.6.8)
2 ( x ) cos nxdx 0 ( n 1,2,)
Байду номын сангаас
0
f ( x ) cos nxdx
O
2
3 x
周期奇延拓
将 f(x) 先延拓到( , 0)， 使延拓后的函数为偶函数， 然后再延拓为以 2 为周期的函数， 这种延拓称为 周期偶延拓.
y
2
O
2
3 x
周期偶延拓
显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，其傅 里叶系数按公式 (12.6.5) 计算. 即 (12.6.7) ( n 0 , 1 , 2, ) . a n 0 2 2 bn ( x ) sin nxdx f ( x ) sin nxdx ( n 1,2,) 0 0
试将其展开成傅里叶级数 . 解 函数 f (x) 的图形如图所示 ，
f(x)
O
x
因此我们应 由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，
根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数.
2 an f ( x )cos nxdx 0 2 ( x )cos nxdx 0 2 x 2 [ sinnx ]0 sinnx dx (n 0) n n 0
x2 2 1 1 x cos x cos 2 x cos 3 x 4 6 4 9
(0≤ x ≤ ) .
例6
, 0≤ x ≤ x 试将函数 f ( x ) x , x ≤ 2 2
按公式(12.6.7)
2
展开成正弦级数 . 解
又因为 f(x) 处处连续 ， 故所求的傅里叶级数收敛
于 f(x)， 即
4 1 1 f ( x ) (cos x 2 cos 3 x 2 cos5 x ) 2 3 5 ( x ) .
8.4.3 函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开 为正弦级数与余弦级数
1 2 x 1 ( cosnx cosnx dx ) cosnx n 0 n n 0
1 n n1 ((1) cos ) n 2
2
1 1 所以 f ( x ) sin x sin3 x sin4 x 3 2 x [0, ) ( , ) , 2 2 当 x 时 , 收 敛 于 , 当 x = 时，收敛于 0. 2 4 y
4 2 2 , n 1 , 3 , 5 ,, n 2 [1 ( 1) ] n n 0 , n 2 , 4 , 6 ,.
2 2 a0 f ( x ) dx ( x ) dx , 0 0
bn 0
(n 1 , 2, 3 ,) .
2 bn 2
2
0
f ( x ) sinnxdx
2 f ( x ) sin nxdx
2 x sin nxdx
2 0
f ( x ) sin nxdx 2
2 0
( x ) sin nxdx 2 2
2
sinnxdx 0 x sinnxdx 2
x x 在 区 间[0, 例 5 试将函 数 f ( x ) 4 2 上展开成余弦级数
2
解
按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，
2 x2 an ( x )cos nxdx 0 4
2 x2 [( x ) sinnx]0 n 4
1 an f ( x )cos nxdx 0 (n 0 , 1 , 2,) . 又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，
故有
2 bn f ( x ) sinnxdx (n 1 , 2 , 3 ,) . 0 同理可以推出，当函数 f(x) 是偶函数时， 其 展开式为余弦级数， 即
a0 an cosnx. 2 n 1 此时傅里叶系数为
2 an f ( x )cos nxdx( n 0 , 1 , 2,) . 0 bn 0 (n 1 , 2, 3 ,) . (12.6.6)
例 4 设周期函数 f (x) 在其一个周期上的表 达式
x , ≤ x 0 , f ( x) 0≤ x . x ,
8.4 正弦级数与余弦级数
8.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数
8.4.3
函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开为正
弦级数与余弦级数
8.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数
展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数， 称为
正弦函数，只含有余弦函数包括常数项的称为余弦 级数. 假设以 2 为周期的周期函数 f(x) 在 [ , ]内
2 x 2 [( )cos nx ]0 n 2
1 1 3 [sin nx ]0 2 n n
2
( n 1 , 2, 3 , ) .
2
2 x a0 ( x )dx . 0 4 3
x = 0， 由于 f ( x )在 (0, 上连续 , 且延拓的函数在 处连续， 因此
2
o
2
2
x
(x) 称为f(x) 即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数，
的周期延拓函数.
在理论上或实际工作中， 下面的周期延拓是 最为常用: 将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ，使延拓后
的函数成为奇函数 ，然后再延拓为以 2 为周期
的函数 . 这种延拓称为周期奇延拓;
y
2
那么傅里叶级数一定是正弦级数. 即 是奇函数，
b
n 1
n
sinnx .
此时傅氏系数
an 0
2 bn
(n 0 , 1 , 2,) .
(n 1 , 2 , 3 ,) .
0
f ( x ) sinnxdx
1 这是因为 an f ( x )cos nxdx 中 cos nx是 偶 函 数 . 于是在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，
我们设想有一 设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上，
个函数 (x)，它是定义在 ( ) 上 且以 2 为
周期的函数，而在 [0 , ] 上， (x) = f(x). 如果
(x) 满足收敛定理的条件，那么 (x) 在 ( )
上就可展开为傅里叶级数， 取其 [0 , ] 上一段，
( 因在 [0 , ] 上， (x) = f(x) ). 周期偶延拓的结果为余弦级数，其傅里叶系 数公式为
bn 0 2 an
( n 1 , 2,)
(12.6.8)
2 ( x ) cos nxdx 0 ( n 1,2,)
Байду номын сангаас
0
f ( x ) cos nxdx
O
2
3 x
周期奇延拓
将 f(x) 先延拓到( , 0)， 使延拓后的函数为偶函数， 然后再延拓为以 2 为周期的函数， 这种延拓称为 周期偶延拓.
y
2
O
2
3 x
周期偶延拓
显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，其傅 里叶系数按公式 (12.6.5) 计算. 即 (12.6.7) ( n 0 , 1 , 2, ) . a n 0 2 2 bn ( x ) sin nxdx f ( x ) sin nxdx ( n 1,2,) 0 0
试将其展开成傅里叶级数 . 解 函数 f (x) 的图形如图所示 ，
f(x)
O
x
因此我们应 由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，
根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数.
2 an f ( x )cos nxdx 0 2 ( x )cos nxdx 0 2 x 2 [ sinnx ]0 sinnx dx (n 0) n n 0
x2 2 1 1 x cos x cos 2 x cos 3 x 4 6 4 9
(0≤ x ≤ ) .
例6
, 0≤ x ≤ x 试将函数 f ( x ) x , x ≤ 2 2
按公式(12.6.7)
2
展开成正弦级数 . 解
又因为 f(x) 处处连续 ， 故所求的傅里叶级数收敛
于 f(x)， 即
4 1 1 f ( x ) (cos x 2 cos 3 x 2 cos5 x ) 2 3 5 ( x ) .
8.4.3 函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开 为正弦级数与余弦级数
1 2 x 1 ( cosnx cosnx dx ) cosnx n 0 n n 0
1 n n1 ((1) cos ) n 2
2
1 1 所以 f ( x ) sin x sin3 x sin4 x 3 2 x [0, ) ( , ) , 2 2 当 x 时 , 收 敛 于 , 当 x = 时，收敛于 0. 2 4 y
4 2 2 , n 1 , 3 , 5 ,, n 2 [1 ( 1) ] n n 0 , n 2 , 4 , 6 ,.
2 2 a0 f ( x ) dx ( x ) dx , 0 0
bn 0
(n 1 , 2, 3 ,) .
2 bn 2
2
0
f ( x ) sinnxdx
2 f ( x ) sin nxdx
2 x sin nxdx
2 0
f ( x ) sin nxdx 2
2 0
( x ) sin nxdx 2 2
2
sinnxdx 0 x sinnxdx 2
x x 在 区 间[0, 例 5 试将函 数 f ( x ) 4 2 上展开成余弦级数
2
解
按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，
2 x2 an ( x )cos nxdx 0 4
2 x2 [( x ) sinnx]0 n 4