掌握连续系统状态方程的离散化方法

V ( x ) x Px x1
x2
P 11 P xn 21 Pn1
P 12 P22 Pn 2
P 1n x1 x P2 n 2 Pnn xn
P为实对称阵，存在正交阵T，使当 x Px 时，有
( , t0 )( 0) 0
xe稳定且从初始状态出发的状态轨线收敛于xe。 结论： ① x(t)有界， xe 稳定； 对所有的初始状态x0都渐近稳定。 ② x(t)有界且→0， xe 渐近稳定； ③ x(t)无界， xe 不稳定； 由 s(δ )内出发的状态轨线至少有一根会越过s(ε) ，称xe不稳定
若系统对于有界输入，所引起的输出有界，则称系统为输出稳定。 输出稳定的充要条件是W(s)=C(SI-A)-1b的极点全部位于s的左半平面。 例1 判定系统
1 0 1 x x 1 u 0 1 的状态稳定性和输出稳定性。 y [1 0] x
解：由 | I A | 1
V(x) >0 V(x) ) ≥ 0 V(x) <0 V(x) ≤ 0 V(x) >0 或 V(x) <0。
半 正 定
半 正 定 V(x) =x1 2+x22
例 对于x=[x1 x2 x3]T, 正 定 V(x) =x12+x22+x32
T
V(x) =(x1+x2 ) 2+x32
2. 二次型标量函数
( , t0 ) 0, s.t.
then
(t0 t )
|| x0 xe || ( , t0 )
|| Φ(t, x0 , t0 ) xe ||
2) 渐近稳定
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
0
3) 大范围渐近稳定
and
0
0
1
0
得
1 1,
1
2 1
故系统平衡状态不是渐近稳定的。
s 1 0 1 s 1 1 W ( s) C ( sI A) 1 b 1 0 1 ( s 1)( s 1) s 1 0 s 1 s=-1位于s的左半平面，因而系统输出稳定。
行列式的值为1，逆阵和转置阵相等。
V ( x) xT Px x T T T PTx x T T 1 PTx [ x1
x2
称为二次标准型。
V(x)正定的充要条件是P的特征值均大于0。 P的符号性质： V(x)正定，P正定，记为P>0; V(x)负定，P负定，记为P<0; V(x)半正定，P半正定，记为P ≥ 0; V(x)半负定，P半负定，记为P ≤ 0。
4. Liaponov稳定性判据
f ( x ) 的平衡状态为xe=0,有V(x)满足： 设 x ① 对x有连续一阶偏导；
② V(x) 正定。
则
( x ) 为半负定，则稳定。 ① V ( x ) 为负定，则渐近稳定； ② V ( x ) 为半负定，但对任意的x(t ) ≠0除x=0外的其它x ， ( x ) 不恒为0， V V 0
称为从初始条件（t0, x0） 出发的运动轨迹（运动、状态轨线）。 满足 例
f ( xe , t ) 0 的xe,称为系统的平衡状态。
1 x1 x 3 x x x x 2 1 2 2
其平衡点为
0 xe3 1
xe1
0 0
10.4 稳定性与Liyaponov方法
要求： 1、理解Liyaponov稳定性的定义； 2、掌握稳定性的判定方法。
10.4.1 Liyaponov关于稳定性的定义
1. 系统的平衡状态
f ( x, t ) x
设初始条件（t0,x0）的唯一解为：
x Φ(t; x0 , t0 )
结论： ① 非线性系统的平衡点可能不唯一， 也可能无。 ② 任何一个平衡状态可以通过坐标平 移至坐标原点xe =0处。
由
10.4.3 Liaponov 第二法 基本思想：构造虚拟广义的能量函数V(x)以此判定系统的稳定性。 适用范围：不能用传统方法判定系统的稳定性的情况下。 定义V(0)=0 的V(x) 为Liaponov函数 ，亦称能量函数， 是标量函数。
1. V(x)的符号性质
正 定： 半正定： 负 定： 半负定： 不 定：
0 xe 2 1
2. 关于稳定性的几个定义
定义 || x xe || ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2 e ) 2 ( xn xne ) 2 称为欧几里德范数即x与xe的距离。
1) Liyaponov意义下的稳定
0,
if
3. 希尔维斯特判据
1 xn ] 0
2

0 x1 x 2 n xn
实对称阵P符号性质的充分必要条件是： ① 各主子行列式的值均大于0， P正定； ② 偶数阶和奇数阶主子行列式的值分别大于0和小于0，P负定； ③ 各主子行列式的值均≥ 0，且| P |=0， P半正定； ④各主子行列式的值均≤ 0，且| P |=0， P半负定。
也渐近稳定； 更进一步，|| x ||→∞ ，有V(x) →∞，则为大范围渐近稳定。
( x ) 为正定，不稳定。 ③V
注意： ①不能说找不到LiaponБайду номын сангаасv函数V(x)，就作出否定的结论。
②平衡状态必须是坐标原点即 xe=0，否则须坐标平移。
1 x2 x1 ( x12 x2 2 ) 的稳定性。 x 例1 判定 2 2 x x x ( x x 2 1 2 1 2 )
4) 不稳定
10.4.2 Liyaponov 第一法 线性定常（时不变）系统的稳定判据
Ax Bu x y Cx
结论：只有系统无零、极点对消 且系统的特征值与其极点相同时， 系统的状态稳定性才与其输出稳 定性一致。
系统在平衡状态xe=0渐近稳定的充分必要条件是A的所有特征值全部 具有负实部，为内部稳定性。