掌握连续系统状态方程的离散化方法
连续系统模型的离散化处理方法
在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
S域到Z域的最基本映射关系是：Z=e （T— TS 数值积分法：将微分方程转换成差分方程，这中间是一步步离散，每一步离散都用到连续系统的原模型，这样的速度就慢了。
TeAT
m T
T eATA Bd
0
xKTTTxKTmTUKT
x(k1) TxkmTUk
B 当输入函数u（KT）在两采样 点间线性变化时（一阶保持）
uuKTukT
p
T
TeATABd
0
xkTTTxkTmTUkTpTUkT
xk1TxkmTUkpTUk
当连续系统状态方程系数A、B已知时，
可求出……
此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系 数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样 就减少了以后的计算工作量。
2 典型环节的离散状态方程
A 积分环节：G（S）=K/S f1=x2 ; f2=x3 ;
依据各环节的连接关系及外部作用函数 稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器选择不当，离散模型的稳定性变差
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
G z
y z u z
z G h s G s
1
z
s a
z exp( aT )
e TS 1 z
1 z
s
z 1
1
Tz
s* s
( z 1 )( z 1 )
Gz
yz uz
zGh
sGs
Gs k
sa
Gh
s
1
第6章连续系统的离散化方法及近似解
第6章连续系统的离散化方法及近似解在连续系统中，我们经常需要将其离散化为离散系统以便于分析和求解。
离散化方法能够将连续系统的微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。
本章将介绍连续系统的离散化方法及近似解的计算。
连续系统的离散化方法有许多种，常见的有Euler方法、Runge-Kutta方法和有限差分方法等。
其中，Euler方法是最简单和最基础的离散化方法，其基本思想是将连续时间轴划分为若干个小时间间隔，并用差分逼近连续系统的导数。
具体地，对于一阶常微分方程：\[\frac{{dy}}{{dt}} = f(y, t)\]可以使用Euler方法将其离散化为：\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(y_n, t_n)\]其中，\(y_n\)是时间点\(t_n\)的近似解，\(h\)是时间步长。
Runge-Kutta方法是一种更精确的离散化方法，其基本思想是利用多个中间步骤来更准确地逼近连续系统的导数。
常见的是四阶Runge-Kutta 方法，其公式为：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} \cdot (k_1 + 2k_2 + 2k_3 +k_4)\]其中\[k_1=f(y_n,t_n)\]\[k_2 = f(y_n + \frac{h}{2}k_1, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_3 = f(y_n + \frac{h}{2}k_2, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_4 = f(y_n + hk_3, t_n + h)\]这样可以得到更准确的近似解。
有限差分方法是一种常用的离散化方法，其基本思想是将连续的导数用差分逼近。
以二阶偏微分方程为例，该方程的一般形式为：\[\frac{{\partial^2u}}{{\partial x^2}} +\frac{{\partial^2u}}{{\partial y^2}} = f(x, y)\]可以使用中心差分公式将其离散化为：\[\frac{{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}}{{\Delta x^2}} + \frac{{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}}{{\Delta y^2}} =f_{i,j}\]其中，\(u_{i,j}\) 是近似解在网格点 \((i, j)\) 处的值，\(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 分别是网格在 \(x\) 和 \(y\) 方向的步长，\(f_{i,j}\) 是离散化后的右侧函数。
现代控制原理2-3离散系统
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解-离散化
0 1 0 x x u 0 2 1
近似离散化方法(4/6)—例3-12
解 由近似离散化法计算公式,对本例有
T 1 G(T ) I AT 0 1 2 T
于是该连续系统的离散化状态方程为
0 H (T ) BT T
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
kT
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dtBu(kT )
0
T
将上式与线性定常离散系统的状态方程 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)
线性定常连续系统的离散化(2/3)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采 样周期T下,将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
近似离散化方法(2/6)
将上式代入连续系统的状态方程,有 [x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT) 即 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比 较,则可得如下近似离散化的计算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT 将上述近似离散法和精确离散法比较知,
精确法、
2.3线性连续时间状态空间表达式的离散化
§2.3 线性连续时间状态空间表达式的离散化如果用数字计算机对连续时间状态方程求解，或者对连续受控对象采用数字计算机进行在线控制，都要碰到一个将连续时间系统化为离散时间系统的问题。
本节将讨论线性连续时间状态空间表达式的离散化方法。
一、线性时变系统的离散化 设原线性系统的状态空间表达式为：).()t (u )t (D )t (X )t (C Y )t (u )t (B )t (X )t (A X612⎩⎨⎧+=+=离散化后状态空间表达式为：[]).()kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y )kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X 6221⎩⎨⎧⋅+⋅=+=+式（2.61）、（2.62）之间的系数关系如下[][]).()t (D )kT (D )t (C )kT (C d )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G kTt kT t T)k (kT632111==+==+=+=⎰τττφφ式中[]kT ,T )k (1+φ表示)t ,t (0φ在kT t T )k (≤≤+1区段内的状态转移矩阵，而)t ,t (0φ则表示原连续系统（2.61）式的状态转移矩阵。
证明：由上节（2.60）式可知（2.61）式的解为：).(d )(u )(B ),t (X )t ,t ()t (X t t 642000ττττφφ⎰+=对上式离散化，令hT t ,T )k (t =+=01，T 为采样周期，则得[][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (T )k (X T )k (hT65211110ττττφφ+++=+⎰+再以hT t ,kT t ==0代入（2.64）式，则得 ).(d )(u )(B ),kT (X )hT ,kT ()kT (X kT hT 6620ττττφφ⎰+=将（2.66）式两边同左乘[]kT ,T )k (1+φ，得[][][][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (d )(u )(B ),kT (kT ,T )k (X )hT ,kT (kT ,T )k ()kT (X kT ,T )k (kT hT kT hT 6721111100ττττφφττττφφφφφ+++=++⋅+=+⎰⎰将（2.65）式减去（2.67）式得：[][][]).(d )(u )(B ,T )k ()kT (X kT ,T )k (T )k (X T )k (kT 6821111ττττφφ+++=+⎰+上式中，令[][]τττφφd )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G T)k (kT⎰+=+=+111设在区间[]T )k (,kT 1+内，)kT (u )(u =τ，则（2.68）式可简写成： [])kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X ⋅+⋅=+1 同时，对（2.61）式输出方程离散化，则证明了)kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y ⋅+=二、线性时不变系统的离散化 对于线性时不变系统).(uD X C Y u B X A X692⎩⎨⎧+=+=离散化状态空间表达式为).()kT (u D )kT (X C )kT (Y )kT (u )T (H )kT (X )T (G T )k (X 7021⎩⎨⎧+=+=+其中D ,C ),T (H ),T (G 均为常数阵，且).(B)d e ()T (H e)T (G A T AT 7120⎪⎩⎪⎨⎧==⎰ττ证明：由于时不变系统是时变系统的一种特殊情况，所以只需要证明式（2.71）成立即可。
控制系统仿真及MATLAB语言-连续系统的离散化方法
第四章 连续系统的离散化方法
2021/4/10
1
ba12
a2
a2
1 12
a2b1 1 2
三个方程，四个未知数，解不唯一
2各021/个4/10系数的几种取法——见书上。
12
3) r=4时，四阶龙格库塔公式-最常用：
h
xk 1
xk
( 6
K1
2K2
2K3
K4
)
K1 f tk ,xk
K2
K3
f f
tk
tk
h 2
,
xk
h 2 , xk
2 病态系统中绝对值最小的特征值对应于系统动态性能 解中瞬态分量衰减最慢的部分，它决定了整个系统的动 态过渡过程时间的长短。一般与系统中具有最小时间常 数Tmax的环节有关，要求计算步长h取得很大。
3 对于病态问题的仿真需要寻求更加合理的算法，以解 决病态系统带来的选取计算步长与计算精度，计算时间 之间的矛盾。
在仿真中，对于n阶系统，状态方程可以写成一阶微分方程
xi ai1x1 ai2 x2 ain xn biu fi (t, x1, x2, x3, , xn )(i 1, 2, , n)
2021/4/10
14
根据四阶龙格-库塔公式,有
T=tk+h时刻的xi值
T=tk时刻的xi值
xk 1 i
2021/4/10 K3 [k13
连续系统的状态变量方程求解
连续系统的状态变量方程求解连续系统的状态变量方程求解通常采用数值方法，例如龙格-库塔法（Runge-Kutta）等。
在这个过程中，需要将连续系统的状态方程离散化，即将连续时间步长的微分方程转化为离散时间步长的离散方程。
求解离散方程可采用递推的方式，根据系统的初始条件和上一时刻的状态变量值，计算出当前时刻的状态变量值。
以下是一个求解连续系统状态变量方程的步骤：1. 确定连续系统的状态变量方程。
例如，给定线性定常系统dx/dt = Ax + Bu，其中x为状态变量，A和B为系统矩阵。
2. 离散化。
将状态变量方程转化为离散方程。
常见的离散化方法有前项差分变换、后项差分变换和Tustin变换。
具体变换方法取决于系统的特性以及所需的数值稳定性和精度。
例如，使用Tustin变换将连续系统离散化，得到离散状态方程x[k+1] = A*x[k] + B*u[k]。
3. 初始化。
给定初始条件，如x[0] 和u[0]，初始化状态变量值。
4. 数值求解。
使用数值方法（如龙格-库塔法）递推计算离散方程，得到一系列状态变量值x[1], x[2], ...，以及对应的输出值y[1], y[2], ...。
5. 分析结果。
根据求解得到的状态变量值和输出值，分析系统的性能，如稳定性、收敛速度等。
在MATLAB中，可以使用ode45等函数求解连续系统的状态变量方程。
以下是一个简单的示例：```MATLAB定义系统矩阵A、B和输入信号uA = [1 0; -1 1];B = [0 1];u = [1; 0.5];定义初始条件x0 = [1; 2];设置求解参数tspan = [0, 10];options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);求解状态变量方程[x, u] = ode45(@(t, x) A*x + B*u, tspan, x0, options);绘制状态变量曲线figure;plot(t, x(:, 1), 'b', 'LineWidth', 2);hold on;plot(t, x(:, 2), 'r', 'LineWidth', 2);xlabel('Time');ylabel('State Variables');legend('x1', 'x2');```这个示例中，我们使用ode45函数求解了一个线性定常系统在给定输入信号下的状态变量演化。
连续系统的离散化方法课件
离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。
2.6 连续时间系统状态方程的离散化
0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0.63 1 1 0.37 0 1.37 0.37 0 0 0.63 1 0.63 0.865 1.37 1 0.135 0 2.05 0.135 0.63 0 0.865 1 0.95
1 (3)H(T) 0 0
T
T 1 1 / 2(1 e2 t ) 0 dt 0 2 t e 1 0
x 1[(k 1)T] x 1 (kT) (4) G(T) H(kT) U(kT) x 2 [(k 1)T] x 2 (kT)
1
解：
例2.5已知控制对象满足 0 1 0 x x u，求其离散化方程 2 0 1
2 t 1 1 / 2 ( 1 e ) 1 1 （ 1 ）( t ) L [SI A] 2 t e 0 1 1 / 2(1 e 2 t ) (2)G (T) ( t ) t T 2 t e 0
1 2T 2 t ( 2 T e 1 ) 1 / 2(1 e ) 4 dt 1 2 t 2 T e (1 e ) 2
说明：（1）当T选定后（如T＝0.5秒）G(t)和
H(t)都是确定的系数矩阵
(2)离散化后得状态方程，可按递推法或
At 1 1
（2）由u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-x1 (kT),代入，得系统的离散化 状态方程。
x1[(k 1)] 1 1 e T x1 (kT ) T e T 1 u (kT ) x [(k 1)] T T e x2 (kT ) 1 e 2 0 2 T e T 1 e T x1 (kT ) T e T 1 T r (kT ) T T e x2 (kT ) 1 e e 1
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
计算机控制系统课程教学大纲
《计算机控制系统》课程教学大纲课程名称：计算机控制系统课程代码：ELEA3042英文名称：Computer Control System课程性质：专业学位课程学分/学时：4学分/72学时(54+18)开课学期：第7学期适用专业：电气工程及其自动化先修课程：复变函数与积分变换、信号与系统、自动控制原理后续课程：无开课单位：机电工程学院课程负责人：杨歆豪大纲执笔人：杨歆豪大纲审核人：余雷一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：计算机控制系统是电气工程及其自动化专业的一门专业学位课程。
本课程针对电气工程及其自动化专业的特点，以离散控制理论等基础知识为主，同时结合自动控制理论、现代控制理论和复变函数等概念，并且以实际应用为导向，培养学生熟练的运算能力及进行科学分析、归纳和总结的能力，提高分析问题和解决问题的能力，从而为以后的从事实际工作和科学研究奠定一定的基础。
教学目标：计算机控制系统就是将计算机作为系统的控制器，从而实现对生产对象的有效控制，所以在本质上计算机控制讨论的就是系统的离散控制。
本课程的主要内容包括：信号的离散和恢复，Z变换与Z反变换，差分方程及其求解，离散系统的传递函数、状态方程，系统的稳定性、过渡过程和稳态误差，系统的离散化设计和模拟化设计，数字PID技术和改进，离散系统的能控性和可测性。
通过本课程的学习，要使学生了解和掌握计算机控制的基本概念、工作原理、初步分析、具有实用价值的设计方法，培养学生完成简单计算机控制系统构成、实时软件编制以及系统调试维护的基本能力，为毕业后参与计算机控制系统开发、调试和维护打下初步基础。
本课程的具体教学目标如下：1.了解计算机控制系统的定义、分类、结构和组成，较好的掌握香农采样定理和零阶保持器，理解计算机控制系统的本质是离散控制系统，从而掌握线性离散系统的数学描述（差分方程、Z传递函数）和分析方法（Z变换、Z反变换）；2.领会S平面与Z平面的映射关系，掌握线性离散系统的稳定域，熟练灵活运用线性离散系统的稳定性判据，能够利用Z传递函数分析离散系统的过渡过程特性和离散系统的误差特性，能够利用系统的离散状态方程和输出方程分析系统的能控性和可测性；3.了解离散化设计方法的基本思路，重点掌握最少拍设计方法及其改进算法那，掌握数字控制器计算机程序实现的三种方法：直接程序设计法、串行程序设计法和并行程序设计法，会应用这三种方法得到数字控制器的差分方程表达式；4.了解计算机控制系统的模拟化设计思路及其成立的条件，掌握模拟控制器的各种离散化方法，并会用来求解数字控制器，重点掌握数字PID控制方法，了解数字PID控制的各种改进方法以及参数整定方法。
连续系统模型的离散化处理方法课件
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。
状态方程离散化方法
状态方程离散化方法状态方程离散化是个挺有趣的事儿呢。
那什么是状态方程离散化呀？简单来说，就像是把一个连续的故事按照一页一页的方式记录下来。
在连续的状态方程里，变量是随时间连续变化的，就像水流一样不间断。
而离散化呢，就是把这个连续的过程切成一小段一小段的，就像把一长条面包切成一片片的。
常见的离散化方法有好几种哦。
比如说欧拉法，这个方法就像是一个很老实的小伙伴，它是用一种比较简单直接的方式去近似。
就好比你要估算从家到学校的路程，你就简单地按照当前的速度一直走，不考虑路上速度可能会有小变化。
这种方法简单，但是有时候不是特别精确啦。
还有龙格 - 库塔法，这个就像是一个聪明的小机灵鬼。
它会多考虑几步，不只是看当前的状态，还会看看周围的情况来调整。
就像你去学校，你不仅看现在的速度，还会考虑到前面是不是有个小坡会减慢速度，或者有没有什么捷径可以加快速度。
这种方法就比欧拉法要精确一些。
离散化状态方程在很多地方都超级有用哦。
在计算机模拟里，计算机可不能处理那种连续不断的变化，就像电脑不能理解水流到底是怎么连续流动的每一个瞬间。
但是我们把状态方程离散化之后呢，电脑就能明白啦，就像给电脑讲了一个它能听懂的故事。
在控制工程里也很有用，就像是给控制系统制定了一个一个小目标，让系统一步一步地达到我们想要的状态。
不过离散化也不是完美无缺的啦。
有时候切得太粗糙了，就像面包片切得太厚，得到的结果就会和实际情况差很多。
所以要根据具体的情况去选择合适的离散化方法，就像挑选合适的鞋子一样，要找到最适合的那个。
总之呢，状态方程离散化是一个很实用又很有意思的东西，它就像一把神奇的小钥匙，能打开很多科学和工程领域的大门呢。
连续状态方程离散化方法
连续状态方程离散化方法
连续状态方程离散化方法是一种将连续状态方程在离散空间上进行求解的
方法,它有助于简化数学模型的复杂性,加速计算的速度,并且能够更好地理解模型的工作原理。
连续状态方程是指描述化学反应或物理过程的数学方程,它通常包含在化学或物理手册中,用于描述反应或物理过程在不同条件下的动力学行为。
然而,由于连续状态方程通常包含大量参数,因此很难通过直接数值求解得到准确的解,需
要进行离散化处理。
离散化方法可以将连续状态方程转化为一组离散变量的线性方程,这些方程在离散空间上进行求解,从而得到数值解。
这种方法通常用于计算化学反应的速率、能量代谢率、热力学问题等领域。
离散化方法的基本思想是将连续状态方程转化为离散变量方程,然后通过数值求解的方法得到数值解。
离散化方法的具体方法包括差分法、插值法、拟牛顿法等。
其中,差分法是最常用的方法之一,它通过将连续状态方程离散化为一组离散变量方程,然后通过求解离散变量方程得到数值解。
除了差分法外,还有其他离散化方法,例如基于迭代法的插值法,以及基于有限元方法的拟牛顿法。
这些方法的选择取决于具体的应用场景和求解要求。
连续状态方程离散化方法的应用范围非常广泛,例如用于计算化学反应速率、热力学问题、生物分子的运动等。
此外,离散化方法还可以与其他数值方法相结合,例如有限差分法、有限元法等,用于解决更加复杂的问题。
在实际应用中,需要根据具体问题的特点选择合适的离散化方法,并进行合
理的参数设定和模型修正,才能得到准确的数值解。
因此,连续状态方程离散化方
法在实际应用中具有广泛的应用前景。
LTI连续系统的离散化
7.1.4 LTI 连续系统的离散化随着数字技术的发展，大量控制过程采用计算机来实施。
当用数字计算机求解LTI 连续系统的状态方程，或直接在系统中采用数字计算机进行在线控制时，都需要将连续系统的数学模型离散化。
离散化的任务就是导出能在采样时刻上与连续系统状态等价的离散状态方程和等价的测量方程。
一般采样是等间隔的，即采样时刻为(1,2,3)t kT k == ；而且是理想开关加零阶保持器，即认为控制作用只在采样时刻发生变化，在相邻的两个采样点kT 和(1)k T +之间，控制作用保持不变，()(),(1)u t u kT kT t k T =≤<+。
已知被控对象的状态方程为()()()()()()t t u t y t t u t =+=+ xAx B Cx D （7-15）对方程（7-15）求解，得0()()0()()()o t t t t t t e t e u d τττ--=+⎰A A x x B （7-16）其中0t 是初始时刻，设0t kT =，(1)t k T =+，代入式（7-16），得：(1)[(1)][(1)]()[]()k TT k T kT k T e kT e d u kT ττ++-+=+⎰A A x x B （7-17）令t T k =-+τ)1(，又因假定系统是时不变系统，A 、B 矩阵和时间无关，所以式（7-17）可改写成：0[(1)]()()()()()()()TT t k T e kT e dt u kT T kT T u kT +=+=+⎰A A x x B G x H （7-18） 其中，()T T e =A G ，0()T t T e dt =⎰A H B 。
输出为：()()()y kT kT u kT =+Cx D （7-19）由拉普拉斯变换法可得：11()()[()]T t T t T T e t L s --=====-A G G I A （7-20）[例7.3] 设LTI 连续系统为： 1122010021x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 系统离散化的计算过程如下：1||(2)02s s s s s --==++I A1211()0(2)s s s s s -+⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦I A 2121111(1)(2)21002T T t T e s s s L e s --=⎡⎤⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥+⎣⎦G22002211111(1)2442110022T t T T t t T T T e e e dt dt e e ----⎡⎤+-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰A 222211111102442441111102222T T T T TT e T e e e ----⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦H故离散化状态方程为： 22112222111()(1)()1(1)22()2(1)()10(1)2T T T T e T x k x k e u k x k x k e e ----⎡⎤-⎡⎤+⎢⎥+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦⎢⎥⎣⎦假使采样周期为1s ，即1=T ，则上述状态方程可写为：1122(1)()10.4320.284()(2)00.135()0.432x k x k u k x k x k +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦从连续状态空间方程求取离散系统状态空间方程可以用MATLAB 中的如下命令：[G H]=c2d(A,B,T)，式中，T 是离散控制系统的采样周期，单位是秒。
第四章连续系统的离散化方法
将 K1 K 2 代入式
f f x1 x0 a1hf (t0 , x0 ) a2 h[ f (t0 , x0 ) b1h b2 hK1 ] t t t0 x x x0
a1 a2 1, a2b1 1 1 , a2b2 2 2
比较各项系数得
待定系数个数超过方程个数，必须先设定一个系数，然后即可求得其 参数。一般有以下几种取法： 1、 a1 0, a2 1, b1 b2
1
K 2 变化，而是取两者平均值 K h x1 x0 hK x0 ( K1 K 2 ) 2 h x1 x0 ( f 0 f1 ) 2
f
f0 f1
K1 K 2 2
求得校正点，即：
。
0
t0
t1
t
四阶龙格－库塔法的计算公式为：
K1 f (tk , xk )
h xk 1 xk ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6
x1 x0 hf (t0 , x0 )
其一般公式为
xk 1 xk hf (tk , xk )
f1
f
f0
c
0
t0
t1
t
h2 h3 (2) h k ( k 1) Rn f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) 称为截断误差 2! 3! k! 例4－1 用欧拉法求下述微分方程的数值解。
h h K 2 f (tk , xk K1 ) 2 2 h h K3 f (tk , xk K 2 ) 2 2 K 4 f (tk h, xk hK 3 )
X AX BU
对于用状态方程表示的高阶线性系统 Y CX
连续系统离散化方法
连续系统离散化方法一、概述连续系统离散化方法是一种将连续系统转化为离散系统的方法，常用于控制系统的设计和分析。
该方法可以将一个无限维度的连续系统转化为有限维度的离散系统，使得控制器设计和分析变得更加简单和可行。
二、连续系统模型在开始进行连续系统离散化的过程中，需要先建立一个连续系统模型。
通常情况下，这个模型可以由微分方程或者差分方程来表示。
三、离散化方法1. 时域离散化方法时域离散化方法是最基本的离散化方法之一。
它通过将时间轴上的信号进行采样，从而将一个连续时间信号转换为一个离散时间信号。
这个过程中需要确定采样周期以及采样点数目等参数。
2. 频域离散化方法频域离散化方法是一种利用傅里叶变换将一个连续时间信号转换为一个频域信号，然后再对该频域信号进行采样得到一个离散时间信号的方法。
这个过程中需要确定采样频率以及采样点数目等参数。
3. 模拟器法模拟器法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。
这个方法的核心思想是利用一个数字模拟器来模拟连续系统的行为，从而得到一个离散时间信号。
4. 差分方程法差分方程法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。
这个方法的核心思想是利用微分方程在离散时间点上进行近似，从而得到一个差分方程。
四、误差分析在进行离散化过程中，会产生一定的误差。
因此，需要对误差进行分析和评估，以确保离散化后的结果与原始连续系统相近。
五、应用实例1. 机械控制系统机械控制系统中通常需要对连续时间信号进行采样和处理。
通过使用离散化方法，可以将连续信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。
2. 电力电子控制系统电力电子控制系统中通常需要对高频信号进行处理。
通过使用频域离散化方法，可以将高频信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。
六、总结连续系统离散化方法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。
通过使用不同的离散化方法，可以将连续时间信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。
连续状态空间方程离散化 离散精度
一、概述连续状态空间方程是描述系统状态随时间演化的重要数学模型，在许多领域都有着广泛的应用。
然而，实际系统往往是离散的，为了将连续状态空间方程应用到离散系统中，需要进行离散化处理。
离散化是指将连续系统的状态空间方程转化为离散系统的状态空间方程，以便于在计算机上进行分析和仿真。
二、连续状态空间方程连续状态空间方程可被描述为：dx/dt = f(x,u)y = h(x)其中，x表示系统状态，u表示输入，f(x,u)表示状态方程，h(x)表示输出方程。
连续状态空间方程描述了系统状态随时间的变化规律，是控制系统、信号处理、通信系统等领域的重要数学工具。
三、离散化方法对于离散系统，通常使用下面的方法将连续状态空间方程离散化：1. Euler方法Euler方法是一种简单且常用的数值积分方法，可以用来离散化连续状态空间方程。
通过欧拉方法，可以将连续时间上的状态方程转化为离散时间上的状态更新方程。
2. 隐式Euler方法隐式Euler方法相比于显式Euler方法，具有更好的数值稳定性。
使用隐式Euler方法进行离散化处理，可以有效解决一些数值不稳定的问题。
3. 4阶Runge-Kutta方法4阶Runge-Kutta方法是一种更加精确的数值积分方法，同样可以应用于连续状态空间方程的离散化处理。
相比于Euler方法，Runge-Kutta方法通常能够提供更准确的结果。
四、离散化精度在进行连续状态空间方程的离散化处理时，离散化精度是一个重要的衡量指标。
离散化精度决定了离散系统模型的精确程度，对系统分析和控制设计都具有重要的影响。
1. 离散化步长离散化步长是指在进行离散化处理时，时间或空间上的离散化间隔大小。
步长越小，离散化的精度越高，但计算负荷也越大。
2. 离散化误差离散化误差是指离散系统模型与连续系统模型之间的差距。
通过控制离散化步长和选择合适的离散化方法，可以有效降低离散化误差，提高系统模型的精确度。
五、离散化应用离散化处理后的系统模型可以在计算机上进行仿真和实时控制，应用十分广泛。
连续系统的离散化方法及近似解课件
离散化后的控制系统可以用差分方程来描述，差分方程是连续时间微分方程在离散时间域 上的对应形式。通过求解差分方程，可以得到离散控制系统的输出响应。
Z变换
Z变换是离散时间信号和系统分析的重要工具，它可以将差分方程转换为代数方程，从而 简化离散系统的分析和设计。
电路模拟中的离散化方法及近似解应用
离散系统
离散系统是指系统状态在时间上 是离散的，即系统的状态变量只 在某些特定的时刻有定义，且在 这些时刻间不发生变化。
连续系统与离散系统的区别与联系
区别
连续系统和离散系统最主要的区别在于时间的连续性。连续系统的时间变量是连 续的，而离散系统的时间变量是离散的。
联系
两者之间存在密切的联系。实际上，许多连续系统可以通过离散化方法转化为离 散系统进行处理，这是因为数字计算机在处理问题时，只能处理离散的时间信号 。反之，离散系统的某些理论和方法也可以用来处理连续系统。
连续系统的离散化方法 及近似解课件
目 录
• 连续系统与离散系统概述 • 连续系统的离散化方法 • 离散系统的近似解法 • 连续系统离散化及近似解的应用案例 • 实验与仿真
01
连续系统与离散系统概述
连续系统与离散系统的定义
连续系统
连续系统是指系统状态在时间上 是连续的，即系统的状态变量在 任何时刻都有定义且随时间连续 变化。
感谢观看
前向差分法：前向差分法使用当前时刻及其前一时刻的输入信号来近似 计算下一时刻的输出信号。这种方法简单直观，但离散化误差相对较大 。
后向差分法：后向差分法使用当前时刻及其下一时刻的输入信号来近似 计算当前时刻的输出信号。相比前向差分法，后向差分法具有较小的离
散化误差。
以上内容即为连续系统的离散化方法及近似解课件的部分内容。在实际 应用中，可以根据具体需求和场景，选择合适的离散化方法和参数，以 实现连续系统的高效、准确离散化处理。
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4. Liaponov稳定性判据
f ( x ) 的平衡状态为xe=0,有V(x)满足： 设 x ① 对x有连续一阶偏导；
② V(x) 正定。
则
( x ) 为半负定，则稳定。 ① V ( x ) 为负定，则渐近稳定； ② V ( x ) 为半负定，但对任意的x(t ) ≠0除x=0外的其它x ， ( x ) 不恒为0， V V 0
行列式的值为1，逆阵和转置阵相等。
V ( x) xT Px x T T T PTx x T T 1 PTx [ x1
x2
称为二次标准型。
V(x)正定的充要条件是P的特征值均大于0。 P的符号性质： V(x)正定，P正定，记为P>0; V(x)负定，P负定，记为P<0; V(x)半正定，P半正定，记为P ≥ 0; V(x)半负定，P半负定，记为P ≤ 0。
若系统对于有界输入，所引起的输出有界，则称系统为输出稳定。 输出稳定的充要条件是W(s)=C(SI-A)-1b的极点全部位于s的左半平面。 例1 判定系统
1 0 1 x x 1 u 0 1 的状态稳定性和输出稳定性。 y [1 0] x
不稳定
10.4.2 Liyaponov 第一法 线性定常（时不变）系统的稳定判据
Ax Bu x y Cx
结论：只有系统无零、极点对消 且系统的特征值与其极点相同时， 系统的状态稳定性才与其输出稳 定性一致。
系统在平衡状态xe=0渐近稳定的充分必要条件是A的所有特征值全部 具有负实部，为内部稳定性。
( , t0 ) 0, s.t.
then
(t0 t )
|| x0 xe || ( , t0 )
|| Φ(t, x0 , t0 ) xe ||
2) 渐近稳定
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
0
3) 大范围渐近稳定
and
0 xe 2 1
2. 关于稳定性的几个定义
定义 || x xe || ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2 e ) 2 ( xn xne ) 2 称为欧几里德范数即x与xe的距离。
1) Liyaponov意义下的稳定
0,
if
V(x) >0 V(x) ) ≥ 0 V(x) <0 V(x) ≤ 0 V(x) >0 或 V(x) <0。
半 正 定
半 正 定 V(x) =x1 2+x22
例 对于x=[x1 x2 x3]T, 正 定 V(x) =x12+x22+x32
T
V(x) =(x1+x2 ) 2+x32
2. 二次型标量函数
3. 希尔维斯特判据
1 xn ] 0
2
0 x1 x 2 n xn
实对称阵P符号性质的充分必要条件是： ① 各主子行列式的值均大于0， P正定； ② 偶数阶和奇数阶主子行列式的值分别大于0和小于0，P负定； ③ 各主子行列式的值均≥ 0，且| P |=0， P半正定； ④各主子行列式的值均≤ 0，且| P |=0， P半负定。
10.4 稳定性与Liyaponov方法
要求： 1、理解Liyaponov稳定性的定义； 2、掌握稳定性的判定方法。
10.4.1 Liyaponov关于稳定性的定义
1. 系统的平衡状态
f ( x, t ) x
设初始条件（t0,x0）的唯一解为：
x Φ(t; x0 , t0 )
结论： ① 非线性系统的平衡点可能不唯一， 也可能无。 ② 任何一个平衡状态可以通过坐标平 移至坐标原点xe =0处。
0
0
1
0
得
1 1,
1
2 1
故系统平衡状态不是渐近稳定的。
s 1 0 1 s 1 1 W ( s) C ( sI A) 1 b 1 0 1 ( s 1)( s 1) s 1 0 s 1 s=-1位于s的左半平面，因而系统输出稳定。
V ( x ) x Px x1
x2
P 11 P xn 21 Pn1
P 12 P22 Pn 2
P 1n x1 x P2 n 2 Pnn xn
P为实对称阵，存在正交阵T，使当 x Px 时，有
由
10.4.3 Liaponov 第二法 基本思想：构造虚拟广义的能量函数V(x)以此判定系统的稳定性。 适用范围：不能用传统方法判定系统的稳定性的情况下。 定义V(0)=0 的V(x) 为Liaponov函数 ，亦称能量函数， 是标量函数。
1. V(x)的符号性质
正 定： 半正定： 负 定： 半负定： 不 定：
( , t0 )( 0) 0
xe稳定且从初始状态出发的状态轨线收敛于xe。 结论： ① x(t)有界， xe 稳定； 对所有的初始状态x0都渐近稳定。 ② x(t)有界且→0， xe 渐近稳定； ③ x(t)无界， xe 不稳定； 由 s(δ )内出发的状态轨线至少有一根会越过s(ε) ，称xe不稳定
称为从初始条件（t0, x0） 出发的运动轨迹（运动、状态轨线）。 满足 例
f ( xe , t ) 0 的xe,称为系统的平衡状态。
1 x1 x 3 x x x x 2 1 2 2
其平衡点为
0 xe3 1
xe1
0 0
也渐近稳定； 更进一步，|| x ||→∞ ，有V(x) →∞，则为大范围渐近稳定。
( x ) 为正定，不稳定。 ③V
注意： ①不能说找不到Liaponov函数V(x)，就作出否定的结论。
②平衡状态必须是坐标原点即 xe=0，否则须坐标平移。
1 x2 x1 ( x12 x2 2 ) 的稳定性。 x 例1 判定 2 2 x x x ( x x 2 1 2 1 2 )