(教师版)立体几何专题一：表面积体积计算

立体几何专题复习一：空间几何体的表面积与体积

【高考会这样考】

考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大．

【复习指导】

本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．

基础梳理

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

两种方法

(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

考向一几何体的表面积

【例1】►(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

()．

A．48 B．32＋817

C．48＋817 D．80

[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面

积．

解析换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋817.

答案 C

以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【训练1】若一

个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()．

A. 3 B．2

C．2 3 D．6

解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6.

答案 D

考向二几何体的体积

【例2】►(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()．

A．18 3 B．12 3 C．9 3 D．6 3

[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公

式求解．

解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V ＝3×3×3＝9 3. 答案 C

以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原

几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．

【训练2】 (2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )．

A.283π

B.16

3π C.4

3π＋8 D ．12 π

解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝28

3π. 答案 A

考向三 几何体的展开与折叠

【例3】►(2012·广州模拟)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体DABC ，如图2所示．

(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体DABC 的体积．

[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC 垂直于平面ACD 内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明． (1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22，

从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 取AC 的中点O ，连接DO ，

则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ， 又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .

(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥BACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V BACD ＝ 13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，

由等体积性可知，几何体DABC 的体积为423.

(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠

后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．

(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题． 【训练3】 已知

在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，则CP ＋P A 1的最小值为________． 解析 P A 1在平面A 1BC 1内，PC 在平面BCC 1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A 1B ＝AB 1＝40，BC 1＝2，又A 1C 1＝6，故△A 1BC 1是∠A 1C 1B ＝90°的直角三角形．铺平平面A 1BC 1、平面BCC 1，如图所示．

CP ＋P A 1≥A 1C .

在△AC 1C 中，由余弦定理得 A 1C ＝

62＋(2)2－2·6·2·cos 135°＝50＝52，故(CP ＋P A 1)min ＝5 2.

答案 5 2

考向四 转换法——等体积法

当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．

例4 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱11111A B A D A A ，，上的点，且满足1111

2

A M A

B =

，112A N ND =，113

4

A P A A =

（如图1），试求三棱锥1A MNP -的体积．

分析：若用公式1

3

V Sh =

直接计算三棱锥1A MNP -的体积，则需要求出MNP △的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥

1A MNP -的顶点和底面转换一下，

变为求三棱锥

1P A

MN -的体积，便能很容易的求出其

高和底面1A MN △的面积，从而代入公式求解．