高考数学压轴专题天津备战高考《函数与导数》图文答案
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【详解】
令 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减.
因为 ，
所以 ，
即 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
17．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且 ，则 （）
A．-5B．5C．0D．4043
【答案】B
【解析】
【分析】
；
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.
16．已知 （ 是自然对数的底数），则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 的结构特点，令 ，求导 ，可得 在 上递增，在 上递减，再利用单调性求解.
11．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（）时，其容积最大．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设正六棱柱容器的底面边长为 ,则正六棱柱容器的高为 ,则可得正六棱柱容器的容积为 ,再利用导函数求得最值,即可求解.
A．当a＝0，m∈R时，有且只有1个
B．当a＞0，m≤﹣1时，都有3个
C．当a＜0，m＜﹣1时，都有4个
D．当a＜0，﹣1＜m＜0时，都有4个
【答案】B
【解析】
【分析】
分别画出 ， ， 时， 的图象，结合 ， 的解的情况，数形结合可得所求零点个数．
【详解】
令 ，则 ，
当 时，若 ，则 或 ，即 或 ，
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以 为首项， 为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前 项和公式求解即可.
【详解】
解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ，
同理：孩子在2周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ，
一、选择题
1．函数 的图像大致为（）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题采用排除法:
由 排除选项D；
根据特殊值 排除选项C;
由 ,且 无限接近Baidu Nhomakorabea0时, 排除选项B；
【详解】
对于选项D:由题意可得,令函数 ,
则 , ;
即 .故选项D排除;
对于选项C：因为 ,故选项C排除;
对于选项B:当 ,且 无限接近于0时, 接近于 , ，此时 .故选项B排除;
9．若关于 的不等式 在区间 上有解，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把 在区间 上有解，转化为存在一个 使得 ，解出 的最大值．
【详解】
在区间 上有解，转化为存在一个 使得 ，设 ，即是 的最大值 ， 的最大值 ，当 时取得，故选D
【点睛】
10．若函数 ，则满足 的 的取值范围为（）
孩子在3周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ，
孩子在17周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ，
可以看成是以 为首项， 为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，
则取回的钱的总数：
；
故选： ．
【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前 项和，属中档题.
18．已知函数 的导函数为 ，在 上满足 ，则下列一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数 ，利用导数判断函数 在 上的单调性，可得出 和 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
令 ，则 .
由已知得，当 时， .
故函数 在 上是增函数，所以 ，
即 ，所以 .
故选：A.
【点睛】
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知易知 与 的根一共有4个，作出 图象，数形结合即可得到答案.
【详解】
由 ，得 或 ，由题意
与 两个方程的根一共有4个，又 的定义域为 ，所以
，令 ，则 ，由 得 ，
由 得 或 ，故 在 单调递减，在 上单调递
增，由图象变换作出 图象如图所示
要使原方程有4个根，则 ，解得 .
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数 为定义域 上的奇函数，且为增函数，再把 化为 ，求出解集即可．
【详解】
解：函数 ，定义域为 ，
且满足 ，
∴ 为 上的奇函数；
又 恒成立，
∴ 为 上的单调增函数；
又 ，
得 ，
∴ ，
即 ，
解得 或 ，
所以 的取值范围是 ．
故选B．
【点睛】
本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．
故选项:A
【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
2． 的展开式中，第三项的系数为 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据二项式定理求出 ，把 的值带入 即可求出结果.
【详解】
解题分析根据二项式 的展开式的通项公式得 .
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
8．已知 ， 为 的导函数，则 的图像是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
， 为奇函数， 图象关于原点对称，排除 ，又 ，可排除 ，故选A.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过对 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．
【详解】
函数 的零点
即方程 和 的根，
函数 的图象如图所示：
由图可得方程 和 共有 个根，
即函数 有 个零点,
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．
【详解】
设正六棱柱容器的底面边长为 ,则正六棱柱容器的高为 ,
所以正六棱柱容器的容积为 ,
所以 ,则在 上, ；在 上, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, 取得最大值,
故选:B
【点睛】
本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.
12．已知函数 ，下列关于函数 的零点个数的判断，正确的是（ ）
对于③：反例：如图所示的函数，关于 轴对称，
图象关于点 对称，函数的周期为4，但是 在 上不是单调函数，故③不正确；
对于④： 是定义在 上的偶函数，其图象关于点 对称的一个函数，故④正确．
故选： ．
【点睛】
本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．
4．已知 ，若关于 方程 恰有4个不相等的实根，则实数 的取值范围是（）
本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
19．已知函数 图象在点 处的切线 与直线 垂直，若数列 的前 项和为 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，得到 在 时的导数值，进一步求得 ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出 的值．
【答案】B
【解析】
【分析】
题目中条件： 可得 知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．
【详解】
解：对于①： ，其图象关于点 对称
所以 ，
函数 是周期函数且其周期为4，故①正确；
对于②：由①知，对于任意的 ，都有 满足 ，
函数是偶函数，即 ，故②正确．
6．已知 ，则下列结论中错误的是（）
A． 在 上单调递增B．
C．当 时， D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，进而判断得出结论.
【详解】
对于选项 ，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，故 正确；
对于选项 ， ，故 正确；
对于选项 ，由选项 知 在 上也是单调递增的， ，
当 时， ，且 ，故当 时，函数单调递减，当 时，函数单调递增，排除选项C；
当 时，函数 ，排除选项D，选项B正确．选B．
点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
第三项的系数为1， ，
则 .
故选：A
【点睛】
本题考查二项式定理及定积分.需要记住二项式定理展开公式： .属于中等题.
3．已知 是定义在 上的偶函数，其图象关于点 对称.以下关于 的结论：① 是周期函数；② 满足 ；③ 在 单调递减；④ 是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( )
A．4B．3C．2D．1
∴ ，
∴函数 在 上是减函数，
∴函数 在 上也是减函数，
且 ，
∴函数 在 上是减函数，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.
15．已知函数 为奇函数，且函数 的图象关于直线 对称，当 时， ，则 （）
A．2020B． C． D．0
根据 得函数的周期为16，结合 ， 即可求解.
【详解】
由 ，得 ，
所以 .故函数 是以16为周期的周期函数.
又在 中，令 ，得 ，
且奇函数 是定义在R上的函数，
所以 .故 .故 .
又在 中，令 ，得 .
得 ，则 .
所以 .
故选：B.
【点睛】
此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R上的奇函数的特征求值.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由函数 的对称性可得 ，即 ，进而可得 ，即函数 是周期为4的周期函数，据此可得 ，由函数的解析式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数 为奇函数，即函数 的图象关于点 对称，则有 ，
函数 的图象关于直线 对称，则 ，
变形可得： ，即 ，
则有 ，即函数 是周期为4的周期函数，
14．设函数 在R上存在导数 ， 有 ，在 上 ，若 ，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
通过 有 ，构造新函数 ，可得 为奇函数；利用 ，求 的导函数得出 的单调性，再将不等式
转化，可求实数 的取值范围.
【详解】
设 ，
∵ ，
∴函数 为奇函数，
∵在 上， ，即 ，
，可得 ，故选项 正确；
对于选项 ，由选项 知 在 上单调递减，
，即 ，
故选项 不正确.
故选：D
【点睛】
本题考查导数与函数单调性、极值与最值的应用及方程与不等式的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.
7．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
函数 的定义域为 ，排除选项A；
即当 ， 时，不是有且只有1个零点，故A错误；
当 时， 时，可得 或 ，可得 的个数为 个，即B正确；
当 ， 或 时，由 ，且 ，可得零点的个数为1个或3个，故C，D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.
13．函数 则函数 的零点个数是（）
A． B． C． D．
【详解】
由 ，得 ， ，
因为函数 图象在点 处的切线 与直线 垂直，
，解得 ， ，则 .
因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前 项和，是中档题．
20．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄 元一年定期，若年利率为 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为
故选：C
【点睛】
本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.
5．已知定义在 上的函数 满足 ，设 ，若 的最大值和最小值分别为 和 ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
∵ ，
∴
∴函数 关于点 对称
∵ 的最大值和最小值分别为 和
∴
故选B.
令 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减.
因为 ，
所以 ，
即 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
17．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且 ，则 （）
A．-5B．5C．0D．4043
【答案】B
【解析】
【分析】
；
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.
16．已知 （ 是自然对数的底数），则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 的结构特点，令 ，求导 ，可得 在 上递增，在 上递减，再利用单调性求解.
11．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（）时，其容积最大．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设正六棱柱容器的底面边长为 ,则正六棱柱容器的高为 ,则可得正六棱柱容器的容积为 ,再利用导函数求得最值,即可求解.
A．当a＝0，m∈R时，有且只有1个
B．当a＞0，m≤﹣1时，都有3个
C．当a＜0，m＜﹣1时，都有4个
D．当a＜0，﹣1＜m＜0时，都有4个
【答案】B
【解析】
【分析】
分别画出 ， ， 时， 的图象，结合 ， 的解的情况，数形结合可得所求零点个数．
【详解】
令 ，则 ，
当 时，若 ，则 或 ，即 或 ，
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以 为首项， 为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前 项和公式求解即可.
【详解】
解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ，
同理：孩子在2周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ，
一、选择题
1．函数 的图像大致为（）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题采用排除法:
由 排除选项D；
根据特殊值 排除选项C;
由 ,且 无限接近Baidu Nhomakorabea0时, 排除选项B；
【详解】
对于选项D:由题意可得,令函数 ,
则 , ;
即 .故选项D排除;
对于选项C：因为 ,故选项C排除;
对于选项B:当 ,且 无限接近于0时, 接近于 , ，此时 .故选项B排除;
9．若关于 的不等式 在区间 上有解，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把 在区间 上有解，转化为存在一个 使得 ，解出 的最大值．
【详解】
在区间 上有解，转化为存在一个 使得 ，设 ，即是 的最大值 ， 的最大值 ，当 时取得，故选D
【点睛】
10．若函数 ，则满足 的 的取值范围为（）
孩子在3周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ，
孩子在17周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ，
可以看成是以 为首项， 为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，
则取回的钱的总数：
；
故选： ．
【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前 项和，属中档题.
18．已知函数 的导函数为 ，在 上满足 ，则下列一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数 ，利用导数判断函数 在 上的单调性，可得出 和 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
令 ，则 .
由已知得，当 时， .
故函数 在 上是增函数，所以 ，
即 ，所以 .
故选：A.
【点睛】
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知易知 与 的根一共有4个，作出 图象，数形结合即可得到答案.
【详解】
由 ，得 或 ，由题意
与 两个方程的根一共有4个，又 的定义域为 ，所以
，令 ，则 ，由 得 ，
由 得 或 ，故 在 单调递减，在 上单调递
增，由图象变换作出 图象如图所示
要使原方程有4个根，则 ，解得 .
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数 为定义域 上的奇函数，且为增函数，再把 化为 ，求出解集即可．
【详解】
解：函数 ，定义域为 ，
且满足 ，
∴ 为 上的奇函数；
又 恒成立，
∴ 为 上的单调增函数；
又 ，
得 ，
∴ ，
即 ，
解得 或 ，
所以 的取值范围是 ．
故选B．
【点睛】
本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．
故选项:A
【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
2． 的展开式中，第三项的系数为 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据二项式定理求出 ，把 的值带入 即可求出结果.
【详解】
解题分析根据二项式 的展开式的通项公式得 .
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
8．已知 ， 为 的导函数，则 的图像是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
， 为奇函数， 图象关于原点对称，排除 ，又 ，可排除 ，故选A.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过对 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．
【详解】
函数 的零点
即方程 和 的根，
函数 的图象如图所示：
由图可得方程 和 共有 个根，
即函数 有 个零点,
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．
【详解】
设正六棱柱容器的底面边长为 ,则正六棱柱容器的高为 ,
所以正六棱柱容器的容积为 ,
所以 ,则在 上, ；在 上, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, 取得最大值,
故选:B
【点睛】
本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.
12．已知函数 ，下列关于函数 的零点个数的判断，正确的是（ ）
对于③：反例：如图所示的函数，关于 轴对称，
图象关于点 对称，函数的周期为4，但是 在 上不是单调函数，故③不正确；
对于④： 是定义在 上的偶函数，其图象关于点 对称的一个函数，故④正确．
故选： ．
【点睛】
本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．
4．已知 ，若关于 方程 恰有4个不相等的实根，则实数 的取值范围是（）
本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
19．已知函数 图象在点 处的切线 与直线 垂直，若数列 的前 项和为 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，得到 在 时的导数值，进一步求得 ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出 的值．
【答案】B
【解析】
【分析】
题目中条件： 可得 知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．
【详解】
解：对于①： ，其图象关于点 对称
所以 ，
函数 是周期函数且其周期为4，故①正确；
对于②：由①知，对于任意的 ，都有 满足 ，
函数是偶函数，即 ，故②正确．
6．已知 ，则下列结论中错误的是（）
A． 在 上单调递增B．
C．当 时， D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，进而判断得出结论.
【详解】
对于选项 ，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，故 正确；
对于选项 ， ，故 正确；
对于选项 ，由选项 知 在 上也是单调递增的， ，
当 时， ，且 ，故当 时，函数单调递减，当 时，函数单调递增，排除选项C；
当 时，函数 ，排除选项D，选项B正确．选B．
点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
第三项的系数为1， ，
则 .
故选：A
【点睛】
本题考查二项式定理及定积分.需要记住二项式定理展开公式： .属于中等题.
3．已知 是定义在 上的偶函数，其图象关于点 对称.以下关于 的结论：① 是周期函数；② 满足 ；③ 在 单调递减；④ 是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( )
A．4B．3C．2D．1
∴ ，
∴函数 在 上是减函数，
∴函数 在 上也是减函数，
且 ，
∴函数 在 上是减函数，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.
15．已知函数 为奇函数，且函数 的图象关于直线 对称，当 时， ，则 （）
A．2020B． C． D．0
根据 得函数的周期为16，结合 ， 即可求解.
【详解】
由 ，得 ，
所以 .故函数 是以16为周期的周期函数.
又在 中，令 ，得 ，
且奇函数 是定义在R上的函数，
所以 .故 .故 .
又在 中，令 ，得 .
得 ，则 .
所以 .
故选：B.
【点睛】
此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R上的奇函数的特征求值.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由函数 的对称性可得 ，即 ，进而可得 ，即函数 是周期为4的周期函数，据此可得 ，由函数的解析式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数 为奇函数，即函数 的图象关于点 对称，则有 ，
函数 的图象关于直线 对称，则 ，
变形可得： ，即 ，
则有 ，即函数 是周期为4的周期函数，
14．设函数 在R上存在导数 ， 有 ，在 上 ，若 ，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
通过 有 ，构造新函数 ，可得 为奇函数；利用 ，求 的导函数得出 的单调性，再将不等式
转化，可求实数 的取值范围.
【详解】
设 ，
∵ ，
∴函数 为奇函数，
∵在 上， ，即 ，
，可得 ，故选项 正确；
对于选项 ，由选项 知 在 上单调递减，
，即 ，
故选项 不正确.
故选：D
【点睛】
本题考查导数与函数单调性、极值与最值的应用及方程与不等式的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.
7．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
函数 的定义域为 ，排除选项A；
即当 ， 时，不是有且只有1个零点，故A错误；
当 时， 时，可得 或 ，可得 的个数为 个，即B正确；
当 ， 或 时，由 ，且 ，可得零点的个数为1个或3个，故C，D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.
13．函数 则函数 的零点个数是（）
A． B． C． D．
【详解】
由 ，得 ， ，
因为函数 图象在点 处的切线 与直线 垂直，
，解得 ， ，则 .
因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前 项和，是中档题．
20．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄 元一年定期，若年利率为 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为
故选：C
【点睛】
本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.
5．已知定义在 上的函数 满足 ，设 ，若 的最大值和最小值分别为 和 ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
∵ ，
∴
∴函数 关于点 对称
∵ 的最大值和最小值分别为 和
∴
故选B.