胡不归与阿氏圆问题精讲(已印)

中考数学培优之胡不归与阿氏圆问题精讲

一、胡不归问题模型

话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”

这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题．如图，A是出发点，B是目的地，直线AC是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂土，为了选择合适的路线，根据不同路面速度不同（驿道速度为a米/秒，砂土速度为b米/秒），小伙子需要在AC上选取一点D，再折往至B．

例题：2019年长沙中考数学第12题

二、胡不归问题典型题目汇总

1.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A(-1.0)、B )3,0(-)、C(2,0)，其对称轴与X 轴交于点D 。 （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标。

（2）若P 为y 轴上的一动点，连接PD ，则PD PB +2

1

的最小值为_____ 。

（3）()t s M ,为抛物线对称轴上的一个动点。

①若平面内存在点N ，使得以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有_____个。

②连接MA 、MB ，若AMB ∠不小于 60，求t 的取值范围。

2.二次函数c x ax y +-=22的图象与x 轴交于A 、C 两点,点C （3，0）,与y 轴交于点B （0，－3）. (1)a=_____,c=_____.

(2)如图1,P 是x 轴上一动点,点D （0，1）在y 轴上,连接PD,求PC PD +2的最小值;

(3)如图2,点M 在抛物线上,若3=∆MBC S ,求点M 的坐标.

3.如图1,在平面直角坐标系中,直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B （4，0）、C （0，3）,点A 为x 轴负半轴上一点,BC AM ⊥于点M 交y 轴于点N,满足4CN ＝5ON.已知抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 、C. (1)求抛物线的函数关系式;

(2)连接AC,点D 在线段BC 上方的抛物线上,连接DC 、DB,若BCD ∆和ABC ∆面

积满足ABC BCD S S ∆∆=5

3

,求点D 的坐标;

(3)如图2,E 为OB 中点,设F 为线段BC 上一点(不含端点),连接EF.一动点P 从E

出发,沿线段EF 以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC 以每秒3

5

个单位

的速度运动到C 后停止.若点P 在整个运动过程中用时最少,请直接写出最少时间和此时点F 的坐标.

4.如图，抛物线n mx x y ++=

221与直线32

1

+-=x y 交于A ，

B 两点，交x 轴与D ，

C 两点，连接AC ，已知A(0,3),C(3,0)。 （1）求抛物线的解析式和BAC ∠tan 的值。

（2）①P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PA PQ ⊥交轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

②设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？

三、阿氏圆问题模型

已知平面上两定点A 、B ，则所有满足PA/PB=k （k 不等于1）的点P 的轨迹是一个圆，

这

个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A”型相似（也叫“母子型相似”或“美人鱼相似”）+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。

四、阿氏圆问题典型题目汇总

1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半

径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP ＋2

1

BP 的最小值．

尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在

CB 上取点D ，使CD ＝1，则有2

1

==CB CP CP CD ，又∵∠PCD ＝∠BCP ，

∴△PCD ∽△BCP ，∴2

1

=BP PD ，

∴PD ＝21BP ，∴AP ＋2

1

BP ＝AP ＋PD ．

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP ＋21

BP 的最小值为 ．

自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 3

1

AP ＋BP 的最小值为 ．

拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90º，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是弧CD 上一点，求2PA ＋PB 的最小值．

2、如图,在RT∆ABC 中,∠ACB= 90,CB=4,CA=6,⊙C 半径为2,P 为圆上一动点,

连结AP,BP,BP AP 2

1

+的最小值为( )

A.37

B.6

C.172

D.4

3、如图,半圆的半径为1,AB 为直径,AC 、BD 为切线,AC=1,BD=2,P 为弧AB 上一动点,求

PD PC +2

2

的最小值。

(第3题) （第

4

题）

4、如图,半圆的直径AB=4,P 是AB 上一动点,C 、D 在半圆上,弧BC 、弧BD 的度数分别是 75和 15,则PC+PD 的最小值为 .

5、如图，点A 、B 在⊙O 上，且OA=OB=12，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，

点D 在上，且

OB

OD=10。动点P 在⊙O 上，则PC+PD 2

1

的最小值为 。

（第5题） （第6题） （第7题） 6、在正方形ABCD 中，G 为正方形内的一点，AD=4，P 为BC 的中点，且BG=BP ，

则GD+GC 21

的最小值是 。

7、如图，在∆ABC 中，∠B= 90，AB=CB=2，以点B 为圆心作⊙B 于AC 相切，P 且⊙B 上任意一点，求PC PA 2

2

+

的最小值 .