初中-数学-人教版-6 二次函数的应用 第一课时

6 二次函数的应用 第一课时

学习目标

1.会把实际问题转化为二次函数问题；

2.会用二次函数()20y ax bx c a =++≠的性质求解面积的最值问题．

课标考点

考点1根据实际问题列出二次函数关系

如图，在Rt ABO △中，AB OB ⊥，且3AB OB ==，设直线x t =截此三角形所得的阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系式为（ ）

A. ()03S t t =<

B. ()20123t S t =<

C. ()203t t S =<

D. ()211032

S t t =-< 如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m .已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是()21649

y x =--+，则选取点B 为坐标原点时的抛物线表达式是（ ）

A. ()21649y x =++

B. ()21649y x =-++ С.()21649

y x =+- D. ()21649y x -+-= 考点2运用二次函数解决面积最大的实际问题

如图，在ABC △中，90B ∠=︒，6cm AB =，12cm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向

B 以1cm /s 的速度移动（不与点B 重合）

，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以2cm /s 的速度移动（不与点C 重合），如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过（ ），四边形APQC 的面积最小．

A. 1s

B. 2s

C. 3s

D. 4s

在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S 的最大值为（ ）

A. 2193m

B. 2194m

C. 2195m

D. 2196m 典例解析

例1如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN ，再砌三面墙，围成一个矩形花园

ABCD （围墙MN 最长可利用25m ）

，现在已备足可以砌40m 长的墙的材料． （1）试设计一种砌法，使矩形花园的面积为2150m ；

（2）能否围成矩形花园面积为2210m ，为什么？

（3）当AB 的长为多少时，矩形花园的面积最大，最大面积是多少？

例2某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），设m AB x 时，花园的面积为2m y ． （1）求y 关于x 的函数关系式；

（2）若在P 有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是12m 和6m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积y 的最大值．

答案第1页，共2页

参考答案

1、【答案】B

【分析】

【解答】

2、【答案】B

【分析】

【解答】

3、【答案】C

【分析】

【解答】

4、【答案】С

【分析】

【解答】

5、【答案】见解答

【分析】（1）设m BC x =，则()()140m 252AB CD x x ==-，则()1401502

x x -=，解得10x =或30（舍去30），即可求解．

（2）由题意得

()1402102x x -=，化简得2404200x x -+=，160044200∆=-⨯<，即可求解．

（3）矩形花园的面积()()()1140402522S x x x x x =-=--，102-<，故S 有最大值，当20x =时，其最大值为200，此时10AB =，即可求解．

【解答】（1）设m BC x =，则()()140m 252AB CD x x ==-， 则()1401502

x x -=，解得10x =或30（舍去30），故10x =． （2）由题意得

()1402102x x -=， 化简得2404200x x -+=，160044200∆=-⨯<，

故不能围成矩形花园面积为2210m ．

（3）设BC x =，则()()140252AB CD x x ==-， 矩形花园的面积()()()21140202002522

S x x x x =-=--+． ∵102

-<，故S 有最大值，

当20x =时，S 的最大值为2200m ，此时10m AB =．

∴当AB 的长为10m 时，矩形花园的面积最大，最大面积是2200m ． 6、【答案】见解答

【分析】（1）根据长方形面积公式表示出y 与x 之间的函数关系式． （2）根据P 处这棵树与墙CD ，AD 的距离分别是12m 和6m ，求出x 的取值范围，再根据（1）中的函数关系式及二次函数的性质即可得出结论．

【解答】（1）由题意得20BC x =-，

则()()22020020y AB BC x x x x x =⋅=-=-+<<．

（2）∵()2

22010100y x x x =-+=--+，且在P 处这棵树与墙CD ，AD 的距离分别是12m 和6m ，

∴6,2012.x x ⎧⎨-⎩ ∴68x ．

∵10-<，在对称轴10x =的左侧y 随x 的增大而最大，

∴当8x =时，()()2

281010096m y =--+=最大． 答：花园面积的最大值是296m