分位数

2 2
2 2 O 2 1 (n) 2 1 (n)为 2分布的上1 分位数. 2 2 2
如当n=8, =0.05时，
2 1 (n) 2 2 0.975(8) 2.18
或双侧临界值. 见图. 显然， 2 2分布的上 分位数. (n)为

f(x)

2
2
图6-4
2
x x
x

f(x)dx
y
2
1 x
x
2
双侧 分位数或双侧临界值的特例
当X的分布关于y轴对称时， 若存在 x 2 , 使
P{ X x 2} ,
则称 x
2
为X分布的双侧分位数或双侧临界值.
y
如图.
2
2
2O
x
x
2
x
标准正态分布的上侧分位数
F～F(n1，n2).
n1 1 2 n1 n2 2
概率密度函数
Ay (1 n1 y) , y0 f(y) n2 y0 0, n1 n2 ( ) n n1 2 其中 A ( 1 ) 2 , 其图形见图5-9.(P108) n1 n2 n2 ( )( ) 2 2
, ( t )
其图形如图5-6所示(P106)， 其形状类似标准正态分布 的概率密度的图形. 当n较大时， t分布近似于标准正态分布.
当n较大时， t分布近似于标准正态分布.
一般说来，当n>30时，t分布与标准正态分布N(0， 1)就非常接近.
但对较小的n值，t分布与标准正态分布之间有较大
数理统计中常用的分布除正态分布外，还有 三个非常有用的连续型分布，即
数理统计的三大分布(都是连续型). t 分布 F分布 它们都与正态分布有密切的联系.
t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们
是后面各章的基础.
2分布
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2分布、
2 Байду номын сангаас—分布
定义 设总体 X ~ N 0,1 ， X 1 , X 2 ,..., X n 是 X
性质：若X～F(n1，n2)，则 1 ～F(n2，n1).
F 分布的上分位数 对于给定的 (0< <1)，称满足条件
P F(n1, n2) F(n1, n2)
其几何意义如图5-7所示.
F (n1, n2)
X
f(y)dy
的数F(n1，n2)为F分布的上分位数或上侧临界值，

2
2(n) x
2 (n) 2
2 0.025(8) 17.53
2分布的数学期望与方差（补充）
设 2～ 2(n)，则E( 2)=n，D( 2)=2n.
2分布的可加性
设 则
2 1
~ (n1), ~ (n2), 且 ,
2 2 2 2
2 1
2 2 相互独立，
P (n) (n) 2 f(y)dy (n) 2 的数 (n)为 2分布的 f(y)
满足
2 2
上分位数或上侧临界值， 其几何意义见图5-5所示.

其中f(y)是 2-分布的概率密度.
2
O
显然，在自由度n取定以后， (n)的值只与有关.
例如，当n=21，=0.05时，由附表可查得，
图5-5
(n) x
2

2 0.05
(21) 32.67 即 P 2(21) 32.67 0.05.
2分布的双侧分位数 2 2 2 2 把满足P (n) P (n) 2 1 2 2 2 2 的数 (n), (n) 称为 2分布的双侧分位数 1
(n 1) n!
2 (n) 分布密度函数的图形
f(y)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
n=1 n=4 n=10 x
图5-4
其图形随自由度的 不同而有所改变.
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17
P (n) (n)
2 2
2分布表(附表).
2分布的上分位数
2 2 的一个样本, 则称统计量 2 X 12 X 2 X n 服从自
由度为n的 2 分布，记作 2 ~ 2 (n)
自由度是指独立随机变量的个数， df
n
(n) 分布的密度函数为
2
1 y n 2 1e y 2 , y 0 2n 2 n 2 f ( y) 0, y0
/2 - u /2
O
/2
u /2 x
P{U≥1.96}=0.05 /2 得u0.05/2=1.96
标准正态分布的分位数
在实际问题中， 常取0.1、0.05、0.01. 常用到下面几个临界值：
u0.05 =1.645，
u0.01 =2.326
u0.05/2=1.96，
u0.01/2=2.575
差异.且P{|T|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X ～N(0，1)，即在t分 布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率.
t 分布的数学期望与方差（补充）
n . (n 2) 设T～t (n)，则E(T)=0，D(T)= n2
t 分布的上分位数 对于给定的 (0< <1)，称满足条件 P T t(n) f(t)dt
~ (n1 n2)
2 1 2 2 2
三、t分布
设随机变量X～N(0，1)，Y～ 2(n) ， 定义5.4
且X与Y相互独立，则称统计量 T
X Y n
n 1 2
记作T 服从自由度为n的t分布或学生氏分布， t分布的概率密度函数为
～t(n).
( n 1) 2 2 (1 t ) f(t) n n ( n) 2
上侧临界值. 如图.
概率分布的分位数(分位点) 定义 对总体X和给定的 (0<<1)，若存在x， 使P{X≥x} =， 则称x为X分布的上侧分位数或
y
o
若存在数1、2，使
P{X≥x} =
2 P{X≥1}=P{X≤2} o 2 2 则称1、2为X分布的双 x1 侧分位数或双侧临界值.
f(y)
其中f(y)是F分布的概率密度.
O 图5-7

F(n1, n2) x
F 分布的上分位数 F(n1, n2)的值可由F 分布表查得. 附表分 =0.05、 =0.01给出了F分布的上分位
数.
查表时应先找到相应的值的表.
当时n1=2, n2=18时，有 F
0.01(2,
18)= 6.01
/2 - t/2(n)
/2
O t/2(n) 图5-8
t
附表中给出了t分布的临界值表. 例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，
t0.05(15)=1.753 t0.05/2(15)= 2.131 其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.
2 2
称满足条件
的F (n1, n2), 1
F (n1, n2)为F分布的双侧分位数
f(y) /2
或双侧临界值. 见图. 显然，
/2
F (n1, n2) x
2
F (n1, n2)为F分布的上 分位数； F (n , n ) O 2 1 1 2 2 F1 (n1, n2)为F分布的上 1 分位数； 2 2
2
图6-4
在附表中所列的值都比较小，当 较大 时，可用下面公式 F1(n1, n2)
1 F(n2, n1) 1 例如， 0.99(18, 2) 1 ≈0.166 F F0.01(2,18) 6.01
F 分布的双侧分位数
P F F1 (n1, n2) P F F (n1, n2) 2 2 2
对标准正态分布变量U～N(0, 1)和给定的， 称满足条件 的点u/2为标准正态分布的双侧分位数或双侧临界值. 如图.
标准正态分布的双侧分位数
P{|U|≥u/2} =
(x)
u/2可由P{U≥u/2}= /2 即 (u /2) =1- /2
例如，求u0.05/2，
反查标准正态分布表得到，
对标准正态分布变量U～N(0, 1)和给定的，上侧 t2 1 e 2 dt 分位数是由： P{U≥u} = u 2

即
P{U<u} =1- (u) =1-
(x)
确定的点u.
如图.
例如， =0.05，而
P{U≥1.645} =0.05

O
u
x
所以， u0.05 =1.645.
但当n>45时，如无详细表格可查，可以用标准 正态分布代替t分布查t(n)的值. n>45. 即 t(n)≈u ，
四、F分布
定义5.5 设随机变量X～ 2(n1)、Y～ 2(n2)，且
与相互独立，则称随机变量 F X n1
Y n2
服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布， 记作
t(n)
的数t(n)为t分布的上分位数或上侧临界值， 其几何意义见图5-7.
f(t)

O 图5-7
t(n) t
t 分布的双侧分位数
由于t分布的对称性，称满足条件
P T t 2(n)
其几何意义如图5-8所示.


(5.12)
f(t)
的数t/2(n)为t分布的双侧分位数或双侧临界值，