几何概型课件(公开课)(28张PPT)

1 250
3 某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位，此人
在7：00-7：10到达单位的概率
P(
A)

A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度

1 6
几何概型定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事
件区域的长度（面积和体积）成比例，则称 这样的概率模型为几何概率模型，简称几何 概型。
几何概型的特点:
解：记事件A={弦长超过圆内接
B
等边三角形的边长}，取圆内接
等边三角形BCD的顶点B为弦
的一个端点，当另一点在劣弧
.0
CD上时，|BE|>|BC|，而弧CD C
D
的长度是圆周长的三分之一，
所以可用几何概型求解，有
E
P( A) 1
则“弦长超过圆内3接等边三角形的边长”的概率为13
Good bye……
（2）x的取值是区间[1,4]中的实数，任取一 个x的值，求 “取得值大于2”的概率。
1
2
34
几何概型 P = 2/3
总长度3
• 问题3：有根绳子长为3米，拉直后 任意剪成两段，每段不小于1米的 概率是多少？
P（A)=1/3
思考：怎么把随机事件转化为线段？
例2（1）x和y取值都是区间[1,4]中的
整数，任取一个x的值和一个y的值，求
“ x – y ≥1 ”的概率。
y
作直线 x - y=1
4
3
古典概型
2
P=3/8
1
1 234x -1
例2（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数， 任取一个x的值和一个y的值， 求 “ x – y ≥1 ”的概率。
y
4
D
3 2
1
A
作直线 x - y=1
C
几何概型
练习
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽 车在1～3分钟之间到达的概率。
分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中 的2个单位长度。
解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则
P( A) 3 1 2
55
所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率 2
0.004
与体积成比例
(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出 2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.
0.002
七、课堂小结
几何概型的概率公式.
P( A)

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
古典概型
几何概型
相同 区别
基本事件发生 的等可能性
1m
1m
3m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于 1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位 置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间 一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事 件A发生的概率P（A）=1/3。
练习
4.在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点 M，求AM小于AC的概率。
分析：点M随机地落在线段AB上，故线 段AB为区域D。当点M位于图中的线段 AC’上时，AM＜AC，故线段AC’即为区 解：域d在。AB上截取AC’=AC，于是 P（AM＜AC）=P（AM＜AC’）
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
π 4
答 豆子落入圆内的概率为π4 .
应用巩固：
(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机取一与个长度实成数比a，例
则这个实数a>7的概率为 0.3 .
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的与大面陆积架成储比藏例 着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
为
5
2.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地 扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事 件的概率：
（1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。
练习
3.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
几何概型
回顾复习
这是古典概型，它是这样定义的： （1）试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个; （2）每个基本事件出现的可能性相等.
其概率计算公式:
P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为
10cm,黄心半径为1cm.现一人随机射箭 ，假设
每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的, 请问射中黄心的概率是多少?
(1)基本事件有无限多个; (2)基本事件发生是等可能的.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下
P(
A)

构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
问题：（1）x的取值是区间[1,4]中的整数， 任取一个x的值，求 “取得值大于2”的概 率。 古典概型 P = 3/4
= A C '= A C = 2 AB AB 2
则AM小于AC的概率为2
2
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)， 满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外 部(含边界)． 故所求概率
练习 5.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则
其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？

2 500

1 250
某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位， 问此人在7：00-7：10到达单位的概率？
设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
P( A)

A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度

1 6
不是古典概 型！
问此人在7：50-8：00到达单位的概率？
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？
1比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm，随机射箭，
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率
P( A)

A对应区域的面积 试验全部结果构成区域的面积

1 100
2 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放
在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P(
A)

A对应区域的体积 试验全部结果构成区域的体积
不是为古典概 型？
设“射中黄心”为事件A
P(
A)

A对应区域的面积 试验全部结果构成区域的面积

1 100
500ml水样中有一只草履虫，从中随机取 出2ml水样放在显微镜下观察，问发现草履 虫的概率？
不是古典概型！
设“在2ml水样中发现草履虫”为事
件A
P( A)

A对应区域的体积 试验全部结果构成区域的体积
基本事件个数 的有限性
基本事件发生 的等可能性
基本事件个数 的无限性
求解方法
列举法
几何测度法
七、课堂小结
用几何概型解决实际问题的方法.
(1)选择适当的观察角度，转化为几何概型.
(2)把基本事件转化为与之对应区域的 长度（面积、体积）
(3)把随机事件A转化为与之对应区域的 长度（面积、体积）
(4)利用几何概率公式计算
F
E B
P=2/9
1 234x -1
练一练
1.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在 绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的 概率.
解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，
由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m
时，事件A发生，于是
事
件
A
发
生
的
概率
PA()
2 8
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1 4
数学应用
例4.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机 向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.