几何概型课件(公开课)(28张PPT)

练习
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽 车在1～3分钟之间到达的概率。
分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中 的2个单位长度。
解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则
P( A) 3 1 2
55
所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率 2
解：记事件A={弦长超过圆内接
B
等边三角形的边长}，取圆内接
等边三角形BCD的顶点B为弦
的一个端点，当另一点在劣弧
.0
CD上时，|BE|>|BC|，而弧CD C
D
的长度是圆周长的三分之一，
所以可用几何概型求解，有
E
P( A) 1
则“弦长超过圆内3接等边三角形的边长”的概率为13
Good bye……
1比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm，随机射箭，
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率
P( A)

A对应区域的面积 试验全部结果构成区域的面积

1 100
2 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放
在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P(
A)

A对应区域的体积 试验全部结果构成区域的体积
(1)基本事件有无限多个; (2)基本事件发生是等可能的.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下
P(
A)

构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
问题：（1）x的取值是区间[1,4]中的整数， 任取一个x的值，求 “取得值大于2”的概 率。 古典概型 P = 3/4
几何概型
回顾复习
这是古典概型，它是这样定义的： （1）试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个; （2）每个基本事件出现的可能性相等.
其概率计算公式:
P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为
10cm,黄心半径为1cm.现一人随机射箭 ，假设
每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的, 请问射中黄心的概率是多少?
基本事件个数 的有限性
基本事件发生 的等可能性
基本事件个数 的无限性
求解方法
列举法
几何测度法
七、课堂小结
用几何概型解决实际问题的方法.
(1)选择适当的观察角度，转化为几何概型.
(2)把基本事件转化为与之对应区域的 长度（面积、体积）
(3)把随机事件A转化为与之对应区域的 长度（面积、体积）
(4)利用几何概率公式计算
不是为古典概 型？
设“射中黄心”为事件A
P(
A)

A对应区域的面积 试验全部结果构成区域的面积

1 100
500ml水样中有一只草履虫，从中随机取 出2ml水样放在显微镜下观察，问发现草履 虫的概率？
不是古典概型！
设“在2ml水样中发现草履虫”为事
件A
P( A)

A对应区域的体积 试验全部结果构成区域的体积
（2）x的取值是区间[1,4]中的实数，任取一 个x的值，求 “取得值大于2”的概率。
1
2
34
几何概型 P = 2/3
总长度3
• 问题3：有根绳子长为3米，拉直后 任意剪成两段，每段不小于1米的 概率是多少？
P（A)=1/3
思考：怎么把随机事件转化为线段？
例2（1）x和y取值都是区间[1,4]中的
为
5
2.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地 扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事 件的概率：
（1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。
练习
3.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
0.004
与体积成比例
(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出 2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.
0.002
七、课堂小结
几何概型的概率公式.
P( A)

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
古典概型
几何概型
相同 区别
基本事件发生 的等可能性

2 500

1 250
某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位， 问此人在7：00-7：10到达单位的概率？
设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
P( A)

A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度

1 6
不是古典概 型！
问此人在7：50-8：00到达单位的概率？
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？
F
E B
P=2/9
1 234x -1
练一练
1.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在 绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的 概率.
解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，
由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m
时，事件A发生，于是
事
件
A
发
生
的
概率
PA()
2 8

1 4
数学应用
例4.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机 向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
1m
1m
3m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于 1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位 置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间 一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事 件A发生的概率P（A）=1/3。
练习
4.在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点 M，求AM小于AC的概率。
分析：点M随机地落在线段AB上，故线 段AB为区域D。当点M位于图中的线段 AC’上时，AM＜AC，故线段AC’即为区 解：域d在。AB上截取AC’=AC，于是 P（AM＜AC）=P（AM＜AC’）
整数，任取一个x的值和一个y的值，求
“ x – y ≥1 ”的概率。
y
作直线 x - y=1
4
3
古典概型
2
P=3/8
1
1 234x -1
例2（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数， 任取一个x的值和一个y的值， 求 “ x – y ≥1 ”的概率。
y
4
D
3 2
1
A
作直线 x - y=1
C
几何概型
= A C '= A C = 2 AB AB 2
则AM小于AC的概率为2
2
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)， 满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外 部(含边界)． 故所求概率
练习 5.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则
其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？
2a解: 记“豆子落Fra bibliotek圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
π 4
答 豆子落入圆内的概率为π4 .
应用巩固：
(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机取一与个长度实成数比a，例
则这个实数a>7的概率为 0.3 .
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的与大面陆积架成储比藏例 着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .

1 250
3 某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位，此人
在7：00-7：10到达单位的概率
P(
A)

A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度

1 6
几何概型定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事
件区域的长度（面积和体积）成比例，则称 这样的概率模型为几何概率模型，简称几何 概型。
几何概型的特点: