人教版《圆的方程》PPT完美版2
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2022-2023学年人教A版选择性必修第一册 2-4-2 圆的一般方程 课件(37张)
[自我排查] 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“ ”) (1)圆的标准方程与一般方程可以互化．( √ ) (2)方程 2x2＋2y2－3x＝0 是圆的一般方程．( ) (3)方程 x2＋y2－x＋y＋1＝0 表示圆．( )
(1) 解析：圆的标准方程与一般方程可以互化． (2) 解析：方程 2x2＋2y2－3x＝0 不是圆的一般方程． (3) 解析：因为(－1)2＋12－4×1＝－2<0，所以方程不表示任何图形．
[巧归纳]
求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；
(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于 a，b，r 或 D，E，
解得 D＝－2，E＝0，F＝0， 所以圆的方程为 x2＋y2－2x＝0.
强研习•重点难点要突破
研习 1 圆的一般方程的辨析 [典例 1] 若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆，求： (1)实数 m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
[自主记]解：(1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即 4m2＋4－4m2－20m>0， 解得 m<15， 故 m 的取值范围为－∞，15.
第二章 直线和圆的方程
2．4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
新课程标准
新学法解读 1.结合教材实例了解二元二次方程与圆的
回顾确定圆的几何要素，在 一般方程的关系．
平面直角坐标系中，探索并 2．会求圆的一般方程．
掌握圆的一般方程.
3．能利用圆的一般方程解决相关的问题，
会求简单的动点的轨迹方程.
2．圆：x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标和半径分别为( C )
圆的标准方程完整ppt课件
解决与圆有关的切线问题
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
2.4.2圆的一般方程课件共18张PPT
2
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
2.4.2圆的一般方程课件(人教版)(2)
取值范围是( D)
AБайду номын сангаасa＜-2或 a＞ 2 3
C.-2＜a＜0
B.- 2＜a＜0 3
D.-2＜a＜ 2 3
2. (1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3) 为圆心,4为半径的圆.求D、E、F的值
答案:D=4,E=-6,F=-3
(2)求经过三点A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)的圆 的方程. 待定系数法,答案:x2+y2-7x-3y+2=0.
x2 y2 4x 6 y 12 0
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰 当选择圆的方程情势:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标 准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地
指出圆心的位置和半径的大小.（重点） 3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方
程.（难点） 4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题.
圆的标准方程：
x a2 y b2 r 2
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
《圆的方程》课件
核心要点
理解圆的定义、性质、与直 线和圆的交点，以及各种应 用场景。
实践练习
通过练习题和实际问题，巩 固对圆的方程与应用的理解。
圆的方程
1 一般式
圆的一般式方程是(x - a)²+ (y - b)²= r²。
2 标准式
圆的标准式方程是(x - h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k)是圆心坐标。
3 参数方程
圆的参数方程是x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)是圆心坐标。
圆与直线的交点
应用举例
游乐园中的摩天轮
摩天轮是由一系列圆形构成的， 给游客带来乘风破浪的感觉。
地球的轨道
射箭运动中的心
地球绕太阳运行的轨道接近椭圆， 而不完全是一个完美的圆。
在射箭运动中，靶心通常是一个 圆，射手需要准确瞄准并打在靶 心上。
结论和要点
重要结论
圆的方程有多种形式，包括 一般式、标准式和参数方程。
《圆的方程》PPT课件
欢迎来到《圆的方程》PPT课件！在本课程中，我们将一起探索圆的定义、性 质以及各种方程和应用举例。让我们开始这个精彩的旅程吧！
圆的定义和性质
1 什么是圆？
圆是平面上所有离圆心距 离相等的点的集合。
2 关键性质
圆的重要性质包括半径、 直径、弧长、面积等。
3 有趣的事实
圆在自然界和建筑中广泛 应用，如太阳、月亮、车 轮等。
1
切线
当直线与圆相切时，直线只与圆相交于一个点。
2
相交两点
当直线穿过圆时，直线与圆相交于两个不同的点。
3
不相交
当直线不与圆相交时，直线与圆没有交点。
2.4.2圆的一般方程(教学课件2)-高中数学人教A版选择性必修第一册
联立①②，得 A(0,0) .
同理可得 B(2,2) ， C(8, 4) .
（2）由（1）可得 B(2,2) ， C(8, 4) ， 设 ABC 的外接圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 ，
F 0 将 A，B，C 的坐标代入圆的方程可得 4 4 2D 2E F 0 ，
a
只有-2
与
0，
所以方程 x2 y2 3ax ay 5 a2 a 1 0 表示的圆的个数为 2. 2
7.圆 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 关于直线 y x 1 对称，则( )
A. D E 2
B. D E 1
C. D E 2
D. D E 1
面积的最小值是( )
A. 3 2
B. 3 2
C. 3 2 2
3 2 D.
2
答案：A 解析：易得直线 AB 的方程为 x y 2 0 ，圆心坐标为 (1,0) ，半径为 1，
则圆心到直线 AB 的距离 d
|1 0 2| 12 (1)2
3
2 2
，所以点
C
到直线
AB
的最小距离为
3
2 2
1，
D2 E2 4F 0
，则圆心
D 2
,
E 2
，
由题意知，
2
D E 22 DE
F
0
D 4
，解得
E
4
，
10 3D E F 0
F 2
所以所求圆的一般方程是 x2 y2 4x 4y 2 0 .
13.若直线 l : ax by 1 0 始终平分圆 M : x2 y2 4x 2 y 1 0 ， 则 (a 2)2 (b 2)2 的最小值为____________.
2.4.2圆的一般方程课件(人教版)
足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中
形成的图形、在解析几何中，我们常常把图
形看作点的轨迹(集合).
分析:如图，点A运动引起点M运动，而点
A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
+ 1 2 + 2 = 4.建立点M与点A坐标之间的
关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式
得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨
2
2
(3)当D2 + E2 − 4F < 0时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形.
概念生成
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆.
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
2
2
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把
它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
4 + 2 + + 20 = 0
圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
D
E
1
2
2
(1)a= ，b= ，r=
D E 4F
2
2
2
(2)标准方程易于看出圆心与半径,
(3)一般方程突出形式上的特点：
形成的图形、在解析几何中，我们常常把图
形看作点的轨迹(集合).
分析:如图，点A运动引起点M运动，而点
A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
+ 1 2 + 2 = 4.建立点M与点A坐标之间的
关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式
得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨
2
2
(3)当D2 + E2 − 4F < 0时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形.
概念生成
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆.
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
2
2
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把
它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
4 + 2 + + 20 = 0
圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
D
E
1
2
2
(1)a= ，b= ，r=
D E 4F
2
2
2
(2)标准方程易于看出圆心与半径,
(3)一般方程突出形式上的特点：
圆的标准方程2(圆的切线方程)ppt-人教版--湖北省
· Q
· B
(-2,-5)
· A
(2,-3)
· · ·所求圆的方程为 (x+1)2+(y+2)2=10.
练习 已知圆过点 A(2, -3)和B (-2, -5),若圆心
在直线x-2y –3 =0上，试求圆的方程。
解法2：易求出线段的中垂
线方程：2x+y+4=0……(1)
又已知圆心在直线 · Q x-2y-3=0 …… (2)上 · A (2,-3) · B 由(1)(2)求得交点 Q((-2,-5) 1, -2) 即为圆心坐标， 另 r2=QA2=(2+1)2+(-3+2)2=10 ， 所以圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10 .
2
已知圆的方程是x2+y2=r2, 求经过圆上 一点M（xo,yo）的切线方程。 p y
解法二：设P（x,y）是切线上任一点， M
O
根据勾股定理，得：
所以，
2
OM2+MP2=OP2
x
r (x x0 ) (y y 0 ) x y
2 2 2
2
由于
x y r
2 0 2 0
2
把方程整理得： x
0
x y 0y r
2
解法二（直译法）
已知圆的方程是x2+y2=r2, 求经过圆上 一点M（xo,yo）的切线方程。p y
M
( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 ) 0, 所以， x0 ( x x0 ) y0 ( y y0 ) 0， x 0 x y0 y
圆的切线方程
人教B版高中数学必修二2.3.1《圆的标准方程》ppt课件
•直径的圆的方已程知，两并点判P断1(M4(,69,)9和)、P2(Q6(,53,)3，)是求在以圆P1上P2？为
圆外？圆内？
• [分析] (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半 径．
• (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已 知点[到解析圆]心由的已距知离条与件半可径得圆的心大坐小标关为系M来(5,判6)，断半．径为 r＝12
• 3．以点A(－5,4)为圆心，且与y轴相切的圆的方程
是( )
• A．(x－5)2＋(y＋4)2＝25 B．(x＋5)2＋(y－4)2＝
25
• C．(x－5)2＋(y＋4)2＝16 D．(x＋5)2＋(y－4)2＝
16
• [答案] B
• [解析] ∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
此求圆的方程必须具备三个独立条件．
• 3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为： (x_圆－_心_a_)2在_＋_(原_y_－点_b_)、_2＝_半_r_2 径__为__r_的，圆称方作程圆为的x标2＋准y方2＝程r．2. 特别地，
• 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关
r2＝5
故△ABC 的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
圆外？圆内？
• [分析] (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半 径．
• (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已 知点[到解析圆]心由的已距知离条与件半可径得圆的心大坐小标关为系M来(5,判6)，断半．径为 r＝12
• 3．以点A(－5,4)为圆心，且与y轴相切的圆的方程
是( )
• A．(x－5)2＋(y＋4)2＝25 B．(x＋5)2＋(y－4)2＝
25
• C．(x－5)2＋(y＋4)2＝16 D．(x＋5)2＋(y－4)2＝
16
• [答案] B
• [解析] ∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
此求圆的方程必须具备三个独立条件．
• 3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为： (x_圆－_心_a_)2在_＋_(原_y_－点_b_)、_2＝_半_r_2 径__为__r_的，圆称方作程圆为的x标2＋准y方2＝程r．2. 特别地，
• 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关
r2＝5
故△ABC 的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
2.4.1 圆的标准方程(PPT)
探究题 2 已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于 A(1，0)，B(5， 0)两点.
(1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求点 P(x，y)到直线 x－y＋1 ＝0 的距离的最大值和最小值.
探究题 1 26＋2 解析：理解 （x－1）2＋（y－1）2的几何 意义，即为动点 P(x，y)到定点(1，1)的距离．因为点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此 （x－1）2＋（y－1）2表示点 (1，1)与该圆上点的距离．
小题体验 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2 表示圆．( ) × 解析：当 m＝0 时不表示圆，只表示点(a，b). (2) 若 圆 的 标 准 方 程 是 (x － a)2＋ (y － b)2 ＝ m2(m≠0) ， 则 圆 心 为 (a，b)，半径为 m.( )
解：(1)因为圆心(3，4)，设半径为 r, 又圆过坐标原点，所以 r＝ （3－0）2＋（4－0）2＝5, 所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. (2)设圆的半径为 r, 因为圆与 x＋y＝4 相切，所以 r＝|1＋121＋－142|＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
必备知识 深化预习
1．圆的标准方程 (1) 以 C(a ， b) 为 圆 心 ， r(r>0) 为 半 径 的 圆 的 标 准 方 程 为 __(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2_＝__r2___. (2)以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为__x_2＋__y_2_＝__r_2 __．
联立方程组23xx－ －yy＝ －02， ＝0，解得yx＝＝42.， 设圆心为 C，所以圆心坐标为(2，4). 又半径 r＝|CA|＝ 10， 则所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
2.4.1圆的标准方程课件(人教版)
[0,1) 范围是___________.
解析： (5 a 11)2 ( a )2 26a ，因为点 M 在圆的内部，所以26a 26 ， 又 a 0 ，所以 0 a 1.故实数 a 的取值范围是[0,1) .
5.已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且到直线3x 4y 4 0 的
代入 (5 a)2 (1 b)2 r2 ，得 r2 25 .
所以，△ABC 的外接圆的标准方程是(x 2)2 ( y 3)2 25 .
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1,1) ， B(2, 2) 两点，且圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，求此圆的标准方程.
解法 1：设圆心 C 的坐标为 (a,b) . 因为圆心 C 在直线l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA | | CB | . 由两点间距离公式有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ，即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3 ，b 2 ，所以圆心 C 的坐标是(3, 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 . 所以所求圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25 .
解法 2：如图，设线段 AB 的中点为 D.
由 A，B 两点的坐标为 (1,1) ， (2, 2) ，可得点 D 的坐标为(3 , 1) ， 22
直线
AB
的斜率为 kAB
2 1 2 1
3
.
因此，线段
AB
的垂直平分线
l
的方程是
y
1 2
1 3
(x
3 2
)
，即
x
3y
3
0
解析： (5 a 11)2 ( a )2 26a ，因为点 M 在圆的内部，所以26a 26 ， 又 a 0 ，所以 0 a 1.故实数 a 的取值范围是[0,1) .
5.已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且到直线3x 4y 4 0 的
代入 (5 a)2 (1 b)2 r2 ，得 r2 25 .
所以，△ABC 的外接圆的标准方程是(x 2)2 ( y 3)2 25 .
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1,1) ， B(2, 2) 两点，且圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，求此圆的标准方程.
解法 1：设圆心 C 的坐标为 (a,b) . 因为圆心 C 在直线l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA | | CB | . 由两点间距离公式有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ，即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3 ，b 2 ，所以圆心 C 的坐标是(3, 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 . 所以所求圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25 .
解法 2：如图，设线段 AB 的中点为 D.
由 A，B 两点的坐标为 (1,1) ， (2, 2) ，可得点 D 的坐标为(3 , 1) ， 22
直线
AB
的斜率为 kAB
2 1 2 1
3
.
因此，线段
AB
的垂直平分线
l
的方程是
y
1 2
1 3
(x
3 2
)
，即
x
3y
3
0
人教版必修二数学4.1.2圆的一般方程优秀课件
(4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)可化为 (x + a )2 + (y- a )2 = a2 ，表
2
22
示以 (- a , a ) 为圆心， 2 a 为半径的圆.
22
2
知识点2 坐标法求动点的轨迹 1.求轨迹方程的一般步骤 (1)建系:建立适当的直角坐标系. (2)设点:用(x,y)表示轨迹(曲线)上任意一点M的坐标. (3)列式:列出关于x,y的方程. (4)化简:把方程化为最简形式. (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
【误区警示】本题易出现误认为在x轴,y轴上的截距必须是正 值,从而将x轴上的截距和认为是|D|,y轴上的截距和认为是|E| 的错误.
【补偿训练】若经过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)三点的圆为⊙M， 且点D(m,3)在⊙M上，求m的值.
【解析】设过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)的圆的一般方程为
【自主解答】(1)设M(x,y),由已知圆心A(2,-1),则点P(2x-2, 2y+1),将P代入圆的方程得:(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1) -11=0, 即为:x2+y2-4x+2y+1=0. 答案:x2+y2-4x+2y+1=0
(2)设所求轨迹上任一点M(x,y),圆的方程可化为(x-3)2+(y-
【即时练】
1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为 ( )
A.(-2,-3)
B.(2,-3)
C.(2,3)
D.(-2,3)
2.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,求出圆的 圆心坐标及半径长,并化为标准方程. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0. (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. (3)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0). (4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).
高考数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2ppt版本
5.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准 方程为__x_2＋__(_y_－__1_)_2＝__1__. 解析 由题意知圆C的圆心为(0，1)，半径为1， 所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
解析答案
谢谢
2019/11/13
答案
(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在 圆C上 ⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在 圆C外 ⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在 圆C内 ⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2. 思考 确定点与圆的位置关系的关键是什么？
自主学习
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
答案
思考 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？ 答 不一定.当m＝0时表示点(a，b)，当m≠0时，表示圆.
答案
知识点二 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与 圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较： 若|CM|＝r，则点M在 圆上； 若|CM|>r，则点M在 圆外； 若|CM|<r，则点M在 圆内.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围 是( A ) A.－1＜a＜1 B.0＜a＜1 C.a＜－1或a＞1 D.－1＜a＜0 解析 直接利用点与圆的位置关系来判断. ∵点(1，1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4. 解得－1＜a＜1.
解析答案
题型二 点与圆的位置关系的判断 例2 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的 取值范围. 解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2， ∴2a＋5≥0， ∴a 的取值范围是－52，0∪(0，＋∞). 解 由已知，得 C(3，0)，r＝|A2B|＝2，
解析答案
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2019/11/13
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(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在 圆C上 ⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在 圆C外 ⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在 圆C内 ⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2. 思考 确定点与圆的位置关系的关键是什么？
自主学习
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
答案
思考 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？ 答 不一定.当m＝0时表示点(a，b)，当m≠0时，表示圆.
答案
知识点二 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与 圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较： 若|CM|＝r，则点M在 圆上； 若|CM|>r，则点M在 圆外； 若|CM|<r，则点M在 圆内.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围 是( A ) A.－1＜a＜1 B.0＜a＜1 C.a＜－1或a＞1 D.－1＜a＜0 解析 直接利用点与圆的位置关系来判断. ∵点(1，1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4. 解得－1＜a＜1.
解析答案
题型二 点与圆的位置关系的判断 例2 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的 取值范围. 解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2， ∴2a＋5≥0， ∴a 的取值范围是－52，0∪(0，＋∞). 解 由已知，得 C(3，0)，r＝|A2B|＝2，
圆的方程ppt课件
圆的方程
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
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补充:典型题型(一)
例:已知x, y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:
( 1 )y 的;(2 最 )x 2 y 2 的 值 ;(3 最 )x y 的 值 ;(4 最 )x y 的 值 .最 x
解:(2)x2 y2表示C圆上的P点(x,y)与坐标原 O(0点 ,0) 连结的线段长, 的由平平方面几何,知 知当 识 P为直线 OC与圆 C的两交P1点 ,P2时,OP12与OP22分别O 为P2的最大值 ,最小.值 x2 y2的最大值 ( 2为 2 32 1)2 142 13, 最小值( 为 22 32 1)2 142 13.
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*
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思考1:许多平面几何问题常利用“坐标 法”来解决，首先要做的工作是建立适 当的直角坐标系，在本题中应如何选取 坐标系？
y
o
X
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*
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补充:典型题型(一)
例:已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:
P2 P
A A1 A2 O A3 A4 B
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高
度吗？
*
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圆心(0,b)
x2(yb)2 r2
y P2 P (0,4)
02 (4b)2 r2 102 (0b)2 r2
b 10.5
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*
新人教版高中数学《圆的方程》PPT教 学课件 1
利用圆系求:过圆两切点的直线问题
例:过点M(2,4)向圆C:(x-1)2+(y+3)2=1引 两条切线,切点为P,Q,求PQ所在直线的方 程.
解:设p(x, y)为切点,M(2,4),C(1,3),圆C的半径为 1, PM2 CM2 149.以点M为圆心,PM长为半径的 圆的方程是 (x2)2 (y4)2 49. 又圆C的方程是(x1)2 (y3)2 1, 圆M与圆C的公共弦所在的直线 程方 可由 两圆相减得,即 到直线PQ的方程为x 7y 19 0.
-x0x-y0y+r2=0,即 x0x+y0y=r2.
*
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补充:典型题型(一)
例:已知x, y 是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:
( 1 )y 的;(2 最 )x 2 y 2 的 值 ;(3 最 )x y 的 值 ;(4 最 )x y 的 值 .最 x
解:(1) y表示圆C上的点P(x, y)与坐标原点O(0,0) x
连线的斜率k,当y kx为圆C的切线时,k得最值.
2k 3 1,k 2 2 3.
1 k2
3
y的最大值为2 2 3,最小值为2 2 3.
x
3
3
*
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*
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解:设两个切点为A,B以OP为直径的圆过
A,B两点,设圆上任一点C (x ,y ),必有
OC⊥PC,根据此条件必有
y
P
y• yy0 1,
A
x xx0
o
x
故得此圆的方程为
B
x(x-x0)+y(y-y0)=0.过A,B两点的圆的方 程为 x(x-x0)+y(y-y0)+λ(x2+y2-r2)=0. 令λ=-1,得AB直线方程为
第一步:建立坐 标y系，用坐标表 示B有(0关,b的) 量。
| BC| c2 b2
O'
a
2
c
,
b
d 2
E
a 2
,
b 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|O'E|1 c2 b2 2
C(c,0) O
A(a,0)
第二步:进行有 x
关代O’数运E 算
| O' E | 1 | BC | 2
第三D步(0,:d)把代数 运算结果翻译成
因此，圆心到一条边的距离等于等于这条边所几对何边关长系一半。。
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4.2.3 直线与圆的方程的应用
新人教版高中数学《圆的方程》PPT教 学课件 1
*
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问题：这个圆的圆拱跨AB=20m， 拱高OP=4m，建造时每间隔4m需 要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的 高度（精确到0.01m）
*
新人教版高中数学《圆的方程》PPT教 学课件 1
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利用圆系求:过圆两切点的直线问题
思考设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2外一 点，过点M作圆的两条切线，切点分别
为A，B，则直线AB的方程如何？
y
M
A
o
x
B
x0x+y0y=r2
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思考2：如图所示建立直角坐标系，
设四边形的四个顶点分别为点
A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，
D(0，d)
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y B C oM
N
D *
A x
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•
证明：以AC为x轴，BD为y轴建立直角坐标系。
则四个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)
*
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用坐标法 解决几何问题的步骤：
第一步 ：建立适当的平面直角坐标系，用坐标 和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问 题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
r
14.5
-2
x
A A1 A2 A3 A4 B(10,0)
令x2得 y 3.86
x2(y10.5)214.52 |A2P2|3.86m
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知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题:已知内接于圆的四边形的对角 线互相垂直，求证：圆心到一边的 距离等于这条边所对边长的一半.
例:已知x, y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:
( 1 )y 的;(2 最 )x 2 y 2 的 值 ;(3 最 )x y 的 值 ;(4 最 )x y 的 值 .最 x
解:(2)x2 y2表示C圆上的P点(x,y)与坐标原 O(0点 ,0) 连结的线段长, 的由平平方面几何,知 知当 识 P为直线 OC与圆 C的两交P1点 ,P2时,OP12与OP22分别O 为P2的最大值 ,最小.值 x2 y2的最大值 ( 2为 2 32 1)2 142 13, 最小值( 为 22 32 1)2 142 13.
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思考1:许多平面几何问题常利用“坐标 法”来解决，首先要做的工作是建立适 当的直角坐标系，在本题中应如何选取 坐标系？
y
o
X
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补充:典型题型(一)
例:已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:
P2 P
A A1 A2 O A3 A4 B
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高
度吗？
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圆心(0,b)
x2(yb)2 r2
y P2 P (0,4)
02 (4b)2 r2 102 (0b)2 r2
b 10.5
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利用圆系求:过圆两切点的直线问题
例:过点M(2,4)向圆C:(x-1)2+(y+3)2=1引 两条切线,切点为P,Q,求PQ所在直线的方 程.
解:设p(x, y)为切点,M(2,4),C(1,3),圆C的半径为 1, PM2 CM2 149.以点M为圆心,PM长为半径的 圆的方程是 (x2)2 (y4)2 49. 又圆C的方程是(x1)2 (y3)2 1, 圆M与圆C的公共弦所在的直线 程方 可由 两圆相减得,即 到直线PQ的方程为x 7y 19 0.
-x0x-y0y+r2=0,即 x0x+y0y=r2.
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补充:典型题型(一)
例:已知x, y 是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:
( 1 )y 的;(2 最 )x 2 y 2 的 值 ;(3 最 )x y 的 值 ;(4 最 )x y 的 值 .最 x
解:(1) y表示圆C上的点P(x, y)与坐标原点O(0,0) x
连线的斜率k,当y kx为圆C的切线时,k得最值.
2k 3 1,k 2 2 3.
1 k2
3
y的最大值为2 2 3,最小值为2 2 3.
x
3
3
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解:设两个切点为A,B以OP为直径的圆过
A,B两点,设圆上任一点C (x ,y ),必有
OC⊥PC,根据此条件必有
y
P
y• yy0 1,
A
x xx0
o
x
故得此圆的方程为
B
x(x-x0)+y(y-y0)=0.过A,B两点的圆的方 程为 x(x-x0)+y(y-y0)+λ(x2+y2-r2)=0. 令λ=-1,得AB直线方程为
第一步:建立坐 标y系，用坐标表 示B有(0关,b的) 量。
| BC| c2 b2
O'
a
2
c
,
b
d 2
E
a 2
,
b 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|O'E|1 c2 b2 2
C(c,0) O
A(a,0)
第二步:进行有 x
关代O’数运E 算
| O' E | 1 | BC | 2
第三D步(0,:d)把代数 运算结果翻译成
因此，圆心到一条边的距离等于等于这条边所几对何边关长系一半。。
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4.2.3 直线与圆的方程的应用
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问题：这个圆的圆拱跨AB=20m， 拱高OP=4m，建造时每间隔4m需 要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的 高度（精确到0.01m）
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利用圆系求:过圆两切点的直线问题
思考设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2外一 点，过点M作圆的两条切线，切点分别
为A，B，则直线AB的方程如何？
y
M
A
o
x
B
x0x+y0y=r2
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思考2：如图所示建立直角坐标系，
设四边形的四个顶点分别为点
A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，
D(0，d)
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y B C oM
N
D *
A x
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•
证明：以AC为x轴，BD为y轴建立直角坐标系。
则四个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)
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用坐标法 解决几何问题的步骤：
第一步 ：建立适当的平面直角坐标系，用坐标 和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问 题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
r
14.5
-2
x
A A1 A2 A3 A4 B(10,0)
令x2得 y 3.86
x2(y10.5)214.52 |A2P2|3.86m
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知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题:已知内接于圆的四边形的对角 线互相垂直，求证：圆心到一边的 距离等于这条边所对边长的一半.