第十一章曲线积分与曲面积分习题课资料

y
x
2
选G为整个平面，是单连通区域，
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第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
P，Q在G内有一阶连续偏导，利用积分与路径无关
选OA+AB直线段代替L, 则
I
OA
AB
2 0dx
0
1
(1
0
2y
sin
2
3பைடு நூலகம்
2
2
y2 )dy
2
4
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第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
例3 证明： 若C为平面上闭曲线，
gradu
u
i
u
j
u
k
x y z
通量 散度 环流量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
divA
P
Q
R
x y z
A ds Pdx Qdy Rdz
旋度
i jk
rotA x y z
5
PQR
第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
关系网
（求平面区 域的面积）
（求体积，平面 区域的面积，空 间曲面的面积）
2. 通过投影化为二重积分
I P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
P( x( y, z), y, z)dydz Q( x, y(z, x),z)dzdx
D yz
Dzx
R( x, y, z( x, y))dxdy
Dxy
注意 的确定!
例2 L为抛物线
2x y2上从(0, 0)到( ,1)的弧段.
2
求 I (2xy3 y2 cos x)dx (1 2y sin x 3x2 y2)dy L
解：
B
L
P 2xy3 y2 cos x, Q 1 2 y sin x 3x2 y2
A
P 6xy2 2 y cos x Q
具有一阶连续偏导数,则
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
(P x
Q y
R)dv z
其中取 外侧.
9
第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
1. 利用高斯公式
(2) 若非闭而P,Q, R比较复杂, P,Q, R在 加面 后 ( 为闭)所构成的空间域中
具有一阶连续偏导数,则
I
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第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
l为任意方向, n为C的外法线方向,则
C cos(l , n)ds 0
证: 不防假设C的方向为逆时针方向.
t为切向量.
l t
n
因为(l, n) (l, x) (n, x)
从而
cos(l, n) cos(l, x) cos(n, x) sin(l, x) sin(n, x)
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第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
又sin(n,
x)
sin
(t,
x)
2
cos(t,
x)
cos(n,
x)
cos
(t,
x)
2
sin(t,
x)
且 cos(t, x) dx , sin(t, x) dy
ds
ds
则
cos(l, n)ds cos(l, x)dy sin(l, x)dx
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第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
利用Green公式,且注意到
3
第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
4. 了解两类曲面积分的概念，掌握高斯 Gauss) 了解斯托克斯(Stokes)公式, 并会 、 计算两类曲面积分.
5.了解散度、旋度的概念及其计算 方法.
6. 会用曲线积分、曲面积分求一些 几何量与物理量.
4
第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
二、场论初步
梯度
cos(l, x),sin(l, x)为常数,
则
C cos(l , n)ds C (sin(l, x)dx cos(l, x)dy)
0dxdy 0
D
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第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
例4 验证被积函数为全微分,并计算下列积分.
(1) (a,b) f (x y)(dx dy), 其中f (u)连续; (0,0)
L
9x2 y2
其中L为单位圆周，取逆时针方向.
提示 : 作l : 9x2 y2 2 , 顺时针方向.
例6 计算
I (ex sin y my)dx (ex cos y m)dy Amo
AMO为由A(a,0)到O(0,0)的上半圆周: x2 y2 ax.
课程名称 《高等数学》
第11章 曲线积分与曲面积分
习题课 教学要求 场论初步 例题
2
第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
一、教学要求
1. 理解两类曲线积分的概念, 了解两类 曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.
2. 会计算两类曲线积分. 3. 掌握格林(Green)公式, 会使用平面 曲线积分与路径无关的条件.
提示:令
F (x, y)
x y
f (u)du
0
(2) (x2,y2)(x)dx ( y)dy, 其中, 连续. ( x1, y1 )
提示:令
F(x)
x
(x)dx, G(y)
y
(y)dy
x1
y1
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第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
例5 求
I
( y 9x)dx ( y x)dy
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第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
例1 计算 I x2ds
其中L为圆周:
x2
y2
z2
a2
x y z 0
解： 利用轮换对称性，有
x2ds y2ds z2ds
故 I x2ds 1 (x2 y2 z2 )ds
3
a2 ds 2 a2
3
3
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第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
定积分
二重积分
（求体积） 三重积分
Green
曲线积分
Stokes
Gauss 曲面积分
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第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
两类曲线积分之间的关系：
Pdx Qdy Rdz
(P cos(t, x) Q cos(t, y) R cos(t, z))ds
t为与同向的上点(x, y, z)处的切向量.
L
思路
I L Pdx Qdy
I
( x, y)
Pdx Qdy
( x0 , y0 )
非闭
P
Q
I
L Pdx Qdy 0
y
闭合
x
P
Q
闭合
I
D
(
Q x
P )dxdy y
y x 非闭 补充曲线或用公式
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第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
对坐标的曲面积分的计算法
解法有三种
1. 利用高斯公式
(1)若P,Q, R在闭曲面 所围成的空间域中
两类曲面积分之间的联系：
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z))dS n为上点(x, y, z)处的给定法向量. 7
第九章 曲线积分与曲面积分 习题课
三、例题
对坐标的曲线积分
P(x, y)dx Q(x, y)dy 的计算法