八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷综合测试卷(word含答案)
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八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷综合测试卷(word含答案)
一、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)
1.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,点E是BC延长线上的一点,且BD=DE.点G是线段BC的中点,连结AG,交BD于点F,过点D作DH⊥BC,垂足为H.
(1)求证:△DCE为等腰三角形;
(2)若∠CDE=22.5°,DC=2,求GH的长;
(3)探究线段CE,GH的数量关系并用等式表示,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(22
;(3)CE=2GH,理由见解析.
【解析】【分析】
(1)根据题意可得∠CBD=1
2
∠ABC=
1
2
∠ACB,,由BD=DE,可得∠DBC=∠E=
1 2∠ACB,根据三角形的外角性质可得∠CDE=
1
2
∠ACB=∠E,可证△DCE为等腰三角
形;
(2)根据题意可得CH=DH=1,△ABC是等腰直角三角形,由等腰三角形的性质可得BG=GC,2+1,即可求GH的值;
(3)CE=2GH,根据等腰三角形的性可得BG=GC,BH=HE,可得GH=GC﹣HC=GC﹣
(HE﹣CE)=1
2
BC﹣
1
2
BE+CE=
1
2
CE,即CE=2GH
【详解】
证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=1
2
∠ABC=
1
2
∠ACB,
∵BD=DE,
∴∠DBC=∠E=1
2
∠ACB,
∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠CDE=1
2
∠ACB=∠E,
∴CD=CE,
∴△DCE是等腰三角形
(2)
∵∠CDE=22.5°,CD=CE2,
∴∠DCH=45°,且DH⊥BC,
∴∠HDC=∠DCH=45°
∴DH=CH,
∵DH2+CH2=DC2=2,
∴DH=CH=1,
∵∠ABC=∠DCH=45°
∴△ABC是等腰直角三角形,
又∵点G是BC中点
∴AG⊥BC,AG=GC=BG,
∵BD=DE,DH⊥BC
∴BH=HE2+1
∵BH=BG+GH=CG+GH=CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1
∴GH=
2 2
(3)CE=2GH
理由如下:∵AB=CA,点G是BC的中点,∴BG=GC,
∵BD=DE,DH⊥BC,
∴BH=HE,
∵GH=GC﹣HC=GC﹣(HE﹣CE)=1
2
BC﹣
1
2
BE+CE=
1
2
CE,
∴CE=2GH
【点睛】
本题是三角形综合题,考查了角平分线的性质,等腰三角形的性质,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
2.(1)已知△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来.只需画图,不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数)
(2)已知△ABC中,∠C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求∠ABC与∠C之间的关系.
【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC=135°-3
4
∠C或∠ABC=3∠C
或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意锐角.
【解析】
试题分析:(1)已知角度,要分割成两个等腰三角形,可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理,先计算出可能的角度,或者先从草图中确认可能的情况,及角度,然后画上.
(2)在(1)的基础上,由“特殊”到“一般”,需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程,可得出角与角之间的关系.
试题解析:(1)如图①②(共有2种不同的分割法).
(2)设∠ABC=y,∠C=x,过点B的直线交边AC于点D.
在△DBC中,
①若∠C是顶角,如图,则∠CBD=∠CDB=90°-1
2
x,∠A=180°-x-y.
故∠ADB=180°-∠CDB=90°+1
2
x>90°,此时只能有∠A=∠ABD,
即180°-x-y=y-
1
90
2
x
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
,
∴3x+4y=540°,∴∠ABC=135°-3
4
∠C.
②若∠C是底角,
第一种情况:如图,当DB=DC时,∠DB C=x.在△ABD中,∠ADB=2x,∠ABD=y-x.
若AB=AD,则2x=y-x,此时有y=3x,
∴∠ABC=3∠C.
若AB=BD,则180°-x-y=2x,此时有3x+y=180°,∴∠ABC=180°-3∠C.
若AD=BD,则180°-x-y=y-x,此时有y=90°,即∠ABC=90°,∠C为小于45°的任意锐角.
第二种情况:如图,
当BD=BC时,∠BDC=x,∠ADB=180°-x>90°,此时只能有AD=
BD,∴∠A=∠ABD=1
2
∠BDC=1
2
∠C<∠C,这与题设∠C是最小角矛盾.