圆的标准方程优秀教案

第四章圆与方程

4.1 圆的方程

4.1.1 圆的标准方程

教材分析

本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆

的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待

定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识．

课时分配

本节内容用1 课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用．

教学目标

重点: 圆的标准方程的理解、掌握．

难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．

知识点：会求圆的标准方程.

能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程. 教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法.

考试点：会求圆的标准方程.

易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程.

拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程．

教具准备多媒体课件和三角板

课堂模式学案导学

一、引入新课

问题1：什么是圆？

【设计意图】回顾圆的定义便于问题2 的回答．

【设计说明】学生回答．

问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？

【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径

定形）．

【设计说明】教师引导，学生回答．

问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？

【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题．

【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题．

二、探究新知

问题4:已知圆的圆心坐标为 A(a,b)，半径为r (其中a 、b 、r 都是常数，r 程？

师：类比直线点斜式方程的推导方法，弓I 导学生回答求曲线的方程的一般步骤. 师生：教师引导学生回答如何求曲线的方程.

(1) 建立适当的直角坐标系，用

(x , y)表示曲线上任意点 M 的坐标；

(2) 写出适合条件 P 的点M 的集合P={M|P(M)|}; ⑶用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x , y)=0; ⑷化方程f(x , y)=0为最简形式； (5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程. 师：设M(x,y)是圆上任意一点，根据圆的定义如何建立

x , y 满足的关系式?

圆的标准方程：(x a)2 (y b)2 r 2，其中圆心为 A(a,b)，半径为r .

强调：熟记圆的标准方程的结构特点，并能观察出圆心和半径. 师：那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？

生：只要a 、b 、r 三个量确定了且r 0,圆的方程就给定了. 师：圆心在原点圆的方程是什么？ 生:

【设计意图】便于学生理解掌握圆的标准方程，为准确地运用新知，作必要的铺垫. 【设计说明】 学生自己归纳总结. 基础检测：

2 2

1. ___________________________________________ 圆(x 2) y 2的圆心A 的坐标为 ，半径r 为 .

2. 圆(x 1)2 (y - 3)2 a 2(a 0)的圆心,半径是？ 【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标 ，半径长的关系.

【设计说明】学生口答.

四、运用新知

例1.写出圆心为A(2, 3),半径长等于5的圆的方程，并判断点MJ5, 7),M 2( 分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手.

【设计意图】圆的标准方程的直接应用，并会判断点与圆的位置关系. 【设计说明】 培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯. 探究：怎样判断点 M(x o ，y 。)在圆(x a)2 (y b)2 r 2上？圆内？还是圆外？

0),如何确定圆的方

y 打

生：利用两点间的距离公式，写出点 M 的

师：如何进一步化简上述关系式得出圆的方程？ 坐标适合的条件.

生：学生自己化简得出圆的方程为

(x a)

【设计意图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法. 【设计说明】学生自己化简得出结论便于学生理

O

耳解记忆.

三、理解新知

1)是否在这个圆上.

2

M

【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出下列结论.

(1) (X 。

a)2 (y 。 b)2 2

r ，点在圆外

(2) (X 。 a)2

(y 。 b)2

2

r ，点在圆上 (3) (X 。 a)2 (y o b)2 2

r ，点在圆内

【设计说明】 培养学生分析问题、解决问题的能力 练习：

2 2

1•点P(m,5)与圆x y 25的位置关系(

)

A.在圆外 E.在圆上

C.在圆内

D.在圆上或圆外

2•求经过点P(5, 1)，圆心在点C(8, -3)的圆的标准方程. 3•求以点(2, 1)位圆心且与直线 3x 4y 5

0相切的圆的标准方程.

【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程. 【设计说明】 学生爬黑板.

例2. ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, 3),C(2, 8)，求它的外接圆的方程.

师生共同分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆•从圆的标准方程

(x a)2 (y b)2 r 2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定 a,b,r 三个参数.

因为A(5,1), B(7, 3)，所以线段 AB 的中点D 的坐标为(6, 1)，直线AB 的斜率k AB 2 , 解法

设所求圆的方程是

(x a)2 (y b)2 r 2

(1)

因为 A(5,1), B(7, 3),C(2,

8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程(

1).于是

(5 (7

(2

a)2

a)2 a)2 (1 (3 (8 b)2

b)2

b)2

2

r

2 r 2

r

所以,

ABC 的外接圆的方程为

(x 2)2 (y 3)2

25

【设计意图】掌握待定系数法求圆的标准方程. 【设计说明】 学生自己运算解决.

除上述方法求圆的标准方程外还有没有其它方法？ 教师画图引导.

师 师 生 师 生

师 生 学生讨论发现，还可利用几何法求 ABC 的外接圆的方程

确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.那么如何确定圆心？

O

学生探讨发现：弦 AB 的垂直平分线与弦 BC 的垂直平分线的交点即为圆 如何确

定半径？

圆心M 与圆上任一点的距离即为半径. 解法二：(师生共同完成)

L 1

因此线段AB 的垂直平分线L 1的方程是

1

y 1

尹 6)，

L 2

M