平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.平面向量数量积的运算率.
3.重要结论: 设a 、b都是非零向量,则
(1) a b _________ a b 0 . 2 2 (2) a a _____ |a| . a ______ aa . | a | __________ (3) | a b | ____ ≤ | a || b | .
分析:
由已知启发我们先用坐标表示向量 k a b和a 3b 然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。
解：1） k a b k 1,2 3,2 k 3,2k 2 a 3b 1,2 3 3,2 10,4
当 k a b a 3b 0时 这两个向量垂直 由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
求| a |,| b |
| a b |
3、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），

则 cos
a b ab
设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， (0 180 )则 cos
29 C (3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形 .
b = (-3，2)， a = (1，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行，则k = - 1 .
3、已知
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，
即两个向量的数量积等于它们对应坐标
x1 x2 2 y1 y2 2 .
即平面内两点间的距离公式．
例 1:已知 a＝(1,√3 )， b ＝(– 2,2√3 ), a ＝√12＋(√3 )2＝2, 2＋(2√3 )2 ＝4, ＝ √ ( – 2) b
a b (3, 3)
| a b | 32 ( 3) 2 12 2 3
一.复习引入新课:
1.平面向量数量积的含义:
| a || b | cosθ . a b ________________
(1)a b b a............交换率 (2)( a ) b ( a b ) a ( b )...... " 结 合 率" (3)(a b ) c a c b c ............分配率
a
X
i
x1 x2 y1 y2
1、平面向量数量积的坐标表示
在坐标平面xoy内，已知 a ＝(x1，y1)， b ＝ (x2，y2)，则
a b x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
例 1:已知 a＝(1,√3 )， b ＝(– 2,2√3 ), 求 a · b b ＝1×(–2)＋√3×2√3＝4; 解：a ·
O C
Y
B
A X
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线 是否垂直的重要方法之一。 如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a // b(b 0) a b x1 y2 x2 y1 0
a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
0 ②i j ______ 1 ④ j j _____
B(x2，y2)
Y
∵ a = x1 i + y1 j ， b = x 2 i + y2 j
b
j O
A（x1,y1）
a b x1i y1 j x2 i y2 j
x1 x2 i 2 x1 y2 i j x2 y1i j y1 y2 j 2
A. 2i-j C. 2i+j
B . i-2j D . i+2j
已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a和b的夹角是钝角,则λ的 范围是[ A ]
10 A. 3 10 C. 3 10 B. 3 10 D. 3
提高练习
1、已知OA (3,1)， OB (0,5)，且 AC // OB， BC AB ，则点C的坐标为
例4:已知 a 1,2, b 3,2,当k取何值时, 1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向 还是反向?
a ＝(x1，y1)， b＝ (x2，y2)，则
例4:已知 a 1,2, b 3,2 ,当k取何值时, 1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向还是反向?
2 1 2 1 2 2 2 2
例 1:已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ),
求a与b的夹角θ.
cos θ ＝ a· b a b 1 4 ＝ ＝ , 2 2×4
∴ Baidu Nhomakorabea ＝60º
4、两向量垂直的坐标表示 垂直
a b a b 0
设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a b x1 x2 y1 y2 0
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应 的坐标来运算,那么怎样用 a和b的坐标表示 a b呢？
在直角坐标系中，已知两个非零向量a = （x1，y1）， b = （x2，y2）， 如何用a 与b的坐标表示a b
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
1 ① i i _____ 0 ③ j i ______
的乘积之和； （2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式 设A（x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB （x1 x2 ) （y1 y2 )
2 2
(1).设a x, y , 则 a x 2 y 2 用于计算向量的模
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1 , y1 , x2 , y2 , 那么 a
得
k 1 3



, 使k a b a 3b 2) 当k a b与a 3b平行时, 存在唯一实数

1 k 3


1 因此 k 时, k a b与a 3b平行 , 此时它们方向相反。 3
当堂检测
已知i=(1,0),j=(0,1),与2i+j垂直的向量是[ B ]
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
.
其中 x y 0， x y 0.
向量夹角公式的坐标式：
a ＝(x1，y1)， b＝ (x2，y2)，则
cos x1 x2 y1 y2 x y x y
练习： a (1,2),b (3,1), c (3,4),
则
(13, 26) a(b c ) ____
2、向量的模和两点间的距离公式
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42 ∴ ＝0 ( a＋ b)⊥ b
a与 b 垂直： a ＝(x1，y1)， b＝ (x2，y2)，则
例3:已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），
求证ΔABC是直角三角形
证明: ∵AB = （2 - 1，3 - 2）= （1，1） AC = （2 - 1 ，5 - 2 ）= （3 ，3 ） ∴AB AC = 1╳（3 ）+ 1 ╳ 3 = 0 ∴AB⊥AC ∴ΔABC是直角三角形
a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0 练习： ( 1, 2) a (3,4),b a, 且 b 起点坐标为 4 1 ，） 终点坐标为( x, 3x), 则 b （ ______ 15 5
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4), 求证：(a＋b)⊥b . 证明：∵(a＋b)· b＝ a · b＋b2