反比例函数的性质

反比例函数的性质

--------滏阳中学卢胜勇

一、教学内容和内容解析

1.内容：

通过反比例函数图像的分析，探索并掌握反比例函数图像的性质。

2.内容解析:

反比例函数是中学主要三个函数概念的重要一只。课本编排顺序是平面直角坐标系——函数概念——一次函数——反比例函数——二次函数。有承上启下的作用。是对函数和一次函数学习的学法和思想的进一步继承和提升。本节课是在反比例函数图像的基础上探究反比例函数性质。对前面一次函数的学习有一定的巩固和继承作用。类比探究正比例函数性质，探究反比例函数使学生初步掌握研究函数的一般方法，并能够迁移应用十分重要。对反比例函数的这种类比性探究学习，对今后二次函数等函数的学习有方法论上的指导作用。是培养学生自主学习能力的绝佳素材。

反比例函数性质的探究可以很好的让学生感受函数表达式多种形式的转化，对数形结合数学思想有进一步的认识。可以进一步感受个各个表达式的优缺点。熟练掌握他们的相互转化。

本节课的学习对上节课函数图像的画法，有很好的检验复习作用，对下面反比例函数的应用有强大的内容支持。而反比例函数的性质，实际应用也比较广泛，所以本节课对学生应用数学解决实际问题帮助很大。

内容上相比以前学过的一次函数性质有所提高，图像从一条直线变成了两支双曲线。从连续的增减（上升、下降）变成了，两支上的（不同区间、不连续的）增减（上升、下降）。

二、学生情况分析：

学生在前面已经学习了函数的相关概念和一次函数的知识。上节课又熟练掌握了反比例函数图像的画法。

通过上一节课回顾函数图像的一般作图规律和反比例函数图像的作图，学生已经感受到了一般到特殊的迁移思想。但这种方法上的迁移能力并没真正内化。所以需要教师精心设计问题，引导学生逐步体会，完成教学目标，再次促使学生内化。

三、教学目标：

1、理解并掌握关于反比例函数图像的性质．

2、体会类比的数学研究思想。

3、在教师引导下可以发现反比例函数图像的性质．

四、教学重点：

反比例函数的性质以及类比正比例函数性质探索反比例函数性质所体现的研究函数的一般方法。

五、教学难点：

1.类比正比例函数性质研究反比例函数图像性质方法的迁移。

2.从正比函数性质提炼函数的一般研究方向。

六、教学过程设计：

（一）温故知新：

教师创设情境：同学们上一节课，我们根据正比例等函数的定义方式给出了反比例函数的定义。正比例函数图像所涵盖的一般方法画出了很多反比例函数图像。那么我们沿着这个思路是否可以类比正比例函数的性质来研究反比例函数图像的性质呢？今天我们就用这种

思想来探索一下反比例函数的性质。教师板书本节标题。

问题1：既然是类比正比例函数的性质来研究反比例函数图像的性质那么就请你回忆

下正比例函数的性质吧。

师生活动：学生回顾、小结，教师借助几何画板给出几个正比函数的图像教师借助多

媒体对学生作答进行整理与评价

．．．．．.

1.正比例函数图像是一条直线。

2.过原点即（0,0）。

3.k>0时，从左到右上升（y随x的增大而增大）, 过坐标系中的一、三象限;

k<0时，从左到右下降（y随x的增大而减小），过坐标系中的二、四象限。

4.对称性因为正比例函数图像是一条过原点的直线，所以即使轴对称又是中心对

称图形。.

【设计意图】通回忆正比例函数图像的性质，降低情境中的问题难度，让学生对正比例函数的内容有一个整体认识，教师整理评价对于学生在后面类比探索反比例函数图象的性质研究降低难度，增强学习的主动欲望.充分发挥教师的主导性。

（二）新知探究：

问题2：

我们来分析下正比例函数图像性质的第一条，它是个那方面的性质呢？你能类比说出反比例函数图像这方面的性质吗？可以参照几何画板上反比例函数的图像。

师生活动：

2.师生共同总结性质。反比例函数的图像是两支双曲线。性质方向：什么样的图像。

【设计意图】教师界定研究区域，本条性质较为简单，学生上一节课有所接触反比例函数的图像，预习后很容易说出完整答案。几何画板直观展示，目的让学生对双曲线进一步感受。

问题2：同理问题2的分析，分析下正比例函数图像性质的第二条，它是个那方面的性质呢？你能类比说出反比例函数图像这方面的性质吗？可以参照几何画板上反比例函数的图像。

师生活动：

1.教师多媒体展示各种反比例函数图像。

2.教师引导学生探索，是否过原点或某一定点。

3.师生共同总结性质。反比例函数的图像是不连续的不能过原点。性质研究方向：函数图像是否连续的，是否过定点。

【设计意图】教师界定研究区域，本条性质相对简单，学生很容易说出不过定点和原点，但其连续性教师制作介绍，不做说明。

问题3：

提示正比例函数的解析式y=kx（k为常数，且k≠0），反比例函数的解析式y=k/x (k为常数，k≠0)。你能否对比性质3，它是个那方面的性质呢？请写出反比例函数的性质吗？并小组合作展示。

师生活动：

1.教师借助几何画板依次给出k>0，k<0几个反比函数的图像。

2.小组合作展示答案。

3.本条性质较多，教师及时整理。

4.一定有一部份学生忘掉在某一象限或某一区间内，教师要借助几何画板上的特殊点，引

A到B下降而B到C上升。

5.师生共同总结性质：此处省略。教师给出与性质研究函数法方向：从解析中系数出发，

因k≠0所以分k>0,k<0。教师引导学生2个系数的一次函数图像性质的分析，学生回忆

感受。

问题4：同上类比得到反比例函数的性质，总结研究方向。

师生活动：学生直接回答，既是中心对称图形又是中心对称图形。总结研究方向：函

数的对称性。

【设计意图】教师界定研究区域，本条性质相对复杂，学生小组合作完善，教师借

助几何画板形象展示促进学生理解归纳。体现研究函数性质一般方法。提出一此函数提高方法认识。促使学生深刻理解与掌握为今后二次函数学习作较好的铺垫．

（三）知能升级： 1. 解决实际问题。

（1）

x y 6

=

的图像在第 象限，在第一象限内，曲线从左到右 ，y 随x 的增大

而 ；在第三象限内，曲线从左到右 ，y 随x 的增大而 。 （2）

x y 6

-

=的图像在第 象限，在第二象限内，曲线从左到右

，y 随x 的增大而 ；在第四象限内，曲线从左到右 ，y 随x 的增大而 。

2．能力提升：

（1）．若点（m ，-2m ）在反比例函数k

y x

=

的图像上，那么这个反比例函数的图像在（ ）

A ．第一、二象限

B ．第三、四象限

C ．第一、三象限

D ．第二、四象限

（2）．已知直线y ax b =+如图所示，则函数

ab

y x =

的图像应在（ ）

A ．第一、二象限

B ．第二、三象限

C ．第一、三象限

D ．第二、四象限

【设计意图】通过由浅入深、层层递进的练习，有效地促进学生对

本课所学性质的理解与掌握，从而实现知识向能力的转化．同时，在活用新知解决问题的过