高中数学 §1.1 数列的概念教案 北师大版必修5

§1.1 数列的概念

教学目标

1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．

2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．

3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．

教学重难点

教学重点是数列的定义的归纳与认识；

教学难点是数列与函数的联系与区别．

教学过程

一．揭示课题

先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数

（板书） 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．

（板书）第三章 数列

（一）数列的概念

二．讲解新课

要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：

①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9

②我国1998~2002年GDP 值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533 ④正弦函数x y sin =的图像在y 轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成

一列数:2π- 2

5π- 29π- 213π- 217π- ……

⑤正整数 的倒数排成一列数：4

1,31,21,1...... ⑥某人2006年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 (1100)

⑦函数21x y =当 依次取n ,...,3,2,1(*∈N n )时得到一列数：21,...,91,41,1n

请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．

（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．

为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．

由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．

对概念的理解 数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？

教师提出问题：

1：1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？

2： -1，1，-1，1是否为一个数列？

遇到数学概念不但要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．

（板书）2．数列的表示法

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表

示法：用 表示第一项，用

表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为

（板书）（1）列举法

． 简记为

． 一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法． （板书）（2）图示法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应

的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 4

1,31,21,1…为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横

坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中

可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数

量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即 ，这个函数

式叫做数列的通项公式．

（板书）（3）通项公式法 认识数列的通项公式

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。对应于函数的解析式法，认识数列的通项公式。 如 1100 1100 1100 …… 1100的通项公式为 1100=n a (121≤≤n )

41,31,21,1… 的通项公式为n

a n 1=*∈N n ； 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．

例如，数列 的通项公式 ，则 ．

值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．

除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．

（板书）3．数列与函数的关系

认识数列与函数的关系

数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？

教师：举例。将序号写在上面，下面的相应位置写上数列的各项。首先引导学生说出上

下两行是两组变量，然后分析这两组变量之间的关系。

学生：联想到函数间的变量依赖关系，认识到数列是函数。

教师：数列的定义域和值域分别是什么？

教师引导学生归纳出：数列可以看成是以正整数N*（或它的有限子集｛1，2，3，…，n ｝）为定义域的函数)(n f a n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。

数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义

域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 ．

于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．

例：P5课本例题

练习：（1）数列{}

n a 的通项公式n a =4是该数列中的第 16 项． （2）已知数列{}n a 的通项公式2412n a n n =--，则4a = 12-，7a = 9 ，65是它 的第 11 项 ；从第 7 项起各项为正；{}n a 中第 2 项的值最小为 16-

（3）{}n a 中29100n a n n =--，则值最小的项是第 4或5 项．

三．小结

1．数列的概念 2．数列的四种表示

四．作业 略

五．板书设计