旋转体的体积

i =1
S(x)dx
a
例 1 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
-R
底圆方程为
o
y
x2 y2 = R2
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) = 1 (R2 - x2 )tan ,
2
立体体积 V = 1 R (R2 - x2 )tandx = 2 R3 tan .
二、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
旋转体： 由连续曲线 y=f (x)、直
线 x=a 、a=b 及 x 轴所围成 y 的曲边梯形绕 x轴旋转一周 而成的立体。
讨论：
Oa
旋转体的体积怎样求？
y=f (x) bx
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y = f ( x) 、
y2dx =2 a b 2 (a 2 -x 2 )dx
0 a2
= 2 b 2 (a 2 x - x 3 ) a = 4 ab2 。
a2
30 3
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例 4 连接坐标原点O 及点 P(h, r)的直线、直线
x = h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算圆
旋转体的体积为 V = b [ f ( x)]2 dx a
曲线y=f(x)绕
x
轴旋转而成的立体体积：V
=
b
a
[f(x)]2dx。
例3
求椭圆 x 2 a2
y2 b2
=1
绕x轴旋转产生的旋转体的体
b y y = b a2 - x2 a
积。 解：椭圆绕 x 轴旋转产生
O
ax
的旋转体的体积：
a
Vx =2 0
2 -R
3
例 2 求以半径为 R的圆为底、平行且等于底圆
直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2 y2 = R2,
o x Rx
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x) = h y = h R2 - x2
立体体积
V
=
h R -R
R2 - x2dx = 1 R2h. 2
4
V = 120 4 - ydy = 64.
三、小结
绕 x轴旋转一周
旋转体的体积
绕 y轴旋转一周
平行截面面积为已知的立体的体积
§2由平行截面面积求体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积 二、旋转体的体积
三、小结
一、已知平行截面面积的立体的体积
设一立体在x轴上的投影区间为[a, b] ，过x点垂直于x轴 的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。
(1) 在[a, b]内插入分点： a=x0<x1<x2< <xn-1<xn=b，
=
hr2 3
.
2
2
2
例 5 求星形线 x 3 y 3 = a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 = a3 - x3,
y2
=
2 a 3
-
2
x3
3
-a
x [-a, a]
o
ax
旋转体的体积
V =
-aa
a
2 3
-
2
x3
3
dx
=
32 105
a3 .
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x = ( y) 、直线 y = c 、 y = d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V = d [ ( y)]2 dy c
d
x = ( y)
c
o
x
例 6 求摆线 x = a(t - sin t)，y = a(1 - cos t)的
一拱与 y = 0所围成的图形分别绕 x轴、y 轴旋转
例 7 求由曲线 y = 4 - x2及 y = 0所围成的图形 绕直线 x = 3旋转构成旋转体的体积.
解 取积分变量为y , y [0,4]
体积元素为
P
dy Q M
dV = [PM 2 - QM 2 ]dy 3 = [(3 4 - y)2 - (3 - 4 - y)2]dy
= 12 4 - ydy,
可看作平面图OABC 与OBC
x = x1( y) o
A
2a x
分别绕y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy =
2a
x
2
2
(
y)dy
-
0
2a
x
2
1
(
y
)dy
0
= a2 (t - sin t)2 a sin tdt 2 - a2 (t - sin t)2 a sin tdt 0
= a3 2 (t - sin t)2 sin tdt = 63a3 . 0
直线x = a 、x = b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y = f (x)
x [a,b]
在[a,b]上任取小区 o
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素， dV = [ f ( x)]2 dx
锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
r
o
y= x
h
r
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x, x dx]，
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的
体积为
y
dV
=
r h
x
2
dx
o
P
r
h
x
圆锥体的体积
V =
h 0
r h
x
2
dx
=
r 2 h2
x3 h 3 0
O a x1
xi-1 xi
xn b x
(2)过xi(i=1, 2, , n-1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成 n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)xi。
将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值
n
V S(i)xi。
i=1
(3) 立体体积为
n
b
V=
lim
T 0
S(xi ) =
构成旋转体的体积.
y( x)
解 绕x 轴旋转的旋转体体积
Vx =
2a y2 ( x)dx
0
a 2a
= 2 a2 (1 - cos t)2 a(1 - cos t)dt 0
= a3
2
(1 -
3cos t
3 cos2
t
- cos3
t )dt
=
52a3 .
0
绕 y轴旋转的旋转体体积
y
2a C
Biblioteka BaiduB x = x2( y)