离散数学第一讲01
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离散数学
主讲: 杨思春 助课: 彭月娥
https://ssl.ahut.edu.cn/ec2006/C248/Course/,DanaInfo=211 .70.149.137,Port=8090+Index.htm E-mail: yangsc@ahut.edu.cn
1
趣味离散(1)
2
趣味离散(2)
19
§1命题
例：判断下列语句是否为命题。 （1）十是整数。 （2）上海是一个村庄。 （3）今天下雨。 （4）加拿大是一个国家。 （5）２是偶数而３是奇数。 （6）她不是护士。 （7）１＋１０１＝１１０ （8）月球上有人。
20
§1命题
命令句，感叹句，疑问句均不是命题。 （1）把门关上！ （2）你到哪里去？
第二部分 集合论(第3 章集合与关系；第4章 函数 ） 第三部分 代数系统 (第5章代数结构;第6章 格和布尔代数 )
第四部分 图 七章图论）
论 （第
13
学习方法和要求
本课程有二个特点： （１）定义,定理多（课程内容＝定义＋定理＋例题） （２）课外作业较多 为了学好这门课，特提出三点要求： （１）弄懂定义,定理和例题，加深理解； （２）做好适当的课堂笔记。 （３）做好课外作业（可以相互讨论，但要弄懂）。
3
趣味离散(3)
4
趣味离散(4)
5
趣味离散(5)
6
趣味离散(6)
7
离散数学与其他专业课程
离散数学课程自上世纪70年代出现以来一直是计算机 专业的核心主干课之一，对后续课程提供必需的理 论支持。 在数据库研究中建立的关系代数模型 在编译系统中建立的自动机模型 在数字逻辑电路中建立的布尔代数模型 在数据通讯中建立的纠错码模型等 ……
17
第一章 命题逻辑
§1.命题 §2.命题联结词 §3.命题公式 §4.等价式 §5.蕴含式 §6.命题联结词总结 §7.范 式 §8.命题推理
18
§1命题(proposition)
《定义》有确切真值的陈述句称为命题 。 所谓确切真值是指在具体的环境，具体的时 间，具体的对象，具体的位置等情况下能 唯一确定真值的。
语句既为真，同时又包含假的不是命题，这样的 句子称为“悖论”。 （3）他正在说谎。 （在命题逻辑中不讨论这类问题）
21
§1命题
讨论定义：
(1)命题所用符号：常用大写２６个英文字母表示命 题。用Ａ、Ｂ、Ｃ．．．．Ｚ表示。 (2)命题中所有的“真”用“Ｔ”表示，命题中所有 的“假”用“Ｆ”表示。 (3)命题可以是真的，或者是假的，但不能同时为真 又为假。
来自百度文库F T
T F T T
T
F T
T
F T
33
§2命题联结词
５． ↔ （等价） biconditional or equivalence
举例： 春天来了当且仅当燕子飞回来了。 P↔Q 平面上二直线平行，当且仅当这二直线不相交。 P↔Q ２＋２＝４当且仅当雪是白色的。 P↔Q
34
§2命题联结词
每当Ｐ和Ｑ的真值相同时，Ｐ↔Ｑ的真 值为“Ｔ”，否则Ｐ↔Ｑ的真值为 “Ｆ”。
26
§2命题联结词
当且仅当Ｐ和Ｑ的真值 均为“Ｔ”，则ＰΛＱ的 真值为“Ｔ”。否则， 其真值为“Ｆ”。 注意：Ｐ和Ｑ是互为独 立的，地位是平等的， Ｐ和Ｑ的位置可以交换 而不会影响ＰΛＱ的结果。
P F F T
Q F T F
PΛ Q F F F
QΛ P F F F
T
T
T
T
27
§2命题联结词
３． ∨ （或）disjunction
25
§2命题联结词
２． Λ （“合取”、“积”、“与” ） conjunction
举例： (a) P：王华的成绩很好 Q：王华的品德很好。 ＰΛＱ：王华的成绩很好并且品德很好。 (b) P：我们去种树 Q：房间里有一台电视机 ＰΛＱ：我们去种树与房间里有一台电视机。 在日常生活中，合取词应用在二个实际有关系的命题之间。而 在逻辑学中，合取词可以用在二个毫不相干的命题之间。
37
§2命题联结词
以上介绍了五种常用的联结词，数理逻辑的特点 是把逻辑推理变成类似数学演算的形式，为此， 首先要把推理所涉及到的各命题符号化。
命题符号化步骤如下：
①找出各简单命题，分别符号化。 ②找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
38
§2命题联结词
例. 将下列命题符号化：
（1）李明是计算机系的学生，他住在312或 313室。
例如：
灯泡有故障或开关有故障。Ｐ∨Ｑ
今晚写字或看书。Ｐ∨Ｑ 今天下雨或打雷。Ｐ∨Ｑ
28
§2命题联结词
P Q P∨ Q
F
F T
F
T F
F
T T
T
T
T
当且仅当Ｐ、Ｑ均为“Ｆ”时，Ｐ∨Ｑ为“Ｆ”。
29
§2命题联结词
补充：▽（不可兼或，异或，排斥或）
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
8
离散数学与人工智能
人工智能是研制出具有智能行为的计算机系统。 要想让计算机具有智能,最根本的和首要的是要 计算机具有推理能力，而推理理论恰恰是离散 数学的重要组成部分。
中国人工智能学会离散数学专委会
9
教材
10
参考书之一
11
参考书之二
12
课程内容
第一部分 数理逻辑 (第 1章命题逻辑;第2章谓 词逻辑)
P
Q
P▽Q
F
F T
F
T F
F
T T
P和Q均为“T”时，P▽Q为“F”。
T
T
F
30
§2命题联结词
４． → （蕴含） condition or implication
举例： (a) P：我拿起一本书 Q：我一口气读完了这本书 P→Q：如果我拿起一本书，则我一口气读完了 这本书。 (b) P：月亮出来了 Q：3×3=9 P→Q：如果月亮出来了，则3×3=9。
40
§2命题联结词
（3）虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达车站。 P：交通堵塞。 Q：老王准时到达了车站。 该命题符号化为：PQ （4）只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。 P：三角形的一个角是直角。 Q：三角形是直角三角形。 该命题符号化为：P Q
41
§2命题联结词
（5）老王或小李中有一个去上海出差。 P：老王去上海出差。 Q：小李去上海出差。 该命题符号化为：P ▽ Q 也可符号化为： （PQ）（PQ）或者 （P Q） （PQ）
24
§2命题联结词
１． ¬ （否定、非）negation
举例： Ｐ：北京是一座城市。 ¬Ｐ：北京不是一座城市。 Ｑ：每一种生物均是动物。 ¬Ｑ：有一些生物不是动物。 ¬Ｑ不能讲 成“每一种生物都不是动物” 。对量化命 题的否定，除对动词进行否定外，同时对 量化词也要加以否定。
P T F
¬P F T
P F F
Q F T
P↔Q T F
Ｐ当且仅当Ｑ Ｐ仅当Ｑ Ｐ当且Ｑ
Ｐ↔Ｑ Ｐ→Ｑ Ｑ→Ｐ
T
T
F
T
F
T
35
§2命题联结词
６．命题联结词在使用中的优先级
（１）先括号内，后括号外 （２）运算时联结词的优先次序为： ¬ Λ ∨ → ↔ （由高到低）
36
§2命题联结词
７．命题联结词小结：
(1)与日常生活中的联结词的含义大致相同。 (2) “可兼或”（∨）和“异或”（ ▽ ）（不可兼或） (3) 除“¬ ”为一元运算外，其余四个均为二元运算。 (4) 形式条件和实质条件命题，当前件为“Ｆ”时，不 论后件怎样，则单条件命题的真值均为“Ｔ”。 (5)命题联结词是命题或命题之间的联结词，而不是名 词之间、数字之间或动词之间的联结词。
42
本讲小结
理解命题概念并会判定 理解五种基本联结词的真值表含义(特 别是异或联结词和单条件联结词) 会利用命题联结词实现语句的符号化
43
22
§1命题
命题分类：原子命题和分子命题
i)原子命题（基本命题、本原命题）：不能分解 为更简单的命题。 例：我是一位学生。 ii)分子命题（复合命题）：若干个原子命题使用 适当的联结词所组成的新命题。 例：我是一位学生和他是一位工人
23
§2命题联结词
在命题演算中也有类似日常生活中的联结词称做 “命题联结词”，下面先介绍五个常用的命题 联结词(connective)。
（2）张三和李四是朋友。
（3）虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达车站。
（4）只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。 （5）老王或小李中有一个去上海出差。
39
§2命题联结词
解： （1）李明是计算机系的学生，他住在312或 313室。 P：李明是计算机系的学生。 Q：李明住在312室。 R：李明住在313室。 该命题符号化为：P（Q▽R） （2）张三和李四是朋友。 该命题符号化为：P
31
§2命题联结词
P F F T T Q F T F T P→Q T T F T
当Ｐ为“Ｔ”且Ｑ为“Ｆ”时，Ｐ→Ｑ为“Ｆ”，否则Ｐ→Ｑ均 为“Ｔ”。 Ｐ:称为前件(条件、前提、假设)Ｑ:称为后件(结论)。
32
§2命题联结词
可以证明： Ｐ→Ｑ ¬ Q →¬ P 原命题 逆反命题 P Q P→Q F F T ¬ Q→¬P T
14
几点补充
（1）无特殊情况请不要缺课（可能会随机点名）。 （2）克服1和4节上课不利因素（调整好状态！）。 （3）考试内容以课堂上讲的为范围。 （4）为搞好教学，希望双方共同努力。 （5）轻松学习，快乐学习。
15
第1讲
16
第一篇 数理逻辑
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推 理规律的数学学科，它与数学的其他分支以及 计算机、人工智能、语言学等学科均有十分密 切的联系，并且益显示出它的重要作用和更加 广泛的应用前景。要很好地使用计算机，就必 须学习逻辑。数理逻辑分为证明论、模型论、 递归论和公理集合论。在离散数学中仅介绍命 题逻辑和谓词逻辑。命题逻辑是谓词逻辑的基 础，只有掌握了命题逻辑，才能学好谓词逻辑。
主讲: 杨思春 助课: 彭月娥
https://ssl.ahut.edu.cn/ec2006/C248/Course/,DanaInfo=211 .70.149.137,Port=8090+Index.htm E-mail: yangsc@ahut.edu.cn
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趣味离散(1)
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趣味离散(2)
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§1命题
例：判断下列语句是否为命题。 （1）十是整数。 （2）上海是一个村庄。 （3）今天下雨。 （4）加拿大是一个国家。 （5）２是偶数而３是奇数。 （6）她不是护士。 （7）１＋１０１＝１１０ （8）月球上有人。
20
§1命题
命令句，感叹句，疑问句均不是命题。 （1）把门关上！ （2）你到哪里去？
第二部分 集合论(第3 章集合与关系；第4章 函数 ） 第三部分 代数系统 (第5章代数结构;第6章 格和布尔代数 )
第四部分 图 七章图论）
论 （第
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学习方法和要求
本课程有二个特点： （１）定义,定理多（课程内容＝定义＋定理＋例题） （２）课外作业较多 为了学好这门课，特提出三点要求： （１）弄懂定义,定理和例题，加深理解； （２）做好适当的课堂笔记。 （３）做好课外作业（可以相互讨论，但要弄懂）。
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趣味离散(3)
4
趣味离散(4)
5
趣味离散(5)
6
趣味离散(6)
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离散数学与其他专业课程
离散数学课程自上世纪70年代出现以来一直是计算机 专业的核心主干课之一，对后续课程提供必需的理 论支持。 在数据库研究中建立的关系代数模型 在编译系统中建立的自动机模型 在数字逻辑电路中建立的布尔代数模型 在数据通讯中建立的纠错码模型等 ……
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第一章 命题逻辑
§1.命题 §2.命题联结词 §3.命题公式 §4.等价式 §5.蕴含式 §6.命题联结词总结 §7.范 式 §8.命题推理
18
§1命题(proposition)
《定义》有确切真值的陈述句称为命题 。 所谓确切真值是指在具体的环境，具体的时 间，具体的对象，具体的位置等情况下能 唯一确定真值的。
语句既为真，同时又包含假的不是命题，这样的 句子称为“悖论”。 （3）他正在说谎。 （在命题逻辑中不讨论这类问题）
21
§1命题
讨论定义：
(1)命题所用符号：常用大写２６个英文字母表示命 题。用Ａ、Ｂ、Ｃ．．．．Ｚ表示。 (2)命题中所有的“真”用“Ｔ”表示，命题中所有 的“假”用“Ｆ”表示。 (3)命题可以是真的，或者是假的，但不能同时为真 又为假。
来自百度文库F T
T F T T
T
F T
T
F T
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§2命题联结词
５． ↔ （等价） biconditional or equivalence
举例： 春天来了当且仅当燕子飞回来了。 P↔Q 平面上二直线平行，当且仅当这二直线不相交。 P↔Q ２＋２＝４当且仅当雪是白色的。 P↔Q
34
§2命题联结词
每当Ｐ和Ｑ的真值相同时，Ｐ↔Ｑ的真 值为“Ｔ”，否则Ｐ↔Ｑ的真值为 “Ｆ”。
26
§2命题联结词
当且仅当Ｐ和Ｑ的真值 均为“Ｔ”，则ＰΛＱ的 真值为“Ｔ”。否则， 其真值为“Ｆ”。 注意：Ｐ和Ｑ是互为独 立的，地位是平等的， Ｐ和Ｑ的位置可以交换 而不会影响ＰΛＱ的结果。
P F F T
Q F T F
PΛ Q F F F
QΛ P F F F
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§2命题联结词
３． ∨ （或）disjunction
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§2命题联结词
２． Λ （“合取”、“积”、“与” ） conjunction
举例： (a) P：王华的成绩很好 Q：王华的品德很好。 ＰΛＱ：王华的成绩很好并且品德很好。 (b) P：我们去种树 Q：房间里有一台电视机 ＰΛＱ：我们去种树与房间里有一台电视机。 在日常生活中，合取词应用在二个实际有关系的命题之间。而 在逻辑学中，合取词可以用在二个毫不相干的命题之间。
37
§2命题联结词
以上介绍了五种常用的联结词，数理逻辑的特点 是把逻辑推理变成类似数学演算的形式，为此， 首先要把推理所涉及到的各命题符号化。
命题符号化步骤如下：
①找出各简单命题，分别符号化。 ②找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
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§2命题联结词
例. 将下列命题符号化：
（1）李明是计算机系的学生，他住在312或 313室。
例如：
灯泡有故障或开关有故障。Ｐ∨Ｑ
今晚写字或看书。Ｐ∨Ｑ 今天下雨或打雷。Ｐ∨Ｑ
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§2命题联结词
P Q P∨ Q
F
F T
F
T F
F
T T
T
T
T
当且仅当Ｐ、Ｑ均为“Ｆ”时，Ｐ∨Ｑ为“Ｆ”。
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§2命题联结词
补充：▽（不可兼或，异或，排斥或）
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
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离散数学与人工智能
人工智能是研制出具有智能行为的计算机系统。 要想让计算机具有智能,最根本的和首要的是要 计算机具有推理能力，而推理理论恰恰是离散 数学的重要组成部分。
中国人工智能学会离散数学专委会
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教材
10
参考书之一
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参考书之二
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课程内容
第一部分 数理逻辑 (第 1章命题逻辑;第2章谓 词逻辑)
P
Q
P▽Q
F
F T
F
T F
F
T T
P和Q均为“T”时，P▽Q为“F”。
T
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F
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§2命题联结词
４． → （蕴含） condition or implication
举例： (a) P：我拿起一本书 Q：我一口气读完了这本书 P→Q：如果我拿起一本书，则我一口气读完了 这本书。 (b) P：月亮出来了 Q：3×3=9 P→Q：如果月亮出来了，则3×3=9。
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§2命题联结词
（3）虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达车站。 P：交通堵塞。 Q：老王准时到达了车站。 该命题符号化为：PQ （4）只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。 P：三角形的一个角是直角。 Q：三角形是直角三角形。 该命题符号化为：P Q
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§2命题联结词
（5）老王或小李中有一个去上海出差。 P：老王去上海出差。 Q：小李去上海出差。 该命题符号化为：P ▽ Q 也可符号化为： （PQ）（PQ）或者 （P Q） （PQ）
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§2命题联结词
１． ¬ （否定、非）negation
举例： Ｐ：北京是一座城市。 ¬Ｐ：北京不是一座城市。 Ｑ：每一种生物均是动物。 ¬Ｑ：有一些生物不是动物。 ¬Ｑ不能讲 成“每一种生物都不是动物” 。对量化命 题的否定，除对动词进行否定外，同时对 量化词也要加以否定。
P T F
¬P F T
P F F
Q F T
P↔Q T F
Ｐ当且仅当Ｑ Ｐ仅当Ｑ Ｐ当且Ｑ
Ｐ↔Ｑ Ｐ→Ｑ Ｑ→Ｐ
T
T
F
T
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§2命题联结词
６．命题联结词在使用中的优先级
（１）先括号内，后括号外 （２）运算时联结词的优先次序为： ¬ Λ ∨ → ↔ （由高到低）
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§2命题联结词
７．命题联结词小结：
(1)与日常生活中的联结词的含义大致相同。 (2) “可兼或”（∨）和“异或”（ ▽ ）（不可兼或） (3) 除“¬ ”为一元运算外，其余四个均为二元运算。 (4) 形式条件和实质条件命题，当前件为“Ｆ”时，不 论后件怎样，则单条件命题的真值均为“Ｔ”。 (5)命题联结词是命题或命题之间的联结词，而不是名 词之间、数字之间或动词之间的联结词。
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本讲小结
理解命题概念并会判定 理解五种基本联结词的真值表含义(特 别是异或联结词和单条件联结词) 会利用命题联结词实现语句的符号化
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§1命题
命题分类：原子命题和分子命题
i)原子命题（基本命题、本原命题）：不能分解 为更简单的命题。 例：我是一位学生。 ii)分子命题（复合命题）：若干个原子命题使用 适当的联结词所组成的新命题。 例：我是一位学生和他是一位工人
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§2命题联结词
在命题演算中也有类似日常生活中的联结词称做 “命题联结词”，下面先介绍五个常用的命题 联结词(connective)。
（2）张三和李四是朋友。
（3）虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达车站。
（4）只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。 （5）老王或小李中有一个去上海出差。
39
§2命题联结词
解： （1）李明是计算机系的学生，他住在312或 313室。 P：李明是计算机系的学生。 Q：李明住在312室。 R：李明住在313室。 该命题符号化为：P（Q▽R） （2）张三和李四是朋友。 该命题符号化为：P
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§2命题联结词
P F F T T Q F T F T P→Q T T F T
当Ｐ为“Ｔ”且Ｑ为“Ｆ”时，Ｐ→Ｑ为“Ｆ”，否则Ｐ→Ｑ均 为“Ｔ”。 Ｐ:称为前件(条件、前提、假设)Ｑ:称为后件(结论)。
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§2命题联结词
可以证明： Ｐ→Ｑ ¬ Q →¬ P 原命题 逆反命题 P Q P→Q F F T ¬ Q→¬P T
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几点补充
（1）无特殊情况请不要缺课（可能会随机点名）。 （2）克服1和4节上课不利因素（调整好状态！）。 （3）考试内容以课堂上讲的为范围。 （4）为搞好教学，希望双方共同努力。 （5）轻松学习，快乐学习。
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第1讲
16
第一篇 数理逻辑
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推 理规律的数学学科，它与数学的其他分支以及 计算机、人工智能、语言学等学科均有十分密 切的联系，并且益显示出它的重要作用和更加 广泛的应用前景。要很好地使用计算机，就必 须学习逻辑。数理逻辑分为证明论、模型论、 递归论和公理集合论。在离散数学中仅介绍命 题逻辑和谓词逻辑。命题逻辑是谓词逻辑的基 础，只有掌握了命题逻辑，才能学好谓词逻辑。