经典截长补短法巧解

截长补短法

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法：

（1）过某一点作长边的垂线

（2）在长边上截取一条和某一短边相同的线段，再证剩下的线段和另一短边相等。…… 补短法

（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 例：

H

P

G

F

B

A

C

D E

在正方形ABCD 中，DE=DF ，DG ⊥CE ，交CA 于G ，GH ⊥AF ，交AD 于P ，交CE 延长线于H ，请问

三条粗线DG ，GH ，CH 的数量关系 方法一（好想不好证）

H

P

G

F

B

A

C

D E

方法二（好证不好想）

H

M

P

G F

B

A C

D E

例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页）

F

E

D

C

A

B

（1）正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45o 。

求证：EF=DE+BF （1）变形a

E

F

D C

A B

正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o 。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？

（1）变形b

E

F

D C

A

B

正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，∠EAF=45o 。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？

（1）变形c

j F

E A

B

D

正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上∠EDF=45o 。DB=DC ，∠BDC=120o 。请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关

系？

（1）变形d

F

E

D

C

A

B

正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD=15o ，∠FAB=30o 。AD=3

求∆AEF 的面积 （1）解：（简单思路）

G F

E

D

C

A

B

延长CD 到点G ，使得DG=BF ，连接AG 。 由四边形ABCD 是正方形得

∠ADG=∠ABF=90o AD=AB 又DG=BF

所以∆ADG ≅∆ABF （SAS ） ∠GAD=∠FAB AG=AF

由四边形ABCD 是正方形得

∠DAB=90o =∠DAF+∠FAB =∠DAF+∠GAD=∠GAF 所以∠GAE=∠GAF-∠EAF =90o -45o =45o

∠GAE=∠FAE=45o 又AG=AF AE=AE

所以∆EAG ≅∆EAF （SAS ） EF=GE=GD+DE=BF+DE 变形a 解：（简单思路）

E

F

D C

A

B

EF= BF-DE

在BC 上截取BG ，使得BG=DF ，连接AG 。 由四边形ABCD 是正方形得

∠ADE=∠ABG=90o AD=AB 又DE=BG

所以∆ADE ≅∆ABG （SAS ） ∠EAD=∠GAB AE=AG

由四边形ABCD 是正方形得

∠DAB=90o =∠DAG+∠GAB =∠DAG+∠EAD=∠GAE 所以∠GAF=∠GAE-∠EAF =90o -45o =45o

∠GAF=∠EAF=45o 又AG=AE

AF=AF

所以∆EAF ≅∆GAF （SAS ） EF=GF=BF-BG=BF-DE 变形b 解：（简单思路）

G

E

F

D

C A

B

EF=DE-BF

在DC 上截取DG ，使得DG=BF ，连接AG 。 由四边形ABCD 是正方形得

∠ADG=∠ABF=90o AD=AB 又DG=BF

所以∆ADG ≅∆ABF （SAS ） ∠GAD=∠FAB AG=AF

由四边形ABCD 是正方形得

∠DAB=90o =∠DAG+∠GAB =∠BAF+∠GAB=∠GAF 所以∠GAE=∠GAF-∠EAF =90o -45o =45o

∠GAE=∠FAE=45o 又AG=AF AE=AE

所以∆EAG ≅∆EAF （SAS ） EF=EG=ED-GD=DE-BF 变形c 解：（简单思路）

G

F

E A

B

C D

EF=BE+FC

延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。由∆ABC是正三角形得

∠ABC=∠ACB=60o

又DB=DC，∠BDC=120o

所以∠DBC=∠DCB=30o

∠DBE=∠ABC+∠DBC=60o+30o=90o

∠ACD=∠ACB+∠DCB=60o+30o=90o

所以∠GCD=180o-∠ACD=90o

∠DBE=∠DCG=90o

又DB=DC，BE=CG

所以∆DBE≅∆DCG（SAS）

∠EDB=∠GDC

DE=DG

又∠DBC=120o=∠EDB+∠EDC

=∠GDC+∠EDC=∠EDG

所以∠GDF=∠EDG-∠EDF

=120o-60o=60o

∠GDF=∠EDF=60o

又DG=DE

DF=DF

所以∆GDF≅∆EDF（SAS）

EF=GF=CG+FC=BE+FC

变形d解：（简单思路）

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。过E作EH⊥AG.前面如（1）所证，

∆ADG≅∆ABF，∆EAG≅∆EAF ∠GAD=∠FAB=30o，S∆EAG=S∆EAF

在Rt∆ADG中，∠GAD=30o，AD=3∠AGD=60o，AG=2

设EH=x

在Rt∆EGH中和Rt∆EHA中

∠AGD=60o，∠HAE=45o

HG=

3

3x，AH=x

AG=2=HG+AH=

3

3x+x,EH=x=3-3

S∆EAF=S∆EAG=EH⨯AG÷2=3-3.

（第5页题目答案见第6页）

（2）

O

E

正方形ABCD中，对角线AC和BD交于O，点E在BD上，AE平分∠DAC。

求证：AC/2=AD-EO

（2）加强版

F

E

M

B

D C

A

正方形ABCD中，M在CD上，N在DA 延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE 平分∠DNM。

请问MN、AD、EF有什么数量关系？（2）解：（简单思路）