恒成立问题 专题

恒成立问题

1．参变分离法

例1：已知函数()ln a f x x x

=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值

范围是_________． 【答案】1a ≥-

【解析】233ln ln ln a x x x x a x a x x x x

-<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞，

∴只需要()

3max

ln a x x x >-．

令()3

ln g x x x x =-，()'

2

1ln 3g x x x =+-，()'

12g =-，()2

''

11660x g x x x x

-=-=<，

()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减，

()()11g x g ∴<=-，1a ∴≥-．

2．数形结合法

例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

都成立，则实

数a 的取值范围是___________．

【答案】π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

的图像，

a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得

01a <<，观察图像进一步可得只需

π

4

x =

时，log sin 2a x x >， 即πππlog sin 214

4

4

a a >⋅=⇒>，所以π,14a ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

．

3．最值分析法

例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求

a 的取值范围___________．

【答案】e 1a ≥-

【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令

()ln 1g x a x x =-+，

∴只需()min 0g x >即可，()10g =， ()'1a a x

g x x x -=

-=

，令()'00a x g x x a x

->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性） 当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <=

(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式

成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用） 当1a >时，分x a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取） 若1e a <<，单调性如表所示

()()10e 1e 0

g a g ⎧≥⎪∴⇒≥-⎨≥⎪⎩，e 1e a ∴-≤<． （1）可以比较()1g ，()e g 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在1x =，e x =处取得，所以让它们均大于0即可．

（2）由于1x =，e x =并不在()1,e 中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）

若e a ≥，则()g x 在()1,e 上单调递增，()()10g x g ∴>=，符合题意， 综上所述：e 1a ≥-．

一、选择题

对点增分集训

1．已知函数()()2

ln 1,03,

x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨

+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取

值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[]2,1-

C ．[]0,3

D ．[)3,+∞

【答案】B 【解析】

若()()20f x m x -+≥，即有()()2f x m x ≥+，分别作出函数()f x 和直线

()2y m x =+的图象，

由直线与曲线相切于原点时，()23'23x x x +=+，则23m +=，解得1m =， 由直线绕着原点从x 轴旋转到与曲线相切，满足条件． 即有023m ≤+≤，解得21m -≤≤．故选B ．

2．（2020年）已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,11- B ．()3,11 C ．[]3,11 D ．[]2,7

【答案】C

【解析】由题意可得：()()()2'344232f x x x x x =--+=-+-，

令()'0f x =可得：12x =-，223x =，且：()33f -=-，()28f -=-，240327

f ⎛⎫=

⎪⎝⎭

，

()333f =-，

据此可知函数()f x 在区间[]3,3-上的最小值为33-， 结合恒成立的条件可得：21433m m -≤-，

求解关于m 的不等式可得实数m 的取值范围是[]3,11．本题选择C 选项．

3．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22

⎛⎫ ⎪⎝⎭

内单调递增，则实数a 的取值范

围是（ ） A ．(],2-∞- B ．()2,-+∞

C ．12,8⎛⎫

-- ⎪⎝

⎭

D ．1,8

⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭

【答案】D 【解析】

()2121

2ax f x ax x x ='+=+，2210ax +>在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭

内恒成立，所以2max

12a x ⎛⎫

>- ⎪⎝⎭， 由于1,22

x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，所以2

1,44

x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，2112,28x ⎛⎫⎛⎫-

∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，所以1

8a ≥-，故选D ．

4．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

不等式2e x

a

x >恒成立（其中e 2.71828

=，是自然

对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）

A ．e 0,2⎛⎫

⎪⎝⎭

B ．()0,e

C ．(),2e -∞-

D ．24,e ⎛⎫

-∞ ⎪

⎝

⎭

【答案】A 【解析】由2e x

a

x >得

2ln x x a >在21,e e x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即12ln x a x >在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

上恒成立．

令()2ln x f x x =，21,e e

x ⎡⎤

∈⎢⎥

⎣⎦

，则()()221ln 'x f x x

-=，