奥数因式分解讲课教案

一、常用公式：

二、常用因式分解方法

1、提取公因式法

2、运用公式法

3、分组分解法

4、十字相乘法

5、拆项、添项法

三、例题讲解

1、提取公因式法

例1 x(a-b)2n+y(b-a)2n+1提示：(b-a)2n=(a-b)2n, (b-a)2n+1=-(a-b)2n+1

解：原式=(a-b)2n[x-y(a-b)]=(a-b)2n(x-ay+by)

例2 (ax+by)2+(ay-bx)2+c2y2+c2x2提示：先展开再合并同类项

解：原式=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2+c2y2+c2x2（原式展开）

=(a2+b2+c2)x2+(a2+b2+c2)y2（合并同类项）

=(a2+b2+c2)(x2+y2) （提取公因式）

2、运用公式

例1 x7y-xy7提示：先取公因式，然后用公式。用公式时注意尽量将指数降到最低（2或3最佳）解：原式=xy(x6-y6) （提取公因式）

=xy[(x3)2-(y3)2] （公式2：平方差公式）

=xy(x3-y3)(x3+y3) （公式6：立方和/差公式）

=xy(x-y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2-xy+y2)

例2 (a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3提示：第一个多项式为另外两个多项式之和

原式=(a+2b+c)3-[(a+b)3+(b+c)3] （添括号形成立方和的形式）=(a+2b+c)3-(a+2b+c)[(a+b)2-(a+b)(b+c)+ (b+c)2] （应用立方和公式展开）

=(a+2b+c){[(a+2b+c)2-(a+b)2]+(a+b)(b+c)- (b+c)2} （提取公因式a+2b+c形成平方差公式）=(a+2b+c)[(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)- (b+c)2] （提取公因式b+c）

=(a+2b+c)(b+c)[(2a+3b+c)+(a+b)- (b+c)] （合并化简）

= 3(a+b) (b+c) (a+2b+c)

例3 若x=，y=，则x6+y6的值是：

解：x6+y6=(x2)3+(y2)3

=(x2+y2)[(x2)2-x2y2+(y2)2] （应用立方和公式）

=(x2+y2)[(x2+y2)2-3x2y2] （应用完全平方公式）

∵x2+y2=()2+()2=4, 3x2y2=3×()2×()2=6

∴x6+y6=4×(42－6)=40

3、分组分解法

提示：合理适当地分组产生公因式。关键之处在合理分组，多尝试不同地分组以触动灵感。

1)按系数分组

例2ax-10ay+5by-bx

= (2ax-10ay)+(5by-bx)

=2a(x-5y)-b(x-5y)

=(2a-b) (x-5y)

2)按字母分组

例x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y3(b+1)

=ax3+x3-axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+y3（去括号）

=[ ax3 -axy(x-y)]+[bxy(x-y)+by3]+[x3+y3] （适当分组）

=(ax3-ax2y+axy2)+(bx2y-bxy2+by3)+(x3+y3) （去括号化简）

=ax(x2-xy+y2)+by(x2-xy+y2)+(x+y)(x2-xy+y2) （提取公因式及应用立方和公式）

=( x2-xy+y2)(ax+by+x+y)

3)按次数分组

例(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)

=(xy-1)2+[(x+y)-2)][(x+y)-2xy] （分组）

=(xy-1)2+(x+y)2-2xy(x+y)-2(x+y)+4xy （多项式相乘）

=(xy-1)2+(x+y)2-2(x+y)(xy+1)+4xy （提取公因式整理）

=[(xy-1)2+4xy] +[(x+y)2-2(x+y)(xy+1)] （再次分组）

=[(xy)2-2(xy)+1+4(xy)]+ [(x+y)2-2(x+y)(xy+1)] （完全平方公式展开）

=(xy+1)2-2(xy+1)(x+y)+(x+y)2（合并后得到新的完全平方）

=[(xy+1)-(x+y)]2（再次应用完全平方公式）

=(xy-x-y+1)2

5、添拆项法

例1 x5+x+1

提示：原因无法直接应用任何公式，可通过添加-x2+x2后分组应用公式

原式=(x5-x2)+(x2+x+1) （添加-x2+x2后分组）

=x2(x3-1)+(x2+x+1) （提取公因式）

=x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1) （应用立方差公式）

=(x2+x+1)[x2(x-1)+1] （提取公因式）

=(x2+x+1)(x3-x2+1)

例2 2x4-15x3+38x2-39x+14

提示：把-15x3拆成-13x3和-2x3，把38x2拆成13x2和25x2，把-39x拆成-25x和-14x，分组提取公因式原式=2x4-2x3-13x3+13x2+25x2-25x-14x+14 （拆项分组）

=2x3(x-1)-13x2(x-1)+25x(x-1)-14(x-1) （各自提取公因式）

=(x-1)( 2x3-13x2+25x-14) （提取公因式x-1）

=(x-1)( 2x3-7x2-6x2+21x+4x-14) （再次拆项）

=(x-1)[x2(2x-7)-3x(2x-7)+2(2x-7)] （分组各自提取公因式）

=(x-1)(2x-7)(x2-3x+2) （提取公因式2x-7）

=(x-1)(2x-7)(x-1)(x-2) （对进行x2-3x+2十字相乘分解）

=(x-1)2(x-2)(2x-7)

真题精解：

1）已知多项式ax3+bx2+cx+d除以x-1时的余数是1，除以x-2时的余数是3，那么，它除以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么？（第12届“希望杯”试题）

解：设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n)，当x=1时，原式=1，即m+n=1；当x=2时，原式=3，即2m+n=3，解此关于m、n的方程组得m=2,n=-1，故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为x-1

2）k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）

解：原式中不含y的项为x2+3x+2可分解为 (x+1)(x+2)，故可设原式=[(x+1)+ay][(x+2)+by]，将其展开得：x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2，与原式对比系数得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得a=-3,b=1,k=-3 3）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，求a+b的值。（美国犹他州中学竞赛试题）

解法1：设原式=(x+1)(x+2)(x+k)，展开后得：x3+(3+k)x2+(3k+2)x+2k，对比原式系数得a=3+k, b=3k+2, 8=2k，所以a+b=4k+5=16+5=21

解法2：因当x=-1或x=-2时，原式=0，分别代入后得a-b+8=0, 4a-2b+8=0，解得a=7, b=14，故a+b=14