18学年高中数学第二章数列习题课学案新人教A版必修5

第二章 数列

学习目标 1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法．

知识点一 分组分解求和法

思考 求和：112＋2122＋3123＋…＋(n ＋1

2

n )．

答案 112＋2122＋3123＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋122＋123＋…＋1

2

n )

＝

n n ＋

2

＋

1

2－

12n

1－12

＝

n n ＋

2＋1－12

n .

梳理 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．

知识点二 奇偶并项求和法

思考 求和12

－22

＋32

－42

＋…＋992

－1002

. 答案 12

－22

＋32

－42

＋…＋992

－1002

＝(12

－22

)＋(32

－42

)＋…＋(992

－1002

)

＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100) ＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100) ＝－5 050.

梳理 奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n 项和而n 是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论． 知识点三 裂项相消求和法 思考 我们知道 1n

n ＋＝1n －1n ＋1，试用此公式求和：11×2＋12×3＋…＋1

n n ＋

.

答案 由

1n

n ＋

＝1n －1n ＋1得 11×2＋12×3＋ (1)

n ＋

＝1－12＋12－13＋ (1)

－

1n ＋

＝1－

1n ＋1

. 梳理 如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式： (1)1n

n ＋k ＝1k (1n －1

n ＋k )； (2)

1

n ＋k ＋n ＝1

k

(n ＋k －n )；

(3)1

n －

n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)； (4)

1

n n ＋n ＋

＝12[1n

n ＋

－

1

n ＋n ＋

]．

类型一 分组分解求和

例1 求和：S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2(x ≠0)． 解 当x ≠±1时，

S n ＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫

x ＋1x 2＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫

x 2

＋1x 22＋…＋⎝

⎛

⎭⎪⎫

x n

＋1x n 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2n

＋2＋1x 2n

＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n

)＋2n ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x

2＋1x

4＋…＋1x 2n

＝x 2x 2n －1x 2－1＋x －21－x －2n 1－x －2

＋2n ＝x 2n －1x 2n ＋2＋1x 2n x 2

－1

＋2n ；

当x ＝±1时，S n ＝4n . 综上知，

S n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

4n ， x ＝±1，x 2n

－x 2n ＋2＋

x 2n x 2－＋2n ， x ≠±1且x ≠0.

反思与感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 跟踪训练1 求数列1,1＋a,1＋a ＋a 2

，…，1＋a ＋a 2

＋…＋a

n －1

，…的前n 项和S n .(其中a ≠0，

n ∈N *)

解 当a ＝1时，a n ＝n ， 于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝

n n ＋

2

.

当a ≠1时，a n ＝1－a n

1－a ＝11－a (1－a n

)．

∴S n ＝

11－a

[n －(a ＋a 2＋…＋a n

)] ＝11－a ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤n －a －a n

1－a ＝n 1－a －a －a n －a

2

.

∴S n

＝⎩⎪⎨⎪⎧

n n ＋

2， a ＝1，n 1－a

－a

－a

n －a

2

， a ≠1.

类型二 裂项相消求和

例2 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1

n 2－1

，n ≥2，

n ∈N *.

解 ∵

1n 2

－1＝1

n －

n ＋

＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

n －1－1n ＋1， ∴原式＝12⎣⎢⎡

⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭

⎪

⎫

13－15

⎦⎥⎤＋…＋⎝

⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭

⎪

⎫1＋12－1n －1n ＋1

＝34－

2n ＋12n n ＋(n ≥2，n ∈N *

)．

引申探究

求和：2222－1＋3232－1＋4242－1＋…＋n 2

n 2－1

，n ≥2，n ∈N *

.

解 ∵n 2

n 2－1＝n 2－1＋1n 2－1＝1＋1n 2－1

，

∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋142－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2－1 ＝(n －1)＋⎝

⎛⎭

⎪⎫122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1

以下同例2解法．

反思与感悟 求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项求和法． 跟踪训练2 求和：