竖直平面内圆周运动的临界问题及应用

五、竖直平面内的圆周运动

竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中

阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临

界状态，其问题可分为以下两种模型.

一、两种模型

模型1：“轻绳类”

绳对小球只能

产生沿绳收缩方向

的拉力(圆圈轨道问

题可归结为轻绳

类)，即只能沿某一

个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体

支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：

(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没

有力的作用，v gR

=

(2)小球能通过最高点的条件：v gR

≥，当v gR

>时

绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力.

(3)小球不能过最高点的条件：v gR

<，实际上球还

没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动.

模型2：“轻杆类”

有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点

的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动

的情况类似“轻杆类”，

如图4所示，)：

(1)临界条件：由于硬杆

和管壁的支撑作用，小

球恰能到达最高点的临

界速度0

v=

(2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：

①当0

v=时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其

大小等于小球的重力，即N mg

=；

②当0v gR

<<时，因

2

v

mg N m

R

-=,则

2

v

N mg m

R

=-.

轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是0

mg N

>>．

③当v gR

=时，0

N=；④当v gR

>时，则

2

v

mg N m

R

+=，即

2

v

N m mg

R

=-，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.

小结如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v≠gR(应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g换

成g

月

，若在其他天体上

则把g换成g

天体

.

二、两种模型的应用

【例1】如图5所示，质

量为m的小球从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少

【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v Rg

=

临界

，根据机械能守恒定律得2

1

2

2

mgh mg R mv

=⋅+

临界

把v Rg

=

临界

代入上式得：

min

5

2

h R

=．

【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少？

【解析】此题属于

“轻杆类”，带电小

球在圆形轨道的最

高点B受到三个力

作用:电场力

F qE

=，方向竖直向

上；重力mg；弹力N，方向竖直向下．由向心力公式，

图1 图2

图3 图4

图5

图6

有2B

v mg N qE m R

+-=

要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速度，临界条件是0N =．由此可列出小球的临界状态方

程为2B

v mg qE m R

-= ①

根据动能定理，有2

1()(2)2

B mg qE h R mv -⋅-= ②

解之得：min 5

2

h R =

说明 把②式中的mg qE -换成2B

v

m

R

，较容易求出min

52

h R = 【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少？

【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速度，临界条件是0N =．由此可列出小球的临界状态方程为：2B

v

mg qE m

R

+= ① 根据动能定理，有2

1()(2)2

B mg qE h R mv +⋅-= ②

由上述二式解得：min 5

2

h R =

小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关．我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度1g ”比例1中的重力加速度g 减小，例3中的“等效重力加速度2g ”比例1中的重力加速度g 增大．

例2中1v Rg =临界

，2

11122

mg h mg R mv =⋅+临界；

例3中2v Rg =临界，2

22122

mg h mg R mv =⋅+临界．

把v 临界代入各自对应的式子，结果1mg 、2mg 分别都约

去了，故min 5

2

h R =

． 【例4】如图7所示，一个带正电q 、质量为m 的电荷，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A 的高度至少应为多少

【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ，说明

小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速率，临界条件是0N =，由此可列出小球的临界状态方程为

2B

B v mg qv B m R += ①

2

122

B mgh mg R mv =⋅+， ②

由①式可得: 22

4()2B R m g v qB qB m R ⎡⎤=±+⎢⎥⎢⎥⎣⎦

因B v 只能取正值，即22

4()2B R m g v qB qB m R ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦

则2

2

22

min

242()8R m g h R qB qB R m g ⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦

【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电q 、质量为m 的电荷，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A 的高度h 至少应为多少 【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速率，临

界条件是0N =，由此可列出小球的临界状态方程为

2

B

B v mg qv B qE m R ++= ①

2

1

()(2)2

B mg qE h R mv +⋅-= ②

图7

图 8